2.1 一元二次方程（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第2章一元二次方程
2.1 一元二次方程
【知识清单】
一、一元二次方程定义：
像方程3x2+4x6=0的等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，这样的方程叫做一元二次方程.
二、一元二次方程的解(或根)：
能使一元二次方程两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解(或根).
三、一元二次方程的一般形式：
1.任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2+bx+c=0的形式.
2.ax2+bx+c=0(a，b，c为已知数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数.
【经典例题】
例题1、将方程化为一元二次方程的一般式，并写出二次项系数、一次项系数、常数项.
【考点】一元二次方程的一般形式．
【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），首先把方程左右两边的分母去掉(等式的性质)，再去括号，移项使方程右边变为0，然后合并同类项即可．
【解答】方程，
去分母，得：5x(2x3)=9(x+2)15
去括号，得：10x215x=9x+1815，
故化成一般形式是：10x224x3=0．
故二次项系数、一次项系数、常数项分别为10、24、3.
【点评】主要考查了一元二次方程的概念．去分母、去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化，合并同类项只合并系数．
例题2、关于x的一元二次方程为，试写出满足要求的所有a，b的值.
【考点】一元二次方程相关概念.
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解．
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
解：或或或或．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【夯实基础】
1、下列各式中一定是二次根式的是( ).
A. ax2+bx+c=0 B.x2y2=6 C. =5 D.
2、方程5x2=4x+6的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ）
A．5、4、6 B．5、4、6 C．5、4、6 D．5、4、6
3、把方程化成一元二次方程的一般形式是（ ）
A．5x2+4x4=0 B．5x24=0 C．5x24x4=0 D．5x2+4x+4=0
4、关于x的一元二次方程(a2)x25x+a24=0的一个根就0，则a的值为( )
A．2 B．2 C．±2 D．±4
5、已知关于x的方程是一元二次方程，则m= .
6、已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)，(1)若有一个根为1，则a+b+c= ；(2) 若有一个根为-1，则b与 a、c的关系为 ；(3) 若有一个根为0，则c= ；.
7、已知x=4是方程x2mx+4=0的一个根，试化简：
8、试说明关于的方程(a2a+1)x25ax3=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程.
【提优特训】
9、若方程是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是（ ）.
A．m为全体实数 B．m≥0 C．m≥0且m≠3 D．m≠3
10、关于x的一元二次方程为3ax2+2bx3=0的一个根为x=1，则20289a6b的值是（ ）．
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
11、已知关于x方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列关于a、b、c的描述正确的是（ ）．
A．abc=0是不可能的 B．ab=0是不可能的
C．a+b+c=0是不可能的 D．a2+b2+c2=0是不可能的
12、已知方程3ax2bx2=0和ax2+2bx10=0有共同的根1则a= ，b= ．
13、若2n（n≠0）是关于x的方程x22mx+2n=0的根，则mn的值为　　．
14、若ax26x=5是一元二次方程，则不等式5a+10>0的解集是 .
15、有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请你根据这一问题列出方程，并化成一般形式，不必求解.
16、设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出一元二次方程.
(1)a︰b︰c=2︰3︰4，a+b+c=18；
(2)abc11=++，
17、已知，
(1)求a、c的值；
(2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，有一个根是1，求b的值.
18、已知，求x39x+6的值.

【中考链接】
19、(2018?扬州)若m是方程2x23x1=0的一个根，则6m2﹣9m+2015的值为　　．
20、(2018?苏州)若关于x的一元二次方程x2+mx+2n=0有一个根是2，则m+n=　 　．
21、(2018?通辽)为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为　 　．
22、 (2018?泰州)已知3xy=3a26a+9，x+y=a2+6a9，若x≤y，则实数a的值为　 　．
　
参考答案
1、C 2、B 3、A 4、B 5、 6、(1) a+b+c=0，(2)b=a+c，(3)c=0. 9、C 10、D
11、D 12、a=2，b=4 13、 14、a>2且a≠0
19、2018 20、2 21、x（x1）=21 22、3
7、已知x=4是方程x2mx+4=0的一个根，试化简：
解：∵x=4是方程x2mx+4=0的一个根，
∴(4)2(4)m+4=0.
解得m=5.
=
=12m(4m)
=3m=2.
8、试说明关于的方程(a2a+1)x25ax3=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程.
证明：∵a2a+1=，
∴无论a取何值，a2a+1，即无论a取何值，原方程的二次项系数都不会等于0，
∴关于x的方程(a2a+1)x25ax3=0，无论a取何值，该方程都是一元二次方程．
15、有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请你根据这一问题列出方程，并化成一般形式，不必求解.
解：设竹竿的长为x尺．
由题意得：(x4)2+(x2)2=x2．
即：x212x+20=0
16、设a，b，c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出一元二次方程.
(1)a︰b︰c=2︰3︰4，a+b+c=18；
(2)abc11=++，
解：(1) ∵a︰b︰c=2︰4︰3，a+b+c=18；
∴a=2x，b=4x，c=3x.
∴2x+4x+3x=18.
解得x=2.
∴a=4，b=8，c=6.
∴一元二次方程为2x2+8x+6=0.
(2)∵abc11=++，
∴，
∴，
∴，
∴=0，=0，=0.
∴a=2，b=10，c=5.
∴一元二次方程为2x2+10x+5=0.
17、已知，
(1)求a、c的值；
(2)若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，有一个根是1，求b的值.
解：(1) ∵，
∴c3≥0，3c≥0,
∴c≥3，c≤3，
∴c=3.
∴a=2.
(2)由(1)可知于x的一元二次方程ax2+bx+c=0为，
2x2+bx+3=0，
∵这个方程有一个根是1，
∴2+b+3=0,
∴b=5.
18、已知，求x39x+6的值.
解：∵，
∴，
∴x22x5=0，
x39x+6=x32x25x+2x24x+6
=x(x22x5)+2(x22x5)+10+6
=16.