2.3 一元二次方程的应用 同步练习

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浙教版八下同步练习第二章一元二次方程
2.3 一元二次方程的应用
题号 一 二 三 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人 得 分

一．选择题（共8小题）
1．某城市计划经过两年的时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，则每年平均增长（　　）
A．15% B．20% C．25% D．30%
2．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　）
A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10
3．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2
C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035
4．某市2013年生产总值（GDP）比2012年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2014年比2013年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（　　）
A．12%+7%＝x%
B．（1+12%）（1+7%）＝2（1+x%）
C．12%+7%＝2?x%
D．（1+12%）（1+7%）＝（1+x%）2
5．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，即在确保盈利的前提下，尽量增加销售量，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（　　）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．5
6．如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为112m2，设小路宽为xm，那么x满足的方程是（　　）

A．2x2﹣25x+16＝0 B．x2﹣25x+32＝0
C．x2﹣17x+16＝0 D．x2﹣17x﹣16＝0
7．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）

A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
8．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．



第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人 得 分

二．填空题（共6小题）
9．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有　 　人患有流感．
10．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为　 　．
11．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使花草的面积为468m2，那么通道的宽应设计成　 　m．

12．有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，若设这个框的宽为xcm，则可得方程为　 　．
13．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了　 　人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有　 　人被感染．
14．小明在一个月历的一个竖列上勾出三个相邻的数，任意两数相乘后，再求和，得194，这三个日期分别是　 　．
评卷人 得 分

三．解答题（共6小题）
15．利民商店经销甲、乙两种商品． 现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？
16．温州某学校搬迁，教师和学生的寝室数量在增加，若该校今年准备建造三类不同的寝室，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）．因实际需要，单人间的数量在20至于30之间（包括20和30），且四人间的数量是双人间的5倍．
（1）若2015年学校寝室数为64个，2017年建成后寝室数为121个，求2015至2017年的平均增长率；
（2）若建成后的寝室可供600人住宿，求单人间的数量；
（3）若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个，则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿？
17．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%，求出m的值．
18．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，求：
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）两轮后，人们觉察到此病，采取预防，这样平均一个人一轮以少传染3人的速度递减，第四轮后共有多少人得此病？
19．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

20．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．




参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．某城市计划经过两年的时间，将城市绿地面积从今年的144万平方米提高到225万平方米，则每年平均增长（　　）
A．15% B．20% C．25% D．30%
【分析】求增长率的等量关系：增长后的量＝（1+增长率）增长的次数×增长前的量．
【解答】解：设每年平均增长x，
根据题意得：144×（1+x）2＝225，
解之得，x＝0.25或﹣2.25（舍去）
答：每年平均增长25%．
故选：C．
【点评】掌握求增长率的等量关系．利用一元二次方程的模型解题．
2．在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是（　　）
A．x（x﹣1）＝10 B．＝10 C．x（x+1）＝10 D．＝10
【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，据此可列出关于x的方程．
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：x﹣1（次）；
依题意，可列方程为：＝10；
故选：B．
【点评】理清题意，找对等量关系是解答此类题目的关键；需注意的是本题中“每两人都握了一次手”的条件，类似于球类比赛的单循环赛制．
3．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2
C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035
【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．
【解答】解：∵全班有x名同学，
∴每名同学要送出（x﹣1）张；
又∵是互送照片，
∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．
4．某市2013年生产总值（GDP）比2012年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2014年比2013年增长7%．若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（　　）
A．12%+7%＝x%
B．（1+12%）（1+7%）＝2（1+x%）
C．12%+7%＝2?x%
D．（1+12%）（1+7%）＝（1+x%）2
【分析】根据增长率为12%，7%，可表示出2013年的国内生产总值，2014年的国内生产总值；求2年的增长率，可用2007年的国内生产总值表示出2014年的国内生产总值，让2014年的国内生产总值相等即可求得所列方程．
【解答】解：设2012年的国内生产总值为1，
∵2013年国内生产总值（GDP）比2012年增长了12%，
∴2013年的国内生产总值为1+12%；
∵2014年比2013年增长7%，
∴2014年的国内生产总值为（1+12%）（1+7%），
∵这两年GDP年平均增长率为x%，
∴2014年的国内生产总值也可表示为：（1+x%）2，
∴可列方程为：（1+12%）（1+7%）＝（1+x%）2．
故选：D．
【点评】考查了由实际问题列一元二次方程的知识，当必须的量没有时，应设其为1；若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b；注意2014年的国内生产总值是在2013年的国内生产总值的基础上增加的，需先算出2013年的国内生产总值．
5．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，为占有市场份额，即在确保盈利的前提下，尽量增加销售量，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（　　）元．
A．3 B．2.5 C．2 D．5
【分析】设售价为x元时，每星期盈利为6125元，那么每件利润为（x﹣40），原来售价为每件60元时，每星期可卖出300件，所以现在可以卖出[300+20（60﹣x）]件，然后根据盈利为6120元即可列出方程解决问题．
【解答】解：设售价为x元时，每星期盈利为6120元，
由题意得（x﹣40）[300+20（60﹣x）]＝6120，
解得：x1＝57，x2＝58，
由已知，要多占市场份额，故销售量要尽量大，即售价要低，故舍去x2＝58．
∴每件商品应降价60﹣57＝3元．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
6．如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分总面积为112m2，设小路宽为xm，那么x满足的方程是（　　）

A．2x2﹣25x+16＝0 B．x2﹣25x+32＝0
C．x2﹣17x+16＝0 D．x2﹣17x﹣16＝0
【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．
【解答】解：设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；
根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，
整理得：x2﹣17x+16＝0．
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的运用，弄清“草坪的总长度和总宽度”是解决本题的关键．
7．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于（　　）

A．0.5cm B．1cm C．1.5cm D．2cm
【分析】根据平移的性质，结合阴影部分是平行四边形，△AA′H与△HCB′都是等腰直角三角形，则若设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x，根据平行四边形的面积公式即可列出方程求解．
【解答】解：设AC交A′B′于H，
∵∠A＝45°，∠D＝90°
∴△A′HA是等腰直角三角形
设AA′＝x，则阴影部分的底长为x，高A′D＝2﹣x
∴x?（2﹣x）＝1
∴x＝1
即AA′＝1cm．
故选：B．

【点评】解决本题关键是抓住平移后图形的特点，利用方程方法解题．
8．如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由于四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，所以首先根据已知条件可以证明△ABE≌△ADF，再根据全等三角形的性质得到BE＝DF，设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，那么在Rt△ABE和Rt△ADF利用勾股定理可以列出关于x的方程，解方程即可求出BE．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中
，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
在Rt△CEF中，FE2＝CF2+CE2，
∴AB2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+1＝2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x＝2±，而x＜1，
∴x＝2﹣，
即BE的长为＝2﹣．
故选：A．

【点评】此题主要考查了正方形、等边三角形的知识，把求线段长放在正方形的背景中，利用勾股定理列出一元二次方程解决问题．
二．填空题（共6小题）
9．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感，若每轮传染中平均每个人传染的人数相同，那么第三轮过后，共有　512　人患有流感．
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有64人患了流感，可求出x，进而求出第三轮过后，共有多少人感染．
【解答】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
1+x+x（x+1）＝64
x＝7或x＝﹣9（舍去）．
64+64×7＝512（人）．
经过第三轮后，共有512人患有流感．
故答案为：512．
【点评】本题考查理解题意的能力，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人，然后求出三轮过后，共有多少人患病．
10．古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭．有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足．借问竿长多少数，谁人算出我佩服．”若设竿长为x尺，则可列方程为　（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2　．
【分析】设竿长为x尺，根据题意可得，则房门的宽为x﹣4，高为x﹣2，对角线长为x，然后根据勾股定理列出方程．
【解答】解：设竿长为x尺，
由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2．
故答案为：（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是根据题意表示出各个边的长度以及勾股定理的应用．
11．如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的矩形ABCD上，修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使花草的面积为468m2，那么通道的宽应设计成　2　m．

【分析】设通道的宽应设计成xm，将6块草地平移为一个长方形，长为（30﹣2x）m，宽为（20﹣x）m．根据长方形面积公式即可列方程（30﹣2x）（20﹣x）＝468．
【解答】解：设通道的宽应设计成xm，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝468，
解得x＝2或x＝﹣16（舍去）．
答：通道的宽应设计成2m．
故答案为2．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，掌握长方形的面积公式，求得6块草地平移为一个长方形的长和宽是解决本题的关键．
12．有一块长30cm，宽20cm的纸板，要挖出一个面积为200cm2的长方形的孔，并且四周宽度相等，若设这个框的宽为xcm，则可得方程为　（30﹣2x）（20﹣2x）＝200　．
【分析】设这个框的宽为xcm，先表示出长方形的孔的长是（30﹣2x）cm，宽是（20﹣2x）cm，再根据长方形的面积公式即可列方程．
【解答】解：设这个框的宽为xcm．
依题意有（30﹣2x）（20﹣2x）＝200．
故答案为：（30﹣2x）（20﹣2x）＝200．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题正确表示出长方形的孔的长和宽是解题的关键．
13．中新网4月26日电，据法新社26日最新消息，墨西哥卫生部长称，可能已有81人死于猪流感（又称甲型H1N1流感）．若有一人患某种流感，经过两轮传染后共有81人患流感，则每轮传染中平均一人传染了　8　人，若不加以控制，以这样的速度传播下去，经三轮传播，将有　729　人被感染．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，在第二轮传染中作为传染源的有（1+x）人，则第二轮得病的有x（1+x）人，则两轮后有1+x+x（1+x）人得病．根据题意列出方程求解即可．
【解答】解：患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人．
依题意列方程：1+x+x（1+x）＝81，即（1+x）2＝81，
解方程得：x1＝8，x2＝﹣10（舍去），
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人，
经三轮传播，将有（1+x）3＝（1+8）3＝729人被感染．
【点评】本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，故人数应该累加．
14．小明在一个月历的一个竖列上勾出三个相邻的数，任意两数相乘后，再求和，得194，这三个日期分别是　2，9，16　．
【分析】设中间的数为未知数，可得第一个数和第3个数，等量关系为：第一个数×第二个数+第二个数×第三个数+第一个数×第3个数，把相关数值代入求值即可．
【解答】解：设中间的数为x，则第一数为x﹣7，第三个数为x+7，
x（x﹣7）+x（x+7）+（x﹣7）（x+7）＝194，
3x2＝243，
x＝9或﹣9（不合题意，舍去），
∴第一个数为2，第3个数为16，
故答案为2，9，16．
【点评】考查用一元二次方程解决日历中的问题，得到和为194的等量关系是解决本题的关键．用到的知识点为：日历中竖列相邻的两个数相差7．
三．解答题（共6小题）
15．利民商店经销甲、乙两种商品． 现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：
（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？
（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？
【分析】（1）根据图上信息可以得出甲乙商品之间价格之间的等量关系，即可得出方程组求出即可；
（2）根据降价后甲乙每天分别卖出：（500+×100）件，（300+×100）件，每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；即可得出总利润，利用一元二次方程解法求出即可
【解答】解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲、乙两种商品的进货单价各为2元、3元；

（2）∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．
∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时，
甲乙每天分别卖出：（500+×100）件，（300+×100）件，
∵销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：3﹣2＝1元，5﹣3＝2元，
每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元；
w＝（1﹣m）×（500+×100）+（2﹣m）×（300+×100），
＝﹣2000m2+2200m+1100，
∴1700＝﹣2000m2+2200m+1100，
解：m＝0.6或0.5
∴当m定为0.5元或0.6元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润是1700元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用以及二次函数最值求法的应用，此题比较典型也是近几年中考中热点题型，注意表示总利润时分别表示出商品的单件利润和所卖商品件数是解决问题的关键．
16．温州某学校搬迁，教师和学生的寝室数量在增加，若该校今年准备建造三类不同的寝室，分别为单人间（供一个人住宿），双人间（供两个人住宿），四人间（供四个人住宿）．因实际需要，单人间的数量在20至于30之间（包括20和30），且四人间的数量是双人间的5倍．
（1）若2015年学校寝室数为64个，2017年建成后寝室数为121个，求2015至2017年的平均增长率；
（2）若建成后的寝室可供600人住宿，求单人间的数量；
（3）若该校今年建造三类不同的寝室的总数为180个，则该校的寝室建成后最多可供多少师生住宿？
【分析】（1）可设2015至2017年的平均增长率是x，根据等量关系：2015年学校寝室数×（1+平均增长率）2＝2017年学校寝室数，列出方程求解即可；
（2）设双人间的数量为y间，则四人间的数量为5y间，根据不等量关系：单人间的数量在20至于30之间（包括20和30），列出不等式，再根据整数的性质即可求解；
（3）由于四人间的数量是双人间的5倍，可知四人间和双人间的数量是5+1＝6的倍数，找到150～160间6的最大倍数，再进一步求出双人间和四人间的数量，以及单人间的数量，从而求解．
【解答】解：（1）设2015至2017年的平均增长率是x，依题意有
64（1+x）2＝121，
解得x1＝0.375，x2＝﹣2.375．
故2015至2017年的平均增长率为37.5%；
（2）设双人间的数量为y间，则四人间的数量为5y间，依题意有
20≤600﹣2y﹣4×5y≤30，
解得25≤y≤26，
∵y为整数，
∴y＝26，
600﹣2y﹣4×5y＝600﹣52﹣520＝28．
故单人间的数量是28间；
（3）由于四人间的数量是双人间的5倍，
则四人间和双人间的数量是5+1＝6的倍数，
∵150～160间6的最大倍数是156，
∴双人间156÷6＝26（间），
四人间的数量26×5＝130（间），
单人间180﹣156＝24（间），
24+26×2+130×4＝596（名）．
答：该校的寝室建成后最多可供596名师生住宿．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
17．“父母恩深重，恩怜无歇时”，每年5月的第二个星期日即为母亲节，节日前夕巴蜀中学学生会计划采购一批鲜花礼盒赠送给妈妈们．
（1）经过和花店卖家议价，可在原标价的基础上打八折购进，若在花店购买80个礼盒最多花费7680元，请求出每个礼盒在花店的最高标价；（用不等式解答）
（2）后来学生会了解到通过“大众点评”或“美团”同城配送会在（1）中花店最高售价的基础上降价25%，学生会计划在这两个网站上分别购买相同数量的礼盒，但实际购买过程中，“大众点评”网上的购买价格比原有价格上涨m%，购买数量和原计划一样：“美团”网上的购买价格比原有价格下降了m元，购买数量在原计划基础上增加15m%，最终，在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%，求出m的值．
【分析】（1）本题介绍两种解法：
解法一：设标价为x元，列不等式为0.8x?80≤7680，解出即可；
解法二：根据单价＝总价÷数量先求出1个礼盒最多花费，再除以折扣可求出每个礼盒在花店的最高标价；
（2）先假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，表示在“大众点评”网上的购买实际消费总额：120a（1﹣25%）（1+m%），在“美团”网上的购买实际消费总额：a[120（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）；根据“在两个网站的实际消费总额比原计划的预算总额增加了m%”列方程解出即可．
【解答】解：（1）解法一：设标价为x元，
列不等式为0.8x?80≤7680，
x≤120；

解法二：7680÷80÷0.8，
＝96÷0.8，
＝120（元），
答：每个礼盒在花店的最高标价是120元；
（2）假设学生会计划在这两个网站上分别购买的礼盒数为a个礼盒，
由题意得：120×0.8a（1﹣25%）（1+m%）+a[120×0.8（1﹣25%）﹣m]（1+15m%）＝120×0.8a（1﹣25%）×2（1+m%），
72a（1+m%）+a（72﹣m）（1+15m%）＝144a（1+m%），
0.0675m2﹣1.35m＝0，
m2﹣20m＝0
m1＝0（舍），m2＝20，
答：m的值是20．
【点评】本题是一元二次方程的应用，第二问有难度，正确表示出“大众点评”或“美团”实际消费总额是解题关键．
18．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，求：
（1）每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）两轮后，人们觉察到此病，采取预防，这样平均一个人一轮以少传染3人的速度递减，第四轮后共有多少人得此病？
【分析】（1）设每轮一人传染了x人，根据题意可得：第一轮患病的人数为1+1×传播的人数；第一轮患病人数将成为第二轮的传染源，第二轮患病的人数为第一轮患病的人数×传播的人数，等量关系为：第一轮患病的人数+第二轮患病的人数＝121；
（2）根据题意可得：再过两轮的患病人数＝121+121×（原来的传播人数﹣3）+前3轮一共患病的人数×（第3轮的传播人数﹣3）．
【解答】解：（1）设每轮一人传染了x人，由题意得：
1+x+（1+x）×x＝121，
（1+x）2＝121，
∵1+x＞0，
∴1+x＝11，
x＝10．
答：每轮一人传染了10人；

（2）121+121×（10﹣3）+[121+121×（10﹣3）]×（10﹣3﹣3）
＝121+847+[121+847]×4
＝968+968×4
＝4840（人）．
答：第四轮后共有4840人得此病．
【点评】此题主要考查一元二次方程的应用；得到两轮患病人数的等量关系是解决本题的关键；易错点是理解第一轮患病的总人数是第二轮的传染源．
19．如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．
（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？
（2）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．
（3）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C点出发以2cm/s的速度移动，P，Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？

【分析】（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，根据等量关系：△PBQ的面积等于8cm2，列出方程求解即可；
（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解；
（3）分三种情况：①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4）；②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6）；③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6）；进行讨论即可求解．
【解答】解：（1）设经过x秒，使△PBQ的面积等于8cm2，依题意有
（6﹣x）?2x＝8，
解得x1＝2，x2＝4，
经检验，x1，x2均符合题意．
故经过2秒或4秒，△PBQ的面积等于8cm2；

（2）设经过y秒，线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分，依题意有
△ABC的面积＝×6×8＝24，
（6﹣y）?2y＝12，
y2﹣6y+12＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝36﹣4×12＝﹣12＜0，
∴此方程无实数根，
∴线段PQ不能否将△ABC分成面积相等的两部分；

（3）①点P在线段AB上，点Q在线段CB上（0＜x＜4），
设经过m秒，依题意有
（6﹣m）（8﹣2m）＝1，
m2﹣10m+23＝0，
解得m1＝5+，m2＝5﹣，
经检验，m1＝5+不符合题意，舍去，
∴m＝5﹣；
②点P在线段AB上，点Q在射线CB上（4＜x＜6），
设经过n秒，依题意有
（6﹣n）（2n﹣8）＝1，
n2﹣10n+25＝0，
解得n1＝n2＝5，
经检验，n＝5符合题意．
③点P在射线AB上，点Q在射线CB上（x＞6），
设经过k秒，依题意有
（k﹣6）（2k﹣8）＝1，
k2﹣10k+23＝0，
解得k1＝5+，k2＝5﹣，
经检验，k1＝5﹣不符合题意，舍去，
∴k＝5+；
综上所述，经过（5﹣）秒，5秒，（5+）秒后，△PBQ的面积为1cm2．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．注意分类思想的运用．
20．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知，这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）写出一个“勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC面积．

【分析】（1）直接找一组勾股数代入方程即可；
（2）通过判断根的判别式△的正负来证明结论；
（3）利用根的意义和勾股定理作为相等关系先求得c的值，根据完全平方公式求得ab的值，从而可求得面积．
【解答】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时
勾系一元二次方程为3x2+5x+4＝0；

（2）证明：根据题意，得
△＝（c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab
∵a2+b2＝c2
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0
即△≥0
∴勾系一元二次方程必有实数根；

（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣c+b＝0，即a+b＝c
∵2a+2b+c＝6，即2（a+b）+c＝6
∴3c＝6
∴c＝2
∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝2
∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴ab＝2
∴S△ABC＝ab＝1．
【点评】此类题目要读懂题意，根据题目中所给的材料结合勾股定理和根的判别式解题．
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