2.2.1 一元二次方程的解法（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第2章2.2一元二次方程的解法
第1课时 一元二次方程的解法（1）
【知识清单】
一、一元二次方程的解法——因式分解法：
利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法，这种方法就是把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程，然后求解.
二、因式分解法的操作方法(可以分解的二次三项式)：
先将一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边分解为两个一次因式的积，再根据两个因式的积等于0，得出这两个因式至少有一个为0，因此这种方法可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解.
【经典例题】
例题1、方程(2x7)(x+7) =x+7根为 ．
【考点】一元二次方程的解法—因式分解法．
【分析】首先移项，进而利用提取公因式法分解因式得出即可，提取公因式时必须将(x7)看作一个整体．
【解答】(2x7) (x+7)=x+7，
移项得：(2x7)( x+7)(x+7)=0，
( x+7)(2x71)=0，
x+7=0，2x71=0，
解得：x1=7，x2=4，
故答案为：x1=7，x2=4．
【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
例题2、小明打算用总长24cm的铁丝折出面积为32cm2的长方形，请你帮他分析一下能否做到．
【考点】一元二次方程的解法——因式分解法.
【分析】由题意设长方形的长为xcm，则宽为(12x)cm，面积为x(12x)，而题目中长方形面积为32cm2，求出x的值进而作出判断
【解答】设长方形的长为xcm，则宽为(12x)cm．由题意得
x(12x)=32，
即x212x+32=0，
(x4)(x8)=0
解得x1=4(不合题意)，x2=8.
所以长方形的宽为128=4cm，
此时长方形的长为8cm，宽为4cm，
答：能总长24cm的铁丝折出面积为32cm2的长方形．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题同时涉及长方形的相关性质，难度中等．
【夯实基础】
1、一元二次方程x(x2)=2x的根是( ).
A．1 B．0 C．1和2 D．1和2
2、设m是方程x2+16x=0较大的根，n是方程x25x+6=0较小的根，则m+n=( )
A．4 B．2 C．1 D．2
3、若整式x+1与x4的积为x23x4，则一元二次方程x23x4=0的根是( )
A．x1=1，x2=4 B．x1=1，x2=4
C．x1=1，x2=4 D．x1=1，x2=4
4、关于x的一元二次方程(3a)x2+8x+a29=0的一个根是0，则另一个根为( )
A． B． C． D．
5、已知关于x的一元二次方程，则方程的根为 .
6、已知方程，则方程的根为 .
7、解答下列各题：
(1)x为何值时，x210x+12的值为13；
(2) x为何值时，x27x13的值与2x13的值相等.
8、已知a，b，c是△ABC的三条边长，且(a+b+c)2=3ab+3bc+3ac，试说明△ABC的形状.
【提优特训】
9、已知，则方程的根是（ ）.
A．x=0 B．x= C．x= D． x=和x=0
10、若方程x24x=4的根恰好是方程3x22mx+4n=0的一个根，则mn的值是（ ）．
A．3 B．3 C．6 D．12
11、关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=2，x2=3，则x2+mx+n分解因式的结果是（ ）．
A．(x+2)(x+3) B．(x+2)(x-3) C．(x-2)(x+3) D．(x-2)(x-3)
12、在实数范围内定义运算“※”，其规则为a※b=ab2，则方程2x※（x3）=2的解是 ．
13、设x，y为实数，代数式6x2+4y28xy+4x+12的最小值为　 　．
14、若x0是方程ax2+2bx+c=0（a≠0）的一个根，设M=b2ac，N=(ax0+b)2，则M与N的大小关系正确的为 .
15、已知a是一元二次方程x23x+1=0的一个根，求下列各代数式的值.
(1) ；(2) .
16、设a，b是一个直角三角形的两条直角边，且(a2+b2)(a2+b2+1)=90，求这个三角形的斜边的长.
17、已知x2=3(2x3)的根也是一元二次方程方程2(m+1)x22mx+3m2=9的根，求m的值.
18、关于x的方程m(x+a)2+n=0的解是x1=3，x2=2，(m，n，a均为常数，m≠0)，试求出方程
m(x+a5)2+n=0的解.


【中考链接】
19、（2018?铜仁市）关于x的一元二次方程x24x+3=0的解为（　　）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=3
C．x1=1，x2=3 D．x1=1，x2=3
20、（2018?台湾）若一元二次方程式x28x3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a2b之值为何？（　　）
A．25 B．19 C．5 D．17
21、（2018?黄冈?黔南州）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x210x+21=0的根，则三角形的周长为　 　．
22、(2018?齐齐哈尔)解方程：2(x3)=3x(x3)．
参考答案
1、D 2、B 3、C 4、B 5、 ， 6、x1=1，x2=1 9、D 10、B 11、D 12、x1=1，x2=7 13、10 14、M=N
19、C 20、D 21、16 22、x1=3，x2=
7、解答下列各题：
(1)x为何值时，x210x+12的值为13；
(2) x为何值时，x27x13的值与2x13的值相等.
解：(1) ∵ x210x+12=13，
x210x+25=0，
(x5)2=0，
∴x1=x2=5.
∴当x=5时，x210x+12的值为13；
(2) ∵ x27x13=2x13，
x29x=0，
x(x9)=0.
∴x1=0，x2=9.
当x=0或x=9时，x27x13的值与2x13的值相等.
8、已知a，b，c是△ABC的三条边长，且(a+b+c)2=3ab+3bc+3ac，试说明△ABC的形状.
解：∵(a+b+c)2=3ab+3bc+3ac，
∴a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=3ab+3bc+3ac.
∴a2+b2+c2abbcac=0，
∴2a2+2b2+2c22ab2bc2ac=0，
∴(ab)2 +(bc)2 +(ca)2 =0，
∴ab=0 ，bc=0， ca=0，
∴a=b=c.
∴三角形为等边三角形.
15、已知a是一元二次方程x23x+1=0的一个根，求下列各代数式的值.
(1) ；(2) .
解：∵a是一元二次方程x23x+1=0的一个根，
∴a23a+1=0.
∵a≠0，
∴方程两边同除以a得，.
(1)将的两边同时平方，得
，
∴.
(2) ∵，
∴.
16、设a，b是一个直角三角形的两条直角边，且(a2+b2)(a2+b2+1)=90，求这个三角形的斜边的长.
解：将(a2+b2)看作一个整体，把方程整理，得(a2+b2)2+(a2+b2)90=0，
∴(a2+b2+10)(a2+b29)=0
∴a2+b2=9， a2+b2=10(不合题意，舍去).
∴三角形的斜边长为.
17、已知x2=3(2x3)的根也是一元二次方程方程2(m+1)x22mx+3m2=9的根，求m的值.
解：由x2=3(2x3)，
整理，得x26x+9=0，
∴(x3)2=0，
∴x1=x2=3.
∵方程x2=3(2x3)的根也是方程2(m+1)x22mx+3m2=9的根，
∴18 (m+1)6m+3m2=9，
3m2 +18m+186m-9=0，
3m2 +12m+9 =0，
∴m2 +4m+3 =0，
∴(m+1)(m+3)=0.
∴m1=1，m2=3.
∵2(m+1)x22mx+3m2=9是一元二次方程方程，
∴m+1≠0，m=1(不合题意，舍去).
∴m=3.
18、关于x的方程m(x+a)2+n=0的解是x1=3，x2=2，(m，n，a均为常数，m≠0)，试求出方程
m(x+a-5)2+n=0的解.
解：∵关于x的方程m(x+a)2+n=0的解是x1=3，x2=2，
∴方程m(x+a5)2+n=0的解是x5=3或2，
解得x3=53=2，x4=5+2=7．
故答案为：x3=2，x4=7．
【中考链接】
19、（2018?铜仁市）关于x的一元二次方程x24x+3=0的解为（　　）
A．x1=1，x2=3 B．x1=1，x2=3
C．x1=1，x2=3 D．x1=1，x2=3
【分析】利用因式分解法求出已知方程的解．
【解答】解：x24x+3=0，
分解因式得：(x1) (x3)=0，
解得：x1=1，x2=3，
故选：C．
20、（2018?台湾）若一元二次方程式x28x3×11=0的两根为a、b，且a＞b，则a2b之值为何？（　　）
A．25 B．19 C．5 D．17
【分析】先利用因式分解法解方程得到a=11，b=﹣3，然后计算代数式a2b的值．
【解答】解：(x11)(x+3)=0，
x11=0或x3=0，
所以x1=11，x2=3，
即a=11，b=3，
所以a2b=112×(3)=11+6=17．
故选：D．
21、（2018?黄冈?黔南州）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x210x+21=0的根，则三角形的周长为　16　．
【考点】解一元二次方程，三角形三边的关系.
【分析】将已知的方程x210x+21=0左边分解因式，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解得到原方程的解为3或7，利用三角形的两边之和大于第三边进行判断，得到满足题意的第三边的长，从而求得三角形的周长．
【解答】解：x210x+21=0，
因式分解得：(x3)(x7)=0，
解得：x1=3，x2=7，
∵三角形的第三边是x210x+21=0的根，
∴三角形的第三边为3或7，
当三角形第三边为3时，3+3=6，不能构成三角形，舍去；
当三角形第三边为7时，三角形三边分别为3，6，7，能构成三角形，
则第三边的长为7．
∴三角形的周长为: 3+6+7=16.
故答案为：16.
【点评】本题考查了利用因式分解法求解解一元二次方程，以及三角形三边的关系. 利用因式分解法求解解一元二次方程时，首先将方程右边化为0，左边分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0，转化为两个一元一次方程来求解.
22、(2018?齐齐哈尔)解方程：2(x3)=3x(x3)．
【分析】移项后提取公因式(x3)后利用因式分解法求得一元二次方程的解即可．
【解答】解：2(x3)=3x(x﹣3)，
移项得：2(x3)3x(x3)=0，
整理得：(x3)(23x)=0，
x3=0或23x=0，
解得：x1=3或x2=．