2.1 一元二次方程 同步练习

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浙教版八下同步练习第二章一元二次方程
2.1 一元二次方程
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．下列方程中，不是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列方程中：①4x2＝3x；②（x2﹣2）2+3x﹣1＝0；③+4x﹣＝0；④x2＝0；⑤＝2；⑥6x（x+5）＝6x2．其中一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m＞0
C．m≠2且m≥0 D．m为任何实数
4．已知方程（m﹣1）+2x﹣m＝0是关于x的二次方程，则（　　）
A．m＝﹣3 B．m＝﹣1 C．m＝3或m＝1 D．m＝﹣3或m＝1
5．下列说法正确的是（　　）
A．方程ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程
B．方程3x2＝4的常数项是4
C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
6．一元二次方程4x2＝3x﹣8其一般式的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．4、3、﹣8 B．4、﹣3、8 C．4、﹣3、﹣8 D．3、﹣4、﹣8
7．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1，（即x2＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n?i＝（i4）n?i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017+i2018的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．i﹣1
8．若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，则a+b﹣2c的值为（　　）
A．﹣13 B．﹣9 C．6 D．0



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．若方程x2+kx+6＝0的一个根是3，那么k＝　 　，另一个根是　 　．
10．关于x的方程（m2﹣3m+2）+5x﹣6m＝0是一元二次方程，则m＝　 　．
11．已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于　 　．
12．方程2x（x+1）＝1化成一般形式是　 　，其中二次项是　 　，一次项系数是　 　，常数项是　 　．
13．已知x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的实数根，那么代数式的值为　 　．
14．若两个关于x的方程x2+ax+b＝0和x2+bx+a＝0（a≠b）只有一个公共根，则a，b的关系是　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．
16．设α是一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0的一个正根，求α3﹣7α2﹣13α+6的值．
17．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求它的另一个根及c的值．
18．已知方程x2﹣3x+1＝0
（1）求x+的值
（2）求x﹣的值
（3）若a为方程x2﹣3x+1＝0一个根，求2a2﹣6a+2017的值．
19．已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根．
（1）求a3﹣2a2+2a+1的值；
（2）求a3﹣2a2﹣2a+1的值．
20．设p，q是整数，方程x2﹣px+q＝0有一个根为﹣2，求p﹣q的值．



参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列方程中，不是一元二次方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
【解答】解：根据一元二次方程的性质可得+x﹣6＝0不是一元二次方程，它是分式方程．
故选：D．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义．关键是掌握一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
2．下列方程中：①4x2＝3x；②（x2﹣2）2+3x﹣1＝0；③+4x﹣＝0；④x2＝0；⑤＝2；⑥6x（x+5）＝6x2．其中一元二次方程的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．
一元二次方程必须满足四个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0；
（3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【解答】解：是一元二次方程的是：①③④共有3个．
②最高次数是4，⑤是无理方程故不是一元二次方程．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
3．若关于x的方程是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠2 B．m＞0
C．m≠2且m≥0 D．m为任何实数
【分析】根据方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，被开方数是非负数，可得答案．
【解答】解：关于x的方程是一元二次方程，
m﹣2≠0，m≥0，
m≠2且m≥0，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程，方程中含有一个未知数，且未知数的最高次数是二次的方程是一元二次方程，被开方数是非负数．
4．已知方程（m﹣1）+2x﹣m＝0是关于x的二次方程，则（　　）
A．m＝﹣3 B．m＝﹣1 C．m＝3或m＝1 D．m＝﹣3或m＝1
【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0，（a≠0），据此即可求得x的次数m2+2m﹣1＝2，并且二次项系数m﹣1≠0，即可求得m的范围．
【解答】解：根据题意得：m2+2m﹣1＝2且m﹣1≠0
解得m＝﹣3
故选：A．
【点评】本题容易忽视的问题是m﹣1≠0．
5．下列说法正确的是（　　）
A．方程ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程
B．方程3x2＝4的常数项是4
C．若一元二次方程的常数项为0，则0必是它的一个根
D．当一次项系数为0时，一元二次方程总有非零解
【分析】根据一元二次方程的定义，解的定义解答．
一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【解答】解：A、根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0这一条件可知，a取不为零的实数时ax2+bx+c＝0是关于x的一元二次方程，当a＝0时，错误；
B、把方程化成一般形式得到：3x2﹣4＝0，则常数项是﹣4，错误；
C、正确；
D、x2+2＝0，x2＝﹣2，方程无解，错误．
故选：C．
【点评】本题是对一元二次方程的综合考查，在求解的过程中可以利用方程解的定义以及恒等变形求解．确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．并且注意二次项系数，一次项系数，常数项时一定要带上前面的符号．
6．一元二次方程4x2＝3x﹣8其一般式的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）
A．4、3、﹣8 B．4、﹣3、8 C．4、﹣3、﹣8 D．3、﹣4、﹣8
【分析】根据一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项可得答案．
【解答】解：化简方程，得
4x2﹣3x+8＝0，
二次项系数； 一次项系数；常数项分别为4、﹣3、8，
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，关键是掌握一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c＝0（a≠0）．
7．我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2＝﹣1，（即x2＝﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1＝i4n?i＝（i4）n?i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017+i2018的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．i D．i﹣1
【分析】i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4?i＝i，i6＝i5?i＝﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
【解答】解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2?i＝（﹣1）?i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4?i＝i，i6＝i5?i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵＝504…2，
∴i+i2+i3+i4+…+i2017+i2018＝i﹣1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017+i2018＝i﹣1．
故选：D．
【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．
8．若方程x2﹣3x﹣1＝0的两根也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，则a+b﹣2c的值为（　　）
A．﹣13 B．﹣9 C．6 D．0
【分析】设m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根．根据方程解的意义知，m既满足方程x2﹣3x﹣1＝0，也满足方程x4+ax2+bx+c＝0，将m代入这两个方程，并整理，得（9+a）m2+（6+b）m+c+1＝0．从而可知：方程x2﹣3x﹣1＝0的两根也是方程（9+a）x2+（6+b）x+c+1＝0的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，然后根据同一个一元二次方程的定义找出相对应的系数间的关系即可．
【解答】解：设m是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则m2﹣3m﹣1＝0，所以m2＝3m+1．
由题意，m也是方程x4+ax2+bx+c＝0的根，所以m4+am2+bm+c＝0，
把m2＝3m+1代入此式，得（3m+1）2+am2+bm+c＝0，整理得（9+a）m2+（6+b）m+c+1＝0．
从而可知：方程x2﹣3x﹣1＝0的两根也是方程（9+a）x2+（6+b）x+c+1＝0的根，
这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程，
从而有（9+a）x2+（6+b）x+c+1＝k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数），
所以b＝﹣3a﹣33，c＝﹣a﹣10．
因此，a+b﹣2c＝a+（﹣3a﹣33）﹣2（﹣a﹣10）＝﹣13．
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．该题难度比较大，在解题时，采用了“转化法”，即将所求转化为求（9+a）x2+（6+b）x+c+1＝k（x2﹣3x﹣1）（其中k为常数）的相应的系数间的关系．
二．填空题（共6小题）
9．若方程x2+kx+6＝0的一个根是3，那么k＝　﹣5　，另一个根是　x＝2　．
【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，把x＝3代入方程得到k的值，再计算另外一个根，即可求解．
【解答】解：把x＝3代入方程x2+kx+6＝0，得9+3k+6＝0，解得k＝﹣5，
再把k＝﹣5代入原方程，得x2﹣5x+6＝0，解得x＝2或3，
那么k＝﹣5，另一个根是x＝2．
故答案为k＝﹣5，另一个根是x＝2．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．
10．关于x的方程（m2﹣3m+2）+5x﹣6m＝0是一元二次方程，则m＝　﹣1　．
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【解答】解：由题意得：
由①得m＝±1，当m＝1时，m2﹣3m+2＝0不合题意．
当m＝﹣1时，m2﹣3m+2＝6≠0，∴m＝﹣1．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
11．已知a、b是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个根，则代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b的值等于　5　．
【分析】根据方程根的定义，分别把a，b代入方程可得a2﹣a＝1，b2﹣b＝1，再把代数式3a2+2b2﹣3a﹣2b变形代值则可．
【解答】解：根据题意
得a2﹣a＝1，b2﹣b＝1，
所以3a2+2b2﹣3a﹣2b
＝3a2﹣3a+2b2﹣2b
＝3（a2﹣a）+2（b2﹣b）
＝3+2＝5．
故填5
【点评】本题主要考查了方程的解的定义．一般解题思路是，把表示根的字母代入方程得到相关的等式，再把所求的代数式变形成已知条件的形式，把已知条件整体代入即可．
12．方程2x（x+1）＝1化成一般形式是　2x2+2x﹣1＝0　，其中二次项是　2x2　，一次项系数是　2　，常数项是　﹣1　．
【分析】将方程左边展开，通过移项、合并同类项化为ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）的形式即可．其中a是二次项系数，b是一次项系数．
【解答】解：原方程可化为：2x2+2x＝1，
移项合并同类项得：2x2+2x﹣1＝0，
二次项是2x2，
一次项系数是2，
常数项是﹣1．
【点评】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化．
13．已知x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的实数根，那么代数式的值为　　．
【分析】利用方程解的定义找到等式x2+3x＝1，再把所求的代数式利用分式的计算法则化简后整理出x2+3x的形式，再整体代入x2+3x＝1，即可求解．
【解答】解：∵x是一元二次方程x2+3x﹣1＝0的实数根，
∴x2+3x＝1，
∴
＝÷
＝?
＝
＝．
故填空答案：．
【点评】此题主要考查了方程解的定义和分式的运算，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
14．若两个关于x的方程x2+ax+b＝0和x2+bx+a＝0（a≠b）只有一个公共根，则a，b的关系是　a+b+1＝0　．
【分析】设出公共根，代入整理即可．
【解答】解：假设公共根是m．
∴m2+am+b＝0①；
m2+bm+a＝0②．
①﹣②得：（a﹣b）m+b﹣a＝0
∴m＝1
∴x＝1是方程的根，
代入任意一个方程得：a+b+1＝0．
【点评】有公共根，那么适合每个方程．
三．解答题（共6小题）
15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2
（1）是一元二次方程；
（2）是一元一次方程；
（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．
【分析】（1）根据二次项系数不为0解答；
（2）根据二次项系数为0，一次项系数不为0解答；
（3）根据题意列出关于m的一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4＝0，
（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；
（2）当m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，即m＝﹣1时，是一元一次方程；
（3）x＝﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3＝0，
解得，m1＝，m2＝﹣1．
【点评】本题考查的是一元一次方程的定义、一元二次方程的定义和一元二次方程的解法，掌握概念、正确解出一元二次方程是解题的关键．
16．设α是一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0的一个正根，求α3﹣7α2﹣13α+6的值．
【分析】首先把α代入方程得到关于α的等式，然后变形为α2﹣8α＝5，然后把α3﹣7α2﹣13α+6变形为α（α2﹣8α）+α2﹣13α+6，再利用整体代入的方法把α2﹣8α＝5代入其中化简，接着合并同类项，再整体代入即可求出题目代数式的值．
【解答】解：∵α是一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0的一个正根，
∴α2﹣8α﹣5＝0，
即α2﹣8α＝5，
∴α3﹣7α2﹣13α+6
＝α（α2﹣8α）+α2﹣13α+6
＝5α+α2﹣13α+6
＝α2﹣8α+6
＝5+6
＝11．
【点评】本题应用一元二次方程解的定义易得出α的等式，然后把所求代数式进行变形，以便能够利用整体代入．此题的难点是整体代入思想．
17．已知2﹣是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，求它的另一个根及c的值．
【分析】把x＝2﹣代入已知方程求得c的值；利用根与系数的关系来求方程的另一根．
【解答】解：设方程的另一根为t，则
2﹣+t＝4，
解得 t＝2+．
（2﹣）2﹣4（2﹣）+c＝0，
解得 c＝﹣1．
综上所述，它的另一个根是2+及c的值是﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和根与系数的关系．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
18．已知方程x2﹣3x+1＝0
（1）求x+的值
（2）求x﹣的值
（3）若a为方程x2﹣3x+1＝0一个根，求2a2﹣6a+2017的值．
【分析】（1）由x2﹣3x+1＝0，可知x≠0，将方程两边同时除以x，得到x﹣3+＝0，即可求出x+＝3；
（2）利用完全平方公式得出（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝9﹣4＝5，那么x﹣＝±；
（3）将x＝a代入方程x2﹣3x+1＝0，整理得出a2﹣3a＝﹣1，那么2a2﹣6a+2017＝2（a2﹣3a）+2017＝2015．
【解答】解：（1）∵x2﹣3x+1＝0，
∴x≠0，方程两边同时除以x，得x﹣3+＝0，
∴x+＝3；

（2）∵（x﹣）2＝（x+）2﹣4＝9﹣4＝5，
∴x﹣＝±；

（3）∵a为方程x2﹣3x+1＝0一个根，
∴a2﹣3a+1＝0，
∴a2﹣3a＝﹣1，
∴2a2﹣6a+2017＝2（a2﹣3a）+2017＝﹣2+2017＝2015．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了等式的性质以及完全平方公式．
19．已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根．
（1）求a3﹣2a2+2a+1的值；
（2）求a3﹣2a2﹣2a+1的值．
【分析】已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根，解方程就可以求出a的值，然后代入所求代数式就可求值．可先对所求代数式进行化简，然后再代入计算．
【解答】解：∵已知a是方程x2﹣3x+1＝0的根，
∴a2﹣3a+1＝0即a2﹣2a＝a﹣1，
∴a＝，
∴（1）a3﹣2a2+2a+1＝a（a2﹣2a）+2a+1＝a（a﹣1）+2a+1＝a2+a+1＝a2﹣2a+3a+1＝a﹣1+3a+1＝4a＝6±2；
（2）a3﹣2a2﹣2a+1＝a（a2﹣2a）﹣2a+1＝a（a﹣1）﹣2a+1＝a2﹣2a﹣a+1＝a﹣1﹣a+1＝0．
【点评】求解本题的关键是正确对式子进行变形．
20．设p，q是整数，方程x2﹣px+q＝0有一个根为﹣2，求p﹣q的值．
【分析】先把x＝﹣2代入方程，得到关于p，q的等式，把有关的项合并中一起后，令它的系数部分为0就可求出方程中字目系数的值．
【解答】解：把﹣2代入方程，9﹣4﹣p+2p+q＝0，
∴﹣×（4+p）+（2p+q+9）＝0，
∵p、q是整数，
∴p＝﹣4，q＝﹣1，∴p﹣q＝﹣4+1＝﹣3．
故本题答案为p﹣q＝﹣3．
【点评】（﹣4﹣p）当p不为﹣4时，（﹣4﹣p）为无理数．本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．当方程中有一根是无理数，字母系数为整数时，把有关无理数的项合并中一起后，令它的系数部分为0就可求出方程中字目系数的值．
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