2.2 一元二次方程的解法同步练习

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浙教版八下同步练习第二章一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．方程x2﹣1＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝0
2．一元二次方程（x+2017）2＝1的解为（　　）
A．﹣2016，﹣2018 B．﹣2016
C．﹣2018 D．﹣2017
3．将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为（　　）
A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x+4）2＝﹣9 D．（x+8）2＝7
4．利用配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0时，应先将其变形为（　　）
A． B．
C． D．
5．用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是（　　）
A．16 B．24 C．8 D．4
6．对于任意的实数x，代数式x2﹣5x+10的值是一个（　　）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定
7．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是（　　）
A．1+ B． C． D．
8．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）＝8，则a2﹣b2的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是　 　．
10．已知 x（x+1）＝x+1，则x＝　 　．
11．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，b，m均为常数，且a≠0），则a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是　 　．
12．一元二次方程9（x﹣1）2﹣4＝0的解是　 　．
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是　 　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．
14．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：

小明的解法从第　 　步开始出现错误；这一步的运算依据应是　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．解方程：
（1）（x+2）2﹣16＝0
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
16．解方程：（用指定方法解下列一元二次方程）
（1）2x2+4x﹣1＝0（公式法）
（2）x2+6x+5＝0（配方法）
17．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）＝45，求x2+y2的值．
18．关于x的一元二次方程mx2+（3m﹣2）x﹣6＝0．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
19．关于x的方程x2﹣ax+a+1＝0有两个相等的实数根，求的值．
20．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．



参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．方程x2﹣1＝0的解是（　　）
A．x1＝x2＝1 B．x1＝1，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝0
【分析】先移项得到x2＝1，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x2＝1，
所以x＝±1，
所以x1＝1，x2＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
2．一元二次方程（x+2017）2＝1的解为（　　）
A．﹣2016，﹣2018 B．﹣2016
C．﹣2018 D．﹣2017
【分析】利用直接开平方法解方程．
【解答】解：x+2017＝±1，
所以x1＝﹣2018，x2＝﹣2016．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
3．将方程x2+8x+9＝0配方后，原方程可变形为（　　）
A．（x+4）2＝7 B．（x+4）2＝25 C．（x+4）2＝﹣9 D．（x+8）2＝7
【分析】先移项得到x2+8x＝﹣9，然后把方程作边利用完全平方公式变形得到（x+4）2＝7即可．
【解答】解：x2+8x＝﹣9，
x2+8x+16＝7，
（x+4）2＝7．
故选：A．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
4．利用配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0时，应先将其变形为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】将方程常数项移到右边，方程左右两边同时除以2，然后方程左右两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，变形后即可得到正确答案．
【解答】解：2x2﹣x﹣2＝0，
移项得：2x2﹣x＝2，
左右两边同时除以2得：x2﹣x＝1，
配方得：x2﹣x+＝1+，即（x﹣）2＝，
故选：B．
【点评】考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．
5．用公式法解方程x2﹣4x﹣2＝0，其中b2﹣4ac的值是（　　）
A．16 B．24 C．8 D．4
【分析】将a、b、c的值代入b2﹣4ac即可得．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝16+8＝24，
故选：B．
【点评】本题主要考查公式法解一元二次方程，掌握求根公式是解题的关键．
6．对于任意的实数x，代数式x2﹣5x+10的值是一个（　　）
A．正数 B．负数 C．非负数 D．不能确定
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可．
【解答】解：原式＝x2﹣5x++＝（x﹣）2+≥＞0，
则代数式的值是一个正数，
故选：A．
【点评】此题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
7．一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是（　　）
A．1+ B． C． D．
【分析】利用求根公式x＝求得方程的两个根，然后找出较大的根即可．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣x﹣1＝0中，a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴x＝＝，
∴一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的两个实数根中较大的根是．
故选：B．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟记求根公式即可解答该题．
8．已知实数a、b满足（a2﹣b2）2﹣2（a2﹣b2）＝8，则a2﹣b2的值为（　　）
A．﹣2 B．4 C．4或﹣2 D．﹣4或2
【分析】设y＝a2﹣b2，原式化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为a2﹣b2的值．
【解答】解：设y＝a2﹣b2，原式化为y2﹣2y﹣8＝0，即（y﹣4）（y+2）＝0，
可得y﹣4＝0或y+2＝0，
解得：y1＝4，y2＝﹣2，
∴a2﹣b2＝4或﹣2．
故选：C．
【点评】此题考查了换元法解一元二次方程，学生做题时注意a2﹣b2的值为正数．
二．填空题（共6小题）
9．一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的判别式的值是　5　．
【分析】根据根的判别式等于b2﹣4ac，代入求值即可．
【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查了根的判别式，熟记根的判别式的公式△＝b2﹣4ac．
10．已知 x（x+1）＝x+1，则x＝　1或﹣1　．
【分析】先移项得到x（x+1）﹣（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：x（x+1）﹣（x+1）＝0，
（x+1）（x﹣1）＝0，
x+1＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝﹣1，x2＝1．
故答案为1或﹣1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
11．关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1（a，b，m均为常数，且a≠0），则a（2x+m﹣1）2+b＝0的解是　x1＝，x2＝0　．
【分析】把方程a（2x+m﹣1）2+b＝0看作关于2x﹣1的一元二次方程，则2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣1，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：把方程a（2x+m﹣1）2+b＝0变形为a[（2x﹣1）+m]2+b＝0，
∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，
∴2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣1，
∴x1＝，x2＝0．
故答案为x1＝，x2＝0．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
12．一元二次方程9（x﹣1）2﹣4＝0的解是　x1＝，x2＝　．
【分析】先把方程变形为（x﹣1）2＝，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±
所以x1＝，x2＝．
故答案为x1＝，x2＝．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
13．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为a*b＝a2﹣ab．根据这个法则，下列结论中正确的是　①②④　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①*＝2﹣；②若a+b＝0，则a*b＝b*a；③（x+2）*（x+1）＝0是一元二次方程；④方程（x+3）*1＝1的根是x1＝，x2＝．
【分析】根据运算法则为a*b＝a2﹣ab，一一判断即可；
【解答】解：*＝（）2﹣×＝2﹣，①正确；
若a+b＝0，则a＝﹣b，
∴a*b＝a2﹣ab＝b2﹣ba＝b*a，②正确；
（x+2）*（x+1）＝（x+2）2﹣（x+2）（x+1）＝x+2，③错误；
（x+3）*1＝（x+3）2﹣（x+3）＝x2+5x+6，
∴（x+3）*1＝1即为方程x2+5x+6＝1，化简得x2+5x+5＝0，
解得x1＝，x2＝，④正确．
故答案为：①②④
【点评】本题考查一元二次方程的应用，实数的运算等知识，解题的关键是理解题意，学会利用新的定义解决问题，属于中考常考题型．
14．小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，他是这样做的：

小明的解法从第　四　步开始出现错误；这一步的运算依据应是　平方根的定义　．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错．
【解答】解：小明的解法从第四步开始出现错误；这一步的运算依据应是平方根的定义；
故答案为四；平方根的定义．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．
用配方法解一元二次方程的步骤：
（1）形如x2+px+q＝0型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开方即可．
（2）形如ax2+bx+c＝0型，方程两边同时除以二次项系数，即化成x2+px+q＝0，然后配方．
三．解答题（共6小题）
15．解方程：
（1）（x+2）2﹣16＝0
（2）x2﹣2x﹣4＝0．
【分析】（1）先变形为（x+2）2＝16，然后利用直接开平方法解方程；
（2）利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）（x+2）2＝16，
x+2＝±4，
所以x1＝2，x2＝﹣6；
（2）x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝5，
（x﹣1）2＝5，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
16．解方程：（用指定方法解下列一元二次方程）
（1）2x2+4x﹣1＝0（公式法）
（2）x2+6x+5＝0（配方法）
【分析】（1）先由a、b、c的值判断△的符号，再代入求根公式计算可得；
（2）将常数项移到方程的右边，再两边配上一次项系数一半的平方，写成完全平方式后开方即可得．
【解答】解：（1）∵a＝2、b＝4、c＝﹣1，
∴△＝42﹣4×2×（﹣1）＝24＞0，
则x＝＝；

（2）∵x2+6x+5＝0，
∴x2+6x＝﹣5，
则x2+6x+9＝﹣5+9，即（x+3）2＝4，
∴x+3＝2或x+3＝﹣2，
解得：x＝﹣1或x＝﹣5．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
17．已知实数x，y满足（x2+y2）（x2+y2﹣12）＝45，求x2+y2的值．
【分析】设x2+y2＝a，则方程变形为a（a﹣12）＝45，求出a的值，即可得出答案．
【解答】解：设x2+y2＝a，则a（a﹣12）＝45，
a2﹣12a﹣45＝0，
（a﹣15）（a+3）＝0，
a1＝15，a2＝﹣3，
∵x2+y2＝a≥0，
∴x2+y2＝15．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确换元是解此题的关键．
18．关于x的一元二次方程mx2+（3m﹣2）x﹣6＝0．
（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当m为何整数时，此方程的两个根都为负整数．
【分析】（1）由根的判别式可得到关于m的不等式，可求得满足条件的m的值；
（2）可先求得方程的两根，再由根为负整数可求得m的值．
【解答】解：（1）∵△＝b2﹣4ac＝（3m﹣2）2+24m＝（3m+2）2≥0
∴当m≠0且时，方程有两个不相等实数根；
（2）解方程，得：，x2＝﹣3，
∵m为整数，且方程的两个根均为负整数，
∴m＝﹣1或m＝﹣2，
∴m＝﹣1或m＝﹣2时，此方程的两个根都为负整数．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
19．关于x的方程x2﹣ax+a+1＝0有两个相等的实数根，求的值．
【分析】先化简分式，再由方程根的个数，可得到关于a的方程，可求得a2﹣4a的值，可求得答案．
【解答】解：
＝×＝×＝﹣，
∵关于x的方程x2﹣ax+a+1＝0有两个相等的实数根，
∴△＝0，即（﹣a）2﹣4（a+1）＝0，
∴a2﹣4a＝4，
∴原式＝﹣＝﹣．
【点评】本题主要考查分式的计算及根的判别式，熟练掌握分式的运算是解题的关键．
20．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．
（1）求a的取值范围；
（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．
【分析】（1）由方程有实数根，根据根的判别式可得到关于a的不等式，则可求得a的取值范围；
（2）由（1）中所求a的取值范围可求得a的最大整数值，代入方程求解即可．
【解答】解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根，
∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤；
（2）由（1）可知a≤，
∴a的最大整数值为4，
此时方程为x2﹣3x+2＝0，
解得x＝1或x＝2．
【点评】本题主要考查根的判别式，由根的判别式得到关于a的不等式是解题的关键．
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