第二章 一元二次方程好题精选

第二章一元二次方程好题精选
一．选择题（共15小题）
1．方程（x+3）（x﹣4）＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3
2．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
3．关于x的一元二次方程x2+4x﹣2k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2 C．k＜﹣2 D．k≤﹣2
4．一元二次方程x（x+2）＝3（x+2）的根是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝﹣2，x2＝3
5．一元二次方程﹣x2+8x+1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
6．“十一”期间，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则这次参加比赛的队伍有（　　）
A．12支 B．11支 C．9支 D．10支
7．随着台州市打造“和合圣地”的推进，某企业推出以“和合文化”为载体的产品，2017年盈利50万元，计划到2019年盈利84.5万元，则该产品的年平均增长率为（　　）
A．20% B．30% C．34.5% D．69%
8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．对于“和美方程”，下列结论正确的是（　　）
A．方程两根之和等于0
B．方程有一根等于0
C．方程有两个相等的实数根
D．方程两根之积等于0
9．已知一个矩形的面积为36cm2，周长为40cm，则该矩形的长等于（　　）
A．4cm B．9cm C．18cm D．20cm
10．若a、b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则a2﹣3b的值是（　　）
A．3 B．﹣15 C．﹣3 D．15
11．若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≠0 C．m≤且m≠0 D．m＜2
12．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
13．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝（　　）
A．﹣5 B．9 C．5 D．7
14．不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（　　）
A．总不小于1 B．总不小于11
C．可为任何实数 D．可能为负数
15．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2017的值为（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
二．填空题（共10小题）
16．当x＝1时，代数式ax2﹣2bx+1的值等于5，则当x＝2时，代数式﹣2ax2+8bx﹣1的值为　 　．
17．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是　 　　 　
18．关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　 　．
19．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　 　．
20．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为　 　．
21．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是　 　．
22．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1＝0的较大根为a，方程x2+2006x﹣2007＝0的较小根为b，则a﹣b＝　 　．
23．设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，则＝　 　．
24．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　；
25．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的两个根记作an，bn（n≥2），则+…＝　 　．
三．解答题（共15小题）
26．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0
（2）（x﹣1）2＝2x﹣2．
27．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝4时，求方程的根．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
29．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5000万元，2018年投入教育经费7200万元．
（1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2019年该地区投入教育经费为　 　万元．
30．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书　 　本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
31．在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？
32．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1＝0．
（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；
（2）若m为负数，判断方程根的情况．
33．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；
（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.5亿元？
34．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+＝﹣1，求k的值．
35．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
36．某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．
37．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/m2下降到12月份的11340元/m2．
（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．
38．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
39．关于x的方程x2+2x+1﹣λ（x2﹣1）＝0，按下列要求，回答问题：
（1）当λ＝2时，判断这个方程根的情况？（写出过程）
（2）证明：无论λ为任何实数，这个方程至少有一个根．
40．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+2m+3＝0的一个根，求方程的另一个根．

参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．方程（x+3）（x﹣4）＝0的两个根为（　　）
A．x1＝﹣2，x2＝6 B．x1＝﹣6，x2＝2 C．x1＝﹣3，x2＝4 D．x1＝﹣4，x2＝3
【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：∵（x+3）（x﹣4）＝0，
∴x+3＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝4，
故选：C．
【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用适当的方法解一元二次方程，属于中考常考题型．
2．等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根，则这个等腰三角形的周长为（　　）
A．8 B．10 C．8或10 D．不能确定
【分析】求出方程的解，得出三角形的三边长，即可得出答案．
【解答】解：解x2﹣6x+8＝0得：x＝4或2，
当三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；
当三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长为2+4+4＝10，
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理，解一元二次方程的应用，能求出方程的解是解此题的关键．
3．关于x的一元二次方程x2+4x﹣2k＝0有实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k≥﹣2 B．k＞﹣2 C．k＜﹣2 D．k≤﹣2
【分析】根据根的判别式得出不等式42﹣4×1×（﹣2k）≥0，求出不等式的解集即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+4x﹣2k＝0有实数根，
∴△＝42﹣4×1×（﹣2k）≥0，
解得：k≥﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式和一元二次方程的定义，能得出关于k的不等式是解此题的关键．
4．一元二次方程x（x+2）＝3（x+2）的根是（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣2
C．x1＝﹣2，x2＝﹣3 D．x1＝﹣2，x2＝3
【分析】方程变形后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：方程移项得：x（x+2）﹣3（x+2）＝0，
分解因式得：（x﹣3）（x+2）＝0，
可得x+2＝0或x﹣3＝0，
解得：x1＝﹣2，x2＝3，
故选：D．
【点评】此题考查了解一元一次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
5．一元二次方程﹣x2+8x+1＝0配方后可变形为（　　）
A．（x+4）2＝17 B．（x+4）2＝15 C．（x﹣4）2＝17 D．（x﹣4）2＝15
【分析】移项，系数化成1，再配方，即可得出选项．
【解答】解：﹣x2+8x+1＝0，
﹣x2+8x＝﹣1，
x2﹣8x＝1，
x2﹣8x+16＝1+16，
（x﹣4）2＝17，
故选：C．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．
6．“十一”期间，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，则这次参加比赛的队伍有（　　）
A．12支 B．11支 C．9支 D．10支
【分析】此题可通过设出队数是x，则每个队都与另外一个队进行一场比赛，每队参加x﹣1场比赛，而任何两队设都只赛一场，因而共举行x（x﹣1）场比赛，根据题意列出一元二次方程求得．
【解答】解：设这次有x个队参加比赛；
由题意得，，
解得x＝10或﹣9（舍去）；
∴这次有10个队参加比赛．
故选：D．
【点评】考查了一元二次方程的应用．本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以2．
7．随着台州市打造“和合圣地”的推进，某企业推出以“和合文化”为载体的产品，2017年盈利50万元，计划到2019年盈利84.5万元，则该产品的年平均增长率为（　　）
A．20% B．30% C．34.5% D．69%
【分析】设该产品的年平均增长率x，根据2017年的盈利额及2019年的盈利额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设该产品的年平均增长率x，
根据题意得：50（1+x）2＝84.5，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不合题意，舍去）．
答：该公司这两年盈利额的年平均增长率是30%．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．定义：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a+b+c＝0，那么我们称这个方程为“至和”方程；如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）满足a﹣b+c＝0那么我们称这个方程为“至美”方程，如果一个一元二次方程既是“至和”方程又是“至美”方程我们称之为“和美方程”．对于“和美方程”，下列结论正确的是（　　）
A．方程两根之和等于0
B．方程有一根等于0
C．方程有两个相等的实数根
D．方程两根之积等于0
【分析】根据已知得出方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x＝1和x＝﹣1，再判断即可．
【解答】解：∵把x＝1代入方程ax2+bx+c＝0得出：a+b+c＝0，
把x＝﹣1代入方程ax2+bx+c＝0得出a﹣b+c＝0，
∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x＝1和x＝﹣1，
∴1+（﹣1）＝0，
即只有选项A正确；选项C、B、D都错误．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，根与系数的关系的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力．
9．已知一个矩形的面积为36cm2，周长为40cm，则该矩形的长等于（　　）
A．4cm B．9cm C．18cm D．20cm
【分析】设该矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，根据矩形面积公式列出方程并解答．
【解答】解：设该矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，
依题意得：x（20﹣x）＝36
解得x1＝18，x2＝2（舍去）
故选：C．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
10．若a、b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则a2﹣3b的值是（　　）
A．3 B．﹣15 C．﹣3 D．15
【分析】根据根与系数的关系可得a+b＝﹣3，根据一元二次方程的解的定义可得a2＝﹣3a+6，然后代入变形、求值即可．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，
∴a2+3a﹣6＝0，即a2＝﹣3a+6，a+b＝﹣3，
则a2﹣3b＝﹣3a+6﹣3b
＝﹣3（a+b）+6
＝﹣3×（﹣3）+6
＝9+6
＝15，
故选：D．
【点评】本题考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，难度适中，关键掌握用根与系数的关系与代数式变形相结合进行解题．
11．若关于x的一元二次方程mx2﹣4x+3＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≤2 B．m≠0 C．m≤且m≠0 D．m＜2
【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，共同确定m的范围．
【解答】解：因为方程是一元二次方程，
所以m≠0，
因为方程有实数根，
所以△＝16﹣12m≥0，
所以m≤
所以m≤且m≠0．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式：△＝b2﹣4ac．
12．一元二次方程x2﹣3x+2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【分析】先求出“△”的值，再判断即可．
【解答】解：x2﹣3x+2＝0，
△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，
所以方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
13．设m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，则m2+3m+n＝（　　）
A．﹣5 B．9 C．5 D．7
【分析】由韦达定理和方程的解的定义得出m+n＝﹣2，m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，代入原式＝m2+2m+m+n计算可得．
【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2+2x﹣7＝0的两个根，
∴m+n＝﹣2，m2+2m﹣7＝0，即m2+2m＝7，
则原式＝m2+2m+m+n＝7﹣2＝5，
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a、b、c均为常数且a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2＝﹣，x1?x2＝．
14．不论x、y为何值，用配方法可说明代数式x2+4y2+6x﹣4y+11的值（　　）
A．总不小于1 B．总不小于11
C．可为任何实数 D．可能为负数
【分析】利用配方法，根据非负数的性质即可解决问题；
【解答】解：∵x2+4y2+6x﹣4y+11＝（x+3）2+（2y﹣1）2+1，
又∵（x+3）2≥0，（2y﹣1）2≥0，
∴x2+4y2+6x﹣4y+11≥1，
故选：A．
【点评】本题考查配方法的应用，非负数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握配方法，属于中考常考题型．
15．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子2m2+2m+2017的值为（　　）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【分析】根据一元二次方程的解的定义得到m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1，然后利用整体代入的方法计算2m2+2m+2017的值．
【解答】解：∵m是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴m2+m﹣1＝0，
即m2+m＝1，
∴2m2+2m+2017＝2（m2+m）+2017＝2+2017＝2019．
故选：D．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
二．填空题（共10小题）
16．当x＝1时，代数式ax2﹣2bx+1的值等于5，则当x＝2时，代数式﹣2ax2+8bx﹣1的值为　﹣33　．
【分析】利用x＝1时ax2﹣2bx+1的值等于5得到a﹣2b＝4，而当x＝2时，﹣2ax2+8bx﹣1＝﹣8a+16b﹣1，利用因式分解得方法得到﹣8a+16b﹣1＝﹣8（a﹣2b）﹣1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵x＝1时ax2﹣2bx+1的值等于5，
∴a﹣2b+1＝5，
即a﹣2b＝4，
∴当x＝2时，﹣2ax2+8bx﹣1＝﹣8a+16b﹣1＝﹣8（a﹣2b）﹣1＝﹣8×4﹣1＝﹣33．
故答案为﹣33．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了整体代入的思想．
17．已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是　7　
【分析】设另一根为a，直接利用根与系数的关系可得到关于a的方程，则可求得答案．
【解答】解：
设方程的另一根为a，
∵﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，
∴﹣3+a＝4，解得a＝7，
故答案为：7．
【点评】本题有要考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
18．关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是　m＜且m≠0　．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4﹣12m＞0且m≠0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵一元二次方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，
∴△＞0且m≠0，
∴4﹣12m＞0且m≠0，
∴m＜且m≠0，
故答案为：m＜且m≠0．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式△＝b2﹣4ac．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
19．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　x（x﹣1）＝21　．
【分析】赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），x个球队比赛总场数为x（x﹣1），即可列方程．
【解答】解：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）＝21，
故答案为：x（x﹣1）＝21．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是读懂题意，得到总场数的等量关系．
20．已知一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，则的值为　﹣　．
【分析】由根与系数的关系可求得m+n和mn的值，代入求值即可．
【解答】解：
∵一元二次方程x2﹣4x﹣3＝0的两根分别为m，n，
∴m+n＝4，mn＝﹣3，
∴+＝＝﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之积等于﹣、两根之积等于是解题的关键．
21．一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12＝0的一个根，则此三角形的周长是　14　．
【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可．
【解答】解：解方程x2﹣7x+12＝0得：x＝3或4，
当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3＝6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行；
当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6＝14，
故答案为：14．
【点评】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．
22．方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1＝0的较大根为a，方程x2+2006x﹣2007＝0的较小根为b，则a﹣b＝　2008　．
【分析】根据系数的特点，应用十字相乘法来因式分解，从而求解．
【解答】解：（2007x）2﹣2006×2008x﹣1＝0，
原方程可化为，
20072x2+（﹣20072+1）x﹣1＝0，
（x﹣1）（20072x+1）＝0，
解得x1＝1，x2＝﹣．
∵所求方程x2+2006x﹣2007＝0，
则原方程可化为，
（x﹣1）（x+2007）＝0，
解得x3＝1，x4＝﹣2007．
方程（2007x）2﹣2006×2008x﹣1＝0的较大根为x1＝1，
方程x2+2006x﹣2007＝0的较小根为x4＝﹣2007；
则a﹣b＝1﹣（﹣2007）＝2008．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．
十字相乘法：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．
23．设m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，则＝　8　．
【分析】利用一元二次方程的解的意义得到m2﹣3m+1＝0，两边除以m得到m+＝3，再把原式变形得到原式＝m2+1+＝（m+）2﹣2+1，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵m是方程x2﹣3x+1＝0的一个实数根，
∴m2﹣3m+1＝0，
∴m+＝3，
∴原式＝m2+1+
＝（m+）2﹣2+1
＝9﹣2+1
＝8．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
24．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　2018　；
【分析】根据根与系数的关系和一元二次方程的解得出a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：∵设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣1，a2+a﹣2019＝0，
∴a2+a＝2019，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2019+（﹣1）＝2018，
故答案为：2018．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出a+b＝﹣1和a2+a＝2019是解此题的关键．
25．对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程x2﹣（n+2）x﹣2n2＝0的两个根记作an，bn（n≥2），则+…＝　﹣　．
【分析】由根与系数的关系得an+bn＝n+2，an?bn＝﹣2n2，所以（an﹣2）（bn﹣2）＝anbn﹣2（an+bn）+4＝﹣2n2﹣2（n+2）+4＝﹣2n（n+1），
则，然后代入即可求解．
【解答】解：由根与系数的关系得an+bn＝n+2，an?bn＝﹣2n2，
所以（an﹣2）（bn﹣2）＝anbn﹣2（an+bn）+4＝﹣2n2﹣2（n+2）+4＝﹣2n（n+1），
则，
∴+……，
＝．
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．
三．解答题（共15小题）
26．用适当的方法解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣3＝0
（2）（x﹣1）2＝2x﹣2．
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x＝3，
∴x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，
则x﹣2＝，
∴x＝2；
（2）∵（x﹣1）2﹣2（x﹣1）＝0，
∴（x﹣1）（x﹣3）＝0，
则x﹣1＝0或x﹣3＝0，
解得：x＝1或x＝3．
【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
27．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝4时，求方程的根．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2+4k＞0，然后解不等式即可；
（2）将k＝4代入方程，因式分解法求出方程的根即可．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）将k＝4代入方程，得：x2﹣3x﹣4＝0，
则（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
28．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣2）x+（m2﹣2m）＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根．
（2）如果方程的两实数根为x1，x2，且x12+x22＝10，求m的值．
【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：△＝（2m﹣2）2﹣4（m2﹣2m）
＝4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）∵x1+x2＝2m﹣2，x1x2＝m2﹣2m，
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝10，
∴（2m﹣2）2﹣2（m2﹣2m）＝10，
∴m2﹣2m﹣3＝0，
∴m＝﹣1或m＝3
【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系以及一元二次方程的解法，本题属于中等题型．
29．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5000万元，2018年投入教育经费7200万元．
（1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2019年该地区投入教育经费为　8640　万元．
【分析】（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2016年及2018年该县投入的教育经费钱数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2019年该县投入教育经费钱数＝2018年该县投入教育经费钱数×（1+20%），即可求出结论．
【解答】（1）解：设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x．根据题意，得
5000（1+x）2＝7200．
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
∴x＝0.2＝20%．
答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）7200（1+20%）＝8640（万元）
故答案是：8640．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
30．今年深圳“读书月”期间，某书店将每本成本为30元的一批图书，以40元的单价出售时，每天的销售量是300本．已知在每本涨价幅度不超过10元的情况下，若每本涨价1元，则每天就会少售出10本，设每本书上涨了x元．请解答以下问题：
（1）填空：每天可售出书　（300﹣10x）　本（用含x的代数式表示）；
（2）若书店想通过售出这批图书每天获得3750元的利润，应涨价多少元？
【分析】（1）由每本涨价1元则每天就会少售出10本，即可得出涨价x元时，每天售出书的本数；
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），根据每本书的利润×销售本数＝总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）∵每本书上涨了x元，
∴每天可售出书（300﹣10x）本．
故答案为：（300﹣10x）．
（2）设每本书上涨了x元（x≤10），
根据题意得：（40﹣30+x）（300﹣10x）＝3750，
整理，得：x2﹣20x+75＝0，
解得：x1＝5，x2＝15（不合题意，舍去）．
答：若书店想每天获得3750元的利润，每本书应涨价5元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）依照销售本数与涨价间的关系列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
31．在2018年俄罗斯世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式．
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？
【分析】（1）根据销售单价每提高5元，销售量相应减少20套，列出y与x的关系式即可；
（2）根据售价×销量＝销售额列出方程，计算即可求出值．
【解答】解：（1）根据题意得：y＝240﹣4（x﹣60）＝﹣4x+480；
（2）根据题意得：x（﹣4x+480）＝14000，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，即（x﹣50）（x﹣70）＝0，
解得：x＝50（不合题意，舍去）或x＝70，
则当销售单价为70元时，月销售额为14000元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，以及一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．
32．关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣3）x+m2+1＝0．
（1）若m是方程的一个实数根，求m的值；
（2）若m为负数，判断方程根的情况．
【分析】（1）由方程根的定义，代入可得到关于m的方程，则可求得m的值；
（2）计算方程根的判别式，判断判别式的符号即可．
【解答】解：
（1）∵m是方程的一个实数根，
∴m2﹣（2m﹣3）m+m2+1＝0，
∴；
（2）△＝b2﹣4ac＝﹣12m+5，
∵m＜0，
∴﹣12m＞0．
∴△＝﹣12m+5＞0．
∴此方程有两个不相等的实数根．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
33．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；
（2）若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.5亿元？
【分析】（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得2（1+x）2＝2.88，解方程即可求得增长率；
（2）根据该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率来解答．
【解答】解：（1）设这两年该企业年利润平均增长率为x．根据题意得
2（1+x）2＝2.88，
解得 x1 ＝0.2＝20%，x2 ＝﹣2.2 （不合题意，舍去）．
答：这两年该企业年利润平均增长率为20%；

（2）如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为：
2.88（1+20%）＝3.456，
3.456＜3.5
答：该企业2018年的利润不能超过3.5亿元．
【点评】此题考查一元二次方程的应用，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
34．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根x1，x2．
（1）求k的取值范围；
（2）若+＝﹣1，求k的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2k﹣3、x1x2＝k2，结合+＝﹣1即可得出关于k的分式方程，解之经检验即可得出结论．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k+3）x+k2＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（2k+3）2﹣4k2＞0，
解得：k＞﹣．
（2）∵x1、x2是方程x2+（2k+3）x+k2＝0的实数根，
∴x1+x2＝﹣2k﹣3，x1x2＝k2，
∴+＝＝＝﹣1，
解得：k1＝3，k2＝﹣1，
经检验，k1＝3，k2＝﹣1都是原分式方程的根．
又∵k＞﹣，
∴k＝3．
【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）根据根与系数的关系结合+＝﹣1找出关于k的分式方程．
35．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
【分析】根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）＝56，
解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为56m2得出等式是解题关键．
36．某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动获奖情况进行统计，七年级时有48人次获奖，之后逐年增加，到九年级毕业时累计共有183人次获奖，求这两年中获奖人次的平均年增长率．
【分析】设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，根据到九年级毕业时累计共有183人次获奖，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设这两年中获奖人次的平均年增长率为x，
根据题意得：48+48（1+x）+48（1+x）2＝183，
解得：x1＝＝25%，x2＝﹣（不符合题意，舍去）．
答：这两年中获奖人次的年平均年增长率为25%．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
37．在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的14000元/m2下降到12月份的11340元/m2．
（1）求11、12两月平均每月降价的百分率是多少？
（2）如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年2月份该市的商品房成交均价是否会跌破10000元/m2？请说明理由．
【分析】（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，那么4月份的房价为14000（1﹣x），12月份的房价为14000（1﹣x）2，然后根据12月份的11340元/m2即可列出方程解决问题；
（2）根据（1）的结果可以计算出今年2月份商品房成交均价，然后和10000元/m2进行比较即可作出判断．
【解答】解：（1）设11、12两月平均每月降价的百分率是x，
则11月份的成交价是：14000（1﹣x），
12月份的成交价是：14000（1﹣x）2
∴14000（1﹣x）2＝11340，
∴（1﹣x）2＝0.81，
∴x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．
答：11、12两月平均每月降价的百分率是10%；
（2）会跌破10000元/m2．
如果按此降价的百分率继续回落，估计今年2月份该市的商品房成交均价为：
11340（1﹣x）2＝11340×0.81＝9185.4＜10000．
由此可知今年2月份该市的商品房成交均价会跌破10000元/m2．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找到关键的数量关系，然后列出方程是解题的关键．
38．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，BC＝8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC边以4cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）．
（1）若△PCQ的面积是△ABC面积的，求t的值？
（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
【分析】（1）根据三角形的面积公式可以得出△ABC面积为：×8×16＝64，△PCQ的面积为×2t（16﹣4t），由题意列出方程解答即可；
（2）由等量关系S△PCQ＝S△ABC列方程求出t的值，但方程无解．
【解答】解：（1）∵S△PCQ＝×2t（16﹣4t），S△ABC＝×8×16＝64，
∴2t（16﹣4t）＝64×，
整理得t2﹣4t+4＝0，
解得t＝2．
答：当t＝2s时△PCQ的面积为△ABC面积的；
（2）当△PCQ的面积与四边形ABPQ面积相等，即：当S△PCQ＝S△ABC时，×2t（16﹣4t）＝64×，
整理得t2﹣4t+8＝0，
△＝（﹣4）2﹣4×1×8＝﹣16＜0，
∴此方程没有实数根，
∴△PCQ的面积不能与四边形ABPQ面积相等．
【点评】本题考查一元二次方程的应用，三角形的面积，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
39．关于x的方程x2+2x+1﹣λ（x2﹣1）＝0，按下列要求，回答问题：
（1）当λ＝2时，判断这个方程根的情况？（写出过程）
（2）证明：无论λ为任何实数，这个方程至少有一个根．
【分析】（1）代入后计算△的值，可进入判断；
（2）将等式的左边分解因式后，可得必有一个根为x＝﹣1，可得结论．
【解答】解：（本题满分12分）
（1）当λ＝2时，原方程化为：x2+2x+1﹣2（x2﹣1）＝0，（2分）
﹣x2+2x+3＝0，（3分）
x2﹣2x﹣3＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，（5分）
∴原方程有两个不相等的实根；（6分）
（2）证明：x2+2x+1﹣λ（x2﹣1）＝0，
（x+1）2﹣λ（x﹣1）（x+1）＝0，
（x+1）[x+1﹣λ（x﹣1）]＝0，（8分）
x+1＝0或x+1﹣λ（x﹣1）＝0，（9分）
∴至少有一个根是x＝﹣1，（11分）
∴无论λ为任何实数，这个方程至少有一个根．（12分）
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握计算△＝b2﹣4ac可以判断方程的根的情况：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
40．已知x＝﹣1是一元二次方程x2+mx+2m+3＝0的一个根，求方程的另一个根．
【分析】把x＝﹣1代入方程得出1﹣m+2m+3＝0，求出m，把m的值代入方程，再求出方程的解即可．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+mx+2m+3＝0得：1﹣m+2m+3＝0，
解得：m＝﹣4，
即方程为x2﹣4x﹣5＝0，
解得：x＝5或﹣1，
即方程的另一个根为5．
【点评】本题考查了根与系数的关系和一元二次方程的解，能求出m的值是解此题的关键．