第一章 二次根式好题精选

第一章二次根式好题精选
一．选择题（共15小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．2×32＝62＝36
C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝﹣5 D．﹣2×+2×（3+）+4＝10
2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（　　）
A．甲的解法正确，乙的解法不正确
B．甲的解法不正确，乙的解法正确
C．甲、乙的解法都正确
D．甲、乙的解法都不正确
3．下列计算正确的是（　　）
A．＝±15 B．＝﹣3 C．＝ D．＝
4．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（　　）
A． B． C． D．
5．下列各式中计算正确的是（　　）
A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8
B．＝4a（a＞0）
C．＝3+4＝7
D．＝
6．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a
7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　）
A．n B．n C．n D．n+
8．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（　　）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
9．已知，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
10．已知x＜1，则化简的结果是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
11．的整数部分是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．估计代数式+的运算结果应在（　　）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
13．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．若＝﹣，则（　　）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠0
15．设S1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，Sn＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++??+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（　　）
A．n B． C．n2 D．
二．填空题（共10小题）
16．计算（）＝　 　．
17．如果（a，b为有理数），则a＝　 　，b＝　 　．
18．计算：（3+1）（3﹣1）＝　 　．
19．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是　 　．
20．当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝　 　．
21．若x＝﹣1，则＝　 　．
22．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝　 　．
23．在正方形ABCD中，E是边BC上一点，如果这个正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE的长用含m的代数式表示为　 　．
24．化简：2＜x＜4时，﹣＝　 　．
25．已知a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是　 　．
三．解答题（共15小题）
26．计算
（1）﹣+
（2）（）（）﹣（﹣）2
27．当t＝2时，求二次根式的值．
28．已知a，b，c为△ABC三边，化简+|b﹣a﹣c|．
29．．
30．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
31．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．
32．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2
33．先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣（﹣a）2，其中a＝2﹣1．
34．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
35．观察下列各式：
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）＝　 　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　 　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
36．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2
∴＝＝1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
37．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与　 　互为有理化因式，将分母有理化得　 　；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
38．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值
39．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．
40．现有一组有规律的数：1，﹣1，，﹣，，﹣，1，﹣1，，﹣，，﹣…其中1，﹣1，，﹣，，﹣这六个数按此规律重复出现．
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？

参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．下列计算正确的是（　　）
A．＝±4 B．2×32＝62＝36
C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝﹣5 D．﹣2×+2×（3+）+4＝10
【分析】根据实数与二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得．
【解答】解：A．＝4，此选项错误；
B．2×32＝2×9＝18，此选项错误；
C．（﹣5）÷（﹣2）×（﹣）＝×（﹣）＝﹣，此选项错误；
D．﹣2×+2×（3+）+4＝﹣2+6+2+4＝10，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
2．化简（x≠y，且x、y都大于0），甲的解法；＝＝﹣；乙的解法：＝＝﹣，下列判断正确的是（　　）
A．甲的解法正确，乙的解法不正确
B．甲的解法不正确，乙的解法正确
C．甲、乙的解法都正确
D．甲、乙的解法都不正确
【分析】分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式，或者运用因式分解和约分．
【解答】解：甲的解法：＝＝﹣，利用平方差公式进行分母有理化，正确；
乙的解法：＝＝﹣，利用因式分解进行分母有理化，正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，分母有理化是指把分母中的根号化去．
3．下列计算正确的是（　　）
A．＝±15 B．＝﹣3 C．＝ D．＝
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：A、＝15，故此选项错误；
B、＝3，故此选项错误；
C、＝，故此选项错误；
D、＝，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
4．设a，b≠0，式子有意义，则该式等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】先根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式﹣a3≥0，再根据公式＝|a|及有理数的乘法法则得出a、b的取值范围，然后化简即可．
【解答】解：由题意，得﹣a3≥0，
又∵＝b2≥0，b为任意数，
∴﹣a3≥0，
∴a≤0，
∴＝＝?＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质及二次根式的化简．用到的知识点有：
①二次根式的被开方数是非负数；
②两个公式：＝（a≥0，b≥0），＝|a|．
5．下列各式中计算正确的是（　　）
A．＝×＝（﹣2）×（﹣4）＝8
B．＝4a（a＞0）
C．＝3+4＝7
D．＝
【分析】根据二次根式的意义、性质逐一判断即可得．
【解答】解：A．、没有意义，此选项错误；
B．＝2a（a＞0），此选项错误；
C．＝＝5，此选项错误；
D．＝，此选项正确；
故选：D．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是二次根式的定义和性质．
6．在△ABC中，a、b、c为三角形的三边，化简﹣2|c﹣a﹣b|的结果为（　　）
A．3a+b﹣c B．﹣a﹣3b+3c C．a+3b﹣c D．2a
【分析】首先根据三角形的三边关系得到根号内或绝对值内的式子的符号，再根据二次根式或绝对值的性质化简．
【解答】解：∵a、b、c为三角形的三边，
∴a+c＞b，a+b＞c，
即a﹣b+c＞0，c﹣a﹣b＜0；
∴﹣2|c﹣a﹣b|＝（a﹣b+c）+2（c﹣a﹣b）＝﹣a﹣3b+3c．
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0时，＝a；a＜0时，＝﹣a；a＝0时，＝0．
绝对值的性质：负数的绝对值等于它的相反数；正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0．
7．如果f（x）＝并且f（）表示当x＝时的值，即f（）＝＝，表示当x＝时的值，即f（）＝，那么f（）+f（）+f（）+f（）+的值是（　　）
A．n B．n C．n D．n+
【分析】认真观察题中式子的特点，找出其中的规律，代入计算即可．
【解答】解：代入计算可得，f（）+f（）＝1，f（）+f（）＝1…f（）+f（）＝1，
所以，原式＝+（n﹣1）＝n﹣．
故选：A．
【点评】解答此类题目的关键是认真观察题中式子的特点，找出其中的规律．
8．若＝3﹣a，则a与3的大小关系是（　　）
A．a＜3 B．a≤3 C．a＞3 D．a≥3
【分析】等式左边为算术平方根，其结果3﹣a应该为非负数．
【解答】解：∵＝3﹣a
∴3﹣a≥0
∴a≤3
故选：B．
【点评】注意：算术平方根是非负数，这是解答此题的关键．
9．已知，则的值为（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】根据，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值，本题得以解决．
【解答】解：∵，
∴a﹣3＝0，2﹣b＝0，
解得，a＝3，b＝2，
∴＝＝＝，
故选：D．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、非负数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出a、b的值．
10．已知x＜1，则化简的结果是（　　）
A．x﹣1 B．x+1 C．﹣x﹣1 D．1﹣x
【分析】先进行因式分解，x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，再根据二次根式的性质来解题即可．
【解答】解：
＝
＝|x﹣1|
∵x＜1，
∴原式＝﹣（x﹣1）＝1﹣x，
故选：D．
【点评】根据完全平方公式、绝对值的运算解答此题．
11．的整数部分是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】由于＝﹣1，＝﹣，…，＝﹣+，于是可得原式＝﹣1+﹣+…﹣+，计算即可．
【解答】解：∵＝﹣1，＝﹣…＝﹣+，
∴原式＝﹣1+﹣+…﹣+＝﹣1+10＝9．
【点评】本题考查了二次根式的加减法．解题的关键是对每一个分式分母有理化．
12．估计代数式+的运算结果应在（　　）
A．1到2之间 B．2到3之间 C．3到4之间 D．4到5之间
【分析】先化成最简二次根式，再合并，最后求出的范围即可．
【解答】解：+
＝+
＝2
＝，
∵2＜＜3，
∴代数式+的运算结果在2到3之间，
故选：B．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数大小的应用，主要考查学生的计算能力．
13．已知方程+3＝，则此方程的正整数解的组数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】先把化为最简二次根式，由+3＝可知，化为最简根式应与为同类根式，即可得到此方程的正整数解的组数有三组．
【解答】解：∵＝10，x，y为正整数，
∴，化为最简根式应与为同类根式，只能有以下三种情况：
+3＝+9＝4+6＝7+3＝10．
∴，，，共有三组解．
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．
14．若＝﹣，则（　　）
A．a＜0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．ab≤0 D．ab≤0且b≠0
【分析】先判断结果的情况，再判断ab积的情况．
【解答】解：∵＝≥0
又∵＝﹣，
∴﹣≥0
∴ab≤0且b≠0
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题需着眼于整体．本题易忽略b≠0而出错．
15．设S1＝1，S2＝1+3，S3＝1+3+5，…，Sn＝1+3+5+…+（2n﹣1），S＝++??+，其中n为正整数，用含n的代数式表示S为（　　）
A．n B． C．n2 D．
【分析】求出S1，S2，S3，…的值，代入后根据二次根式的性质求出每一部分的值，再求出最后结果即可．
【解答】解：∵S1＝1，S2＝1+3＝4，S3＝1+3+5＝9，…，Sn＝1+3+5+…+（2n﹣1），
∴S＝++??+，
＝+++…+
＝1+2+3+…+n
＝，
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的性质的应用，注意：1+2+3+…n＝．
二．填空题（共10小题）
16．计算（）＝　　．
【分析】先计算括号内的加法，再计算除法即可得．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝×
＝，
故答案为：
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
17．如果（a，b为有理数），则a＝　6　，b＝　4　．
【分析】先计算出（2+）2，再根据可得答案．
【解答】解：∵（2+）2＝4+4+2＝6+4，
∴a＝6、b＝4．
故答案为：6、4．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及完全平方公式．
18．计算：（3+1）（3﹣1）＝　17　．
【分析】根据平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝（3）2﹣12
＝18﹣1
＝17
故答案为：17．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握平方差公式、二次根式的性质是解题的关键．
19．已知：x＝，计算x2﹣x+1的值是　+4　．
【分析】先将x的值分母有理化得出x＝+1，再代入原式，根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：∵x＝＝＝＝+1，
∴x2﹣x+1＝（+1）2﹣（+1）+1
＝4+2﹣﹣1+1
＝+4．
故答案为：+4．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分母有理化．
20．当x＝1﹣时，x2﹣2x+2028＝　2030　．
【分析】将x的值代入x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027，根据二次根式的运算法则计算可得．
【解答】解：当x＝1﹣时，
x2﹣2x+2028＝（x﹣1）2+2027
＝（1﹣﹣1）2+2027
＝（﹣）2+2027，
＝3+2027
＝2030，
故答案为：2030．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质和运算法则及完全平方公式．
21．若x＝﹣1，则＝　2　．
【分析】将x的值代入原式＝，计算可得．
【解答】解：当x＝﹣1时，
原式＝
＝
＝
＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质．
22．已知：m+n＝10，mn＝9，则＝　±　．
【分析】先求所求的代数式的完全平方形式，然后直接开平方即可求得的值．
【解答】解：∵m+n＝10，mn＝9，
∴（）2
＝
＝
＝
＝，
∴＝±．
故答案是：．
【点评】考查了二次根式的化简求值，需要掌握完全平方公式，属于基础计算题．
23．在正方形ABCD中，E是边BC上一点，如果这个正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，那么BE的长用含m的代数式表示为　　．
【分析】首先根据正方形的面积，表示出△ABE的面积，然后利用三角形的面积的公式表示出线段BE的长即可．
【解答】解：∵正方形的面积为m，△ABE的面积等于正方形面积的四分之一，
∴正方形的边长AB＝，△ABE的面积为，
∵S△ABE＝AB?BE＝BE＝，
∴BE＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是表示出正方形的边长及直角三角形的面积．
24．化简：2＜x＜4时，﹣＝　2x﹣6　．
【分析】首先根据x的范围确定x﹣2与x﹣4的符号，然后利用算术平方根的定义，以及绝对值的性质即可化简．
【解答】解：∵2＜x＜4，
∴x﹣2＞0，x﹣4＜0，
∴原式＝﹣
＝|x﹣2|﹣|x﹣4|
＝x﹣2﹣（4﹣x）
＝x﹣2﹣4+x
＝2x﹣6．
故答案为：2x﹣6．
【点评】本题考查了二次根式的化简，正确理解算术平方根的性质是关键．
25．已知a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，那么的主要值是　4　．
【分析】根据a，b均为正整数，如果0＜﹣b＜1，我们称b是的“主要值”，可以求得的主要值．
【解答】解：∵0＜﹣4＜1，
∴的主要值是4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，可以估算出处于哪两个整数之间．
三．解答题（共15小题）
26．计算
（1）﹣+
（2）（）（）﹣（﹣）2
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣2+10＝；
（2）原式＝2﹣6﹣（2﹣2+）
＝﹣4﹣
＝﹣4．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
27．当t＝2时，求二次根式的值．
【分析】将t的值代入＝＝|3﹣t|计算可得．
【解答】解：当t＝2时，
＝
＝|3﹣t|
＝|3﹣2|
＝3﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的基本性质．
28．已知a，b，c为△ABC三边，化简+|b﹣a﹣c|．
【分析】根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定a﹣b﹣c以及绝对值里的式子的正负值，然后去绝对值进行计算即可．
【解答】解∵a，b，c为△ABC三边，
∴原式＝|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|＝b+c﹣a+a+c﹣b＝2c．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，以及绝对值的性质，关键是掌握三边关系定理．
29．．
【分析】根据二次根式的定义得出x﹣8≥0，8﹣x≥0，求出x，代入求出y，把所求代数式化简后代入求出即可．
【解答】解：要使y＝++9有意义，
必须x﹣8≥0，且8﹣x≥0，
解得：x＝8，
把x＝8代入得：y＝0+0+9＝9，
∴＝，
＝+，
＝+，
＝．
【点评】本题考查了对二次根式有意义的条件，二次根式的化简，分母有理化等知识点的应用，解此题的关键是求出x、y的值，通过做此题培养了学生灵活运用性质进行求值的能力，题目比较典型．
30．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；
（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
31．化简求值：已知：x＝，y＝，求（x+3）（y+3）的值．
【分析】将x和y的值分母有理化，再代入到原式xy+3x+3y+9＝xy+3（x+y）+9计算可得．
【解答】解：当x＝＝＝，
y＝＝＝时，
原式＝xy+3x+3y+9
＝xy+3（x+y）+9
＝×+3×（+）+9
＝+3×+9
＝+3+9
＝+3．
【点评】此题考查了二次根式的化简求值与分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式及二次根式的混合运算顺序与运算法则是解答问题的关键．
32．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2
【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a＝17﹣12＝（3﹣2）2、b＝3+2＝（+1）2，代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）?
＝[﹣]?
＝?
＝，
∵a＝17﹣12＝32﹣2××（2）2＝（3﹣2）2，
b＝3+2＝（）2+2+1＝（+1）2，
∴原式＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．
33．先化简，再求值：（a+）（a﹣）﹣（﹣a）2，其中a＝2﹣1．
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项即可化简二次根式，最后将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝a2﹣5﹣3﹣a2+2a
＝2a﹣8．
∵a＝2﹣1，
∴原式＝2×（2﹣1）﹣8
＝4﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和二次根式的性质．
34．先化简，再求值：已知x＝，求+的值．
【分析】先将x的值分母有理化，再根据二次根式的性质和运算法则化简原式，从而得出答案．
【解答】解：∵x＝＝3﹣2，
∴x﹣2＝1﹣2＜0，
则原式＝x﹣1+
＝x﹣1﹣1
＝x﹣2
＝1﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握分母有理化与分式的混合运算顺序与运算法则、二次根式的性质．
35．观察下列各式：
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
＝1+﹣＝1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）＝　1　
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：　＝1+　；
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解答】解：（1）＝1＝1；故答案为：1；
（2）＝1+＝1+；故答案为：＝1+；
（3）．
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
36．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn＝，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简．
例如：化简
解：∵3+2＝1+2+2＝12+（）2+2×1×＝（1+）2
∴＝＝1+；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：（1）；（2）．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解答】解：（1）∵5+2＝3+2+2
＝（）2+（）2+2××
＝（+）2，
∴＝＝+；
（2）∵7﹣4＝4+3﹣4＝22+（）2﹣2×2×
＝（2﹣）2，
∴＝＝2﹣．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
37．阅读材料：像（+）（﹣）＝3、?＝a（a≥0）、（+1）（﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，+1与﹣1，2+3与2﹣3等都是互为有理化因式．
在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．
例如：；＝．
解答下列问题：
（1）3﹣与　3+　互为有理化因式，将分母有理化得　　；
（2）计算：；
（3）已知有理数a、b满足，求a、b的值．
【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简；
（2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子；
（3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值．
【解答】解：（1）3﹣与3+互为有理化因式，＝，
故答案为：3，；
（2）
＝﹣2
＝2﹣；
（3）∵，
∴a（﹣1）+b＝﹣1+2，
∴﹣a+（a+）＝﹣1+2，
∴﹣a＝﹣1，a+＝2，
解得，a＝1，b＝2．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法．
38．已知a＝，b＝，求a2+3ab+b2﹣a+b的值
【分析】先由a、b的值计算出a+b、a﹣b、ab的值，再代入到原式＝a2+3ab+b2﹣a+b＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab．
【解答】解：∵a＝，b＝，
∴a+b＝2，a﹣b＝﹣2，ab＝1，
∴原式＝a2+3ab+b2﹣a+b
＝a2+2ab+b2﹣a+b+ab，
＝（a+b）2﹣（a﹣b）+ab
＝（2）2﹣（﹣2）+1
＝13+2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，在解答此题类目时要根据各题的特点灵活解答．
39．（利用解决本题）已知△ABC的三边分别为a、b、c，化简：++．
【分析】根据两边之和大于第三边可将各二次根式求出，从而可得出化简后的答案．
【解答】解：由三边关系得：a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，
∴原式＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．
【点评】本题考查二次根式的化简及三角形的三边关系，掌握三角形两边之和大于第三边是关键．
40．现有一组有规律的数：1，﹣1，，﹣，，﹣，1，﹣1，，﹣，，﹣…其中1，﹣1，，﹣，，﹣这六个数按此规律重复出现．
（1）第50个数是什么数？
（2）把从第1个数开始的前2017个数相加，结果是多少？
（3）从第1个数起，把连续若干个数的平方相加起来，如果和为520，那么一共是多少个数的平方相加？
【分析】（1）首先根据这列数的排列规律，可得每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，然后用50除以6，根据余数的情况判断出第50个数是什么数即可；
（2）首先用2017除以6，求出一共有多少个循环，以及剩下的数是多少；然后用循环的个数乘以1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，再加上剩下的数，求出把从第1个数开始的前2015个数相加，结果是多少即可；
（3）首先求出1，﹣1，，﹣，，﹣六个数的平方和是多少；然后用520除以六个数的平方和，根据商和余数的情况，判断出一共有多少个数的平方相加即可．
【解答】解：（1）这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，
∴50÷6＝8…2，
∴第50个数是﹣1．
（2）∵2017÷6＝336…1，且1+（﹣1）++（﹣）++（﹣）＝0，
∴从第1个数开始的前2017个数的和是：336×0+1＝1．
（3）∵12+（﹣1）2+（）2+（﹣）2+（）2+（﹣）2＝12，
520÷12＝43…4，而且12+（﹣1）2+（）2＝4，
∴43×6+3＝261，
即共有261个数的平方相加．
【点评】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：这列数每6个数一个循环：1，﹣1，，﹣，，﹣，而且每个循环的6个数的和是0．