2.2.2 一元二次方程的解法（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第2章2.2一元二次方程的解法
第2课时 一元二次方程的解法（2）
【知识清单】
一、直接开平方法：
1. 直接开平方法概念：利用平方根的定义直接开平方，可以将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法.?
2.直接开平方法适用范围：?直接开平方法适用于解形如(r≥0)的一元二次方程，根据平方根的定义可知，mx+n 是r的平方根，当r≥0时，mx+n =,；当r<0时，方程没有实数根.
3.用直接开平方法求一元二次方程的根需要注意：一定要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根.
二、配方法(二次项系数为1)：
1. 定义：把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负数，如(n≥0)形式，然后再用直接开方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
2.配方法的理论根据：是完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有x2±2bx+b2=(x±b)2?.
【经典例题】
例题1、求关于x的方程(x2m)2=9n(n≥0)的根． ．
【考点】解一元二次方程——直接开平方法．
【分析】根据方程的特点左边(x2m)2是完全平方式，右边9n是非负数，可以直接利用开平方法解出方程即可．
【解答】(x2m)2=9n(n≥0)
方程两边同时开平方，得，x2m=±3
解得x1=2m+3，x2=2m3．
【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，正确开平方是解题关键．
例题2、已知三角形两边长分别是9和12，第三边长是一元二次方程x224x+135=0的一个根．请用配方法解此方程，并计算出三角形的面积．
【考点】解一元二次方程——配方法；三角形三边关系．
【分析】首先解方程，确定第三边的边长，其次考查三边长能否构成三角形，依据三角形三边关系，不难判定两组数均能构成三角形，从而求出三角形的面积．
【解答】首先解方程x224x+135=0得，
通过配方原方程可化为：(x12)2=9，
∵x12=±3，
解得x1=15或x2=9；
如图（1）根据勾股定理的逆定理，△ABC为直角三角形，
∵92+122=225，152=225，
∴92+122=152，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴S△ABC=.
如图（2）是AB=AC=9，BC=12的等腰三角形，
过A作AD⊥BC垂足为D，
∴点D是BC的中点，
∴BD=CD=BC=6，
在Rt△ABD中，
AD=，
∴S△ABC=BCAD=×12×=18.
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题同时涉及长方形的相关性质，难度中等．
【夯实基础】
1、一元二次方程(2x3)2=49的根是( ).
A． 5 B．2 C．2和5 D．2和5
2、设m是方程的一个根，n是方程(x3)2=21的一个根，且a>0，b<0，则
mn=( )
A．14 B． 8 C．8 D．8
3、方程x212x+24=0的左边配成完全平方式正确的是( )
A．(x+6)2=12 B．(x6)2=12 C．(x+6)2=24 D．(x6)2=24
4、已知方程x214x+q=0可以配成(xp)2=31的形式，则p+q的平方根为( )
A．5 B．5 C．±5 D．±
5、(1)x2+8x+ = (x+ )2；(2) x23px+ = (x )2.
6、若多项式x216x+k2是完全平方式，则k= .
7、解方程：
(1) 3(x3)2=48；
(2) (x5) (x+2)=18；
(3) (x2+x) (x2+x4)=12.
8、某人想用长度为24cm铝合金做一个三角板(不浪费，不剩余)，并且使两条直角边分别比斜边少2cm，4cm，他能做出来吗？请你根据所学知识帮助他算一算.
【提优特训】
9、下列关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a、b、c满足a+b+c=0和4a2b+c=0，则方程的根分别为（　　）
A．1、0 B．2、0 C．1、2 D． 1、2
10、用配方法解下列方程时，配方错误的是（　　）
A．化为(x)2= B．x2+8x+9=0化为(x+4)2=25
C． 化为(t)2= D．x22x99=0化为(x1)2=100
11、若代数式(x25x14)0无意义，则x的值为（ ）．
A．7 B．2 C．7或2 D．7或2
12、已知实数a，b满足a2+b24a+b+=0，则a与b的关系是　 　．
13、用配方法将二次三项式3x2+18x+5变为3(x+m)2+k的形式，则mk 的平方根为　 ．
14、若最简二次根式与是同类二次根式则x的值是　 　．
15、证明：无论x为任何实数时，代数式都有意义.
16、已知方程x222=0，求满足方程的所有根的和．
17、我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把多元的转化为一元的；把高次的转化为一次的，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些可以转化为一元二次方程的无理方程．
像这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为4x+21=x2，(x2)2=25，解得x1=7，x2=3．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=3是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=7．
运用以上经验，解下列方程：
（1）；
（2）x+2=6．
18、（1）如表：方程1，方程2，方程3，…是按照一定规律排列的一列方程，解方程3，并将它的解填在表中：
序号
方程
方程的解
1
x2?+2x3=0
x1?=1
x2?=3
2
x2?+4x12=0
x1?=2
x2?=6
3
x2?+6x27=0
x1=?3
x2?= 9
…
…
…
…
（2）x1=12，x2=36是不是（1）中所给的一列方程中的一个方程的两个根？
（3）请写出这列方程中第n个方程．
（4）用你探究的规律，解方程：x2?+112x64×147=0.
【中考链接】
19、（2018?临沂）一元二次方程y2y=0配方后可化为（　　）
A．(y+)2=1 B．(y)2=1 C．(y+)2= D．(y)2=
20、（2018?安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
21．（2018?嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD的长
C．BC的长 D．CD的长
22、（2018?柳州）一元二次方程x29=0的解是　 　．
参考答案
1、C 2、B 3、B 4、C 5、(1)16、4，(2) 、 6、±8 9、D 10、B 11、C
12、互为负倒数 13、±5 14、2 19、B 20、A 21、B 22、x1=3，x2=3
7、解方程：
(1) 3(x3)2=48；
(2) (x5) (x+2)=18；
(3) (x2+x) (x2+x4)=12.
解：(1)3(x3)2=48
∴(x3)2=16，
∴x3=±4，
∴x1=7，x2=1.
(2) (x5) (x+2)=18
∴x23x28=0
∴
∴，
∴x1=4，x2=7.
(3) (x2+x) (x2+x4)=12，
设x2+x=y，
则y24y=12
∴(y2)2=16
∴y2=±4
∴y1=6，y2=2.
当y=6时，x2+x=6，
解方程得x1=3，x2=2.
当y=2时，x2+x=2，
x2+x+2=0(无实数根).
所以原方程的解为x1=3，x2=2.
8、某人想用长度为24cm铝合金做一个三角板(不浪费，不剩余)，并且使两条直角边分别比斜边少2cm，4cm，他能做出来吗？请你根据所学知识帮助他算一算.
解：他能做出来.理由如下：
设三角板的斜边为x cm，则两条直角边的长为(x2)cm，(x4)cm.
由勾股定理得(x2)2+(x4)2=x2，
解方程得x1=10，x2=2(不合题意，舍去).
这个三角板的三条边分别为6 cm，8 cm，10 cm.
15、证明：无论x为任何实数时，代数式都有意义.
解：∵x2x+1=x2x++
=，
∴代数式≠0.
∴无论x为任何实数时，代数式都有意义.
16、已知方程x222=0，求满足方程的所有根的和．
解：当5x8≥0时，即x≥，
原方程化为：x25x14=0，
∴(x)2=，
∴x=±
解方程得x1=7，x2=2，
∵2＜
∴x2=2（舍去）
∴x=7
当5x8＜0，即x＜时，
原方程化为：x2+8x32=0，（x+4）2=48，
x+4=±4，
x1=4+4，，x2=44
∵4+4＞，∴x1=4+4，（舍去）
∴x=44．则7+(44)=34．
故答案是：34．
17、我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把多元的转化为一元的；把高次的转化为一次的，用“转化”的数学思想，我们还可以解一些可以转化为一元二次方程的无理方程．
像这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为4x+21=x2，(x2)2=25，解得x1=7，x2=3．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=3是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=7．
运用以上经验，解下列方程：
（1）；
（2）x+2=6．
解：（1），
将方程两边同时平方，得x2+7x18=0，
∴，
∴.
解得x1=2，x2=9．
经检验，x2=9是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=2；
（2）解法一：x+2=6
x5+2+1=2，
，
，，
，(不合题意，舍去)，
解得x=8.
经检验，x=8原方程的解.
解法二：可以将方程x+2=6
化为2=6x，然后两边平方即可求解.
18、（1）如表：方程1，方程2，方程3，…是按照一定规律排列的一列方程，解方程3，并将它的解填在表中：
序号
方程
方程的解
1
x2?+2x3=0
x1?=1
x2?=3
2
x2?+4x12=0
x1?=2
x2?=6
3
x2?+6x27=0
x1=?3
x2?= 9
…
…
…
…
（2）x1=12，x2=36是不是（1）中所给的一列方程中的一个方程的两个根？
（3）请写出这列方程中第n个方程．
（4）用你探究的规律，解方程：x2?+112x64×147=0.
（1）∵x26x27=0
即（x+3）（x9）=0
∴x+3=0或x9=0
∴x1=3，x2=9；
（2）是，x2+24x12×36=0；验证：
当x=12时，
左边=122+24×12432=0，
右边=0，
左边=右边；
∴x=12是原方程的解；
当x=36时，
左边=(36)2+24×(36)432=0，
右边=0，
左边=右边；
∴x=36是原方程的解；
（3）根与系数的关系可得：x1=n，x2=3n；
∴方程为x2+2nx3n2=0．
（4）用你探究的规律，解方程：x2?+112x64×147=0.
解：由规律第n个方程为x2+2nx3n2=0，
∴2n=112，n=56，
x1=56，x2=3×56=168.
【中考链接】
19、（2018?临沂）一元二次方程y2y=0配方后可化为（　　）
A．(y+)2=1 B．(y)2=1 C．(y+)2= D．(y)2=
【分析】根据配方法即可求出答案．
【解答】解：y2y=0
y2y=
y2y+=1
(y)2=1
故选：B．
20、（2018?安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（　　）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
【解答】解：x2﹣7x+10=0，
，
x2=0，x5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
21．（2018?嘉兴）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（　　）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：
画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，
设AD=x，根据勾股定理得：(x+)2=b2+()2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
22、（2018?柳州）一元二次方程x29=0的解是　 　．
【分析】利用直接开平方法解方程得出即可．
【解答】解：∵x29=0，
∴x2=9，
解得：x1=3，x2=3．
故答案为：x1=3，x2=3．