1.3二次根式的运算第3课时二次根式的运算（3）（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第1章二次根式1.3二次根式的运算
第3课时 二次根式的运算（3）
【知识清单】
应用二次根式及其运算解决简单实际问题要注意两个方面：一是用二次根式或含二次根式的代数式表示未知量；二是通过二次根式的四则混合运算求出未知量，并化简.
【经典例题】
例题1、如图：甲，乙两艘快艇分别以km/h，36km/h的速度从O港出发，甲快艇向北偏东37°方向行驶，乙快艇向南偏东53°方向行驶，1小时后甲快艇到达A地，乙快艇到达B地，问甲快艇沿AB所在的直线由A地航行到B地共需要多长时间？
【考点】二次根式的实际应用.
【分析】由甲，乙两快艇的行程图及题意可知AO⊥BO，在Rt△AOB中，OA，OB的长度可由速度×时间求得，再解直角三角形可得AB，再求时间就很容易了．
【解答】甲，乙两快艇的行程图如下图所示：由题意知，∠COA=37°，∠DOB=53°，
则∠AOB=180°∠COA∠DOB =180°37°53°=90°，
∴AB⊥OC，
∵甲，乙两艘快艇的速度分别以km/h，36km/h，行驶1小时，
∴OA=km，OB=36km，
在Rt△AOB中，
∴AB=km.
∴72÷= (h).
答：甲快艇沿AB所在的直线由A地航行到B地共需要h.
【点评】本题考查了解直角三角形在行程问题中的运用以及速度与路程的关系．
例题2、化简代数式，使分母不含无理数(分母有理化).
【考点】分母有理化以及二次根式的运算法则.
【分析】通过添项把分成两项，达到简化分母的目的，然后再进行分母有理化，问题即可得到解决．
【解答】
.
【点评】添项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径.
【夯实基础】
1、下列计算，正确的是（ ）
A. B.
C. D. =
2、如图所示是一个数值转换机，若输入a的值为，则输出的结果为（ ）
A. B. C. D.
3、如图，长方体的长、宽、高分别为8cm、4cm、6cm.一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路径的长是（ ）
A. 12cm B. cm C. cm D. cm
4、在△ABC中，已知AB＝4，AC＝3，BC＝，则△ABC的面积为( )
A．4 B．3 C．6 D.
5、化简：＝ .
6、已知最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 .
7、已知，求的值.
8、先化简，再求值，已知.
【提优特训】
9、设，，则xy的值为（ ）
A. 4 B. 8 C. D.
10、若的值为零，则x的值为（ ）
A. B. 4 C.4 D. ±2
11、如果三角形的三边长分别为2，k，3，那么化简（ ）
A.6 B.5 C.4 D.2
12、一个长方形的面积为，其中一边长为，则另一边为（ ）
A. B. C. 5 D.
13、化简= .
14、已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=，BC=12，则△ABC的面积 .
15、已知，求x(x+1)(x+2)(x+3)的值.
16、如图①，是5×5的网格图，任意上下左右相邻的两点间距离都是1，请以网格图中的格点为顶点画△ABC，且AC=，AB=，BC=，完成下列各题：
(1)按要求画出△ABC；
(2)求△ABC的面积；
(3)求最长边上的高.
17、已知非零实数a，b满足，求a+b的值.

18、如图①，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC，已知AB=6，DE=2，BD=10，设CD=x，
(1)用含x的代数式表示AC+CE的长；
(2)请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小??
(3)根据(2)中的规律和结论，
请构图求出代数式的最小值.
【中考链接】
19、2018?江苏南京10. 计算的结果是__________．
20、2018?湖北襄阳17．（6分）先化简，再求值：(x+y)(xy)+y(x+2y)(xy)2，其中x=2+，y=2．

21、2018?湖南常德17．（5分）计算：.
22、2018?四川内江17．（7分）计算：．

参考答案
1、A 2、D 3、B 4、D 5、 6、±1 9、A 10、C 11、D 12、D
13、 14、 19、
7.解：∵，
∴.
∴x210=.
∴.
.
=
=
=.
8.解：原式=
=
=
当时，
=
==.
15. 解：∵，
∴x+1=，
x+2=，
x+3=.
∴x(x+1)(x+2)(x+3)= x(x+3) (x+1)(x+2)
=
=.
16. 解：(1)如图②所示是画出的△ABC；
(2) △ABC的面积=S长方形BEFDS△BDA S△AFCS△CDB
=BEEF
=12314=4；
(3)设最长边BC上的高为h，则△ABC的面积为
=4，即=4，
解得h=.
17.解：∵a≥4，
∴原等式可化为
∴
∴b+6=0且（a4）b2=0，
∴a=4，b=6，
∴a+b=2．
18.解：(1)?
(2)当C点在线段BD与线段AE的交点处的时候，AC+CE的值最小.
(3)如图②：AB⊥BD，ED⊥BD，AE与BD相交于点C， 则AB=2，DE=4，BD=8，
设CD=x，
过E点作BD的平行线交AB延长线于F点；
由(2)可知代数式的最小
值就是线段AE的长.
在Rt△AFE中，∠AFE=90°，
∵AF=AB+DE=2+4=6，EF=BD=8?，
∴AE=；
∴代数式的最小值是10.
20、2018?湖北襄阳17．（6分）先化简，再求值：(x+y)(xy)+y(x+2y)(xy)2，其中x=2+，y=2．
【分析】根据平方差公式、单项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，再将x、y的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】(x+y)(xy)+y(x+2y)(xy)2
=x2y2+xy+2y2x2+2xyy2
=3xy，
当x=2+，y=2时，原式=3×(2+)(2)=3．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值的计算方法．
21、2018?湖南常德17．（5分）计算：.
【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、二次根式化简和绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
【解答】解：原式=1 (21)+24，
=12+1+24，
=2．
【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
22、2018?四川内江17．（7分）计算：．
【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．菁优网版权所有
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式=2﹣+12﹣1×4
=+8．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．