第2章 一元二次方程单元检测卷A

2018-2019浙教版八年级下第2章一元二次方程单元检测卷A
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．x2+3y＝1 B．x2+3x＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．
关于x的一元二次方程：x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，则m2（）=（　　）
A． B． C．4 D．﹣4
已知（x2+y2）2-（x2+y2）-12=0，则（x2+y2）的值是（ ）A．-3 B．4 C．-3或4 D．3或-4
一元二次方程4x2﹣2x+=0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．80（1+x）2=100 B．100（1﹣x）2=80
C．80（1+2x）=100 D．80（1+x2）=100
若方程式的两根均为正数，其中为整数，则的最小值为何？（ ）
A．1 B．8 C．16 D．61
设a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（　　）
A．2014 B．2015 C．2012 D．2013
已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（　　）
A．7 B．10 C．11 D．10或11
鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场于某日发现一例，两天后发现共有169只鸡患有这种病.若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同，则每只病鸡传染健康鸡的只数为( )
A． 10只 B． 11只 C． 12只 D． 13只
设x1， x2是方程的两个实数根，则 ( ) .
A． 2016 B． 2017 C． 2018 D． 2019
、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
方程（x﹣3）（x﹣9）=0的根是　 　．
关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的实数b的值：b=______．
已知关于的一元二次方程一根为，则________．
若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　 　．
通过学习，爱好思考的小明发现，一元二次方程的根完全由它的系数确定，即一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2﹣4ac≥0时有两个实数根：x1=，x2=，于是：x1+x2=，x1?x2=、这就是著名的韦达定理．请你运用上述结论解决下列问题：关于x的一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根分别为x1，x2，且x12+x22=1，则k的值为　　．
将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n=__________．
、解答题（本大题共8小题，共66分）
关于x的一元二次方程x（x﹣2）=﹣x﹣2①与一元一次方程2x+1=2a﹣x②．
（1）若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；
（2）若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a的取值范围．
有一个三角形，面积为30cm2，其中一边比这边上的高的4倍少1cm． 若设这边上的高为xcm，请你列出关于x的方程，并判断它是什么方程？若是一元二次方程，把它化为一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项．
已知关于x的方程(m＋1)＋(m－2)x－1＝0.
(1)m取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程的解；
(2)m取何值时，它是一元一次方程？
解方程：
(1)(x＋8)2＝36； (2)x(5x＋4)－(4＋5x)＝0；
(3)x2＋3＝3(x＋1)； (4)2x2－x－1＝0.
已知关于x的方程x2﹣mx﹣8=0．
（1）当m=2时，求方程的根；
（2）设原方程的两个根是x1、x2，若x12+x22﹣4x1x2=97，求m的值．
收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．
请问：（1）2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？
（2）2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产．
（1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
（2）该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同，该果农去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同，求m的值．
已知在关于x的分式方程①和一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0②中，k、m、n均为实数，方程①的根为非负数．
（1）求k的取值范围；
（2）当方程②有两个整数根x1、x2，k为整数，且k=m+2，n=1时，求方程②的整数根；
（3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），且k为负整数时，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由．
答案解析
、选择题
【考点】一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程的定义解答：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
解：A．x2+3y＝1，含有两个未知数，故不是一元二次方程；
B、x2+3x＝1，是一元二次方程，故此选项正确；
C、ax2+bx+c＝0，当a≠0时，是一元二次方程，故C错误；
D、，是分式方程，故D错误．
故选：B．
【点睛】考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
【考点】根与系数的关系
【分析】根据所给一元二次方程，写出韦达定理，代入所求式子化简．
解：∵x2﹣4x﹣m2=0有两个实数根x1、x2，
∴，
∴则m2（）===﹣4．
故答案选D．
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，属基础题，熟练掌握韦达定理是解题关键．
【考点】解一元二次方程-换元法
【分析】先设x2+y2=t，则方程即可变形为t2-t-12=0，解方程即可求得t，即x2+y2的值．解：设x2+y2=t．则由原方程，得t2-t-12=0，∴（t+3）（t-4）=0，∴t+3=0或t-4=0，解得，t=-3或t=4；又∵t≥0，∴t=4．故选B．
【点评】本题考查换元法解一元二次方程，解答本题的关键是明确换元法解一元二次方程的方法．
【考点】根的判别式
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=0，由此即可得出原方程有两个相等的实数根．
解：在方程4x2﹣2x+=0中，△=（﹣2）2﹣4×4×（）=0，
∴一元二次方程4x2﹣2x+=0有两个相等的实数根．
故选B．
【点评】本题考查了根的判别式，熟练掌握“当△=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
【考点】一元二次方程的应用-增长率问题
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨
，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即：80（1+x）（1+x）=100或80（1+x）2=100．
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
【考点】解一元二次方程-直接开方
【分析】利用平方根的定义求出x，再根据一元二次方程的两根都为正数，求出c的最小值即可．
解：（3x﹣c）2﹣60＝0，（3x﹣c）2＝60，3x﹣c＝±，3x＝c±，x．
又两根均为正数，且，即 ，所以整数c的最小值为8．
故选B．
【点睛】本题考查了用直接开方法求一元二次方程的解，要根据方程的特点选择适当的方法．
【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解．
【分析】首先根据根与系数的关系，求出a+b=﹣1；然后根据a是方程x2+x﹣2014=0的实数根，可得a2+a﹣2014=0，据此求出a2+2a+b的值为多少即可．
解：∵a、b是方程x2+x﹣2014=0的两个实数根，
∴a+b=﹣1；
又∵a2+a﹣2014=0，
∴a2+a=2014，
∴a2+2a+b
=（a2+a）+（a+b）
=2014+（﹣1）
=2013
即a2+2a+b的值为2013．
故选：D．
【点评】此题主要考查了根与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=﹣（x1+x2），=x1x2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．
【分析】把x=3代入已知方程求得m的值；然后通过解方程求得该方程的两根，即等腰△ABC的两条边长，由三角形三边关系和三角形的周长公式进行解答即可．
解：把x=3代入方程得9﹣3（m+1）+2m=0，
解得m=6，
则原方程为x2﹣7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，
①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11；
②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10．
综上所述，该△ABC的周长为10或11．
故选：D．
【点评】本题主要考查方程的解的定义、解方程的能力、等腰三角形的性质及三角形三边间的关系，熟练掌握方程的解的定义及解方程的能力是解题的关键
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设每只病鸡传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有x（x+1）只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：1+x+x（x+1）只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可．
解：设每只病鸡传染健康鸡x只，由题意得：
x+1+x(x+1)=169，
整理，得x2+2x?168=0，
解，得x1=12，x2=?14(不符合题意舍去).
答：设每只病鸡传染健康鸡12只.
故选：C.
【点评】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于找出等量关系（经过两天感染患病的鸡一定）列出方程求解．
【考点】一元二次方程的解；根与系数的关系．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到x12=x1+2017，再计算x31=x21+2017x1=2018x1– 2017，则原式可化简2018（x1+x2），然后利用根与系数的关系求解.
解：∵x1是方程x2–x–2017=0的实数根，
∴x21=x1+2017，
∴x31=x21+2017x1=x1+2017+2017x1=2018x1+2017，
∴原式=2018x1+2017+2018x2-2017=2018（x1+x2），
∵x1，x2是方程x2-x-2017=0的两实数根，
∴x1+x2=1，
∴原式=2018.
∴故选C．
【点评】本题主要考查了一元二次方程的解；根与系数的关系，根据已知将原式化简，利用根与系数的关系是解答此题的关键．
、填空题
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】先把一元二次方程转化成一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（x﹣3）（x﹣9）=0，
x﹣3=0，x﹣9=0，
x1=3，x2=9，
故答案为：x1=3，x2=9．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．　
【考点】根的判别式．
【分析】根据题意可知判别式△=b2﹣8＞0，从而求得b的取值范围，然后即可得出答案．
解：∵关于x的一元二次方程x2+bx+2=0有两个不相等的实数根，
∴△=b2﹣8＞0，
∴b＞2或b＜﹣2，
∴b为3，4，5等等，
∴b为3（答案不唯一）．
故答案为3．
【点评】此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0?方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0?方程没有实数根．　
【考点】一元二次方程的定义
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=0代入得m2-4=0，然后解关于m的方程后利用一元二次方程的定义确定m的值
解：把x=0代入得
m2?4=0
解得m1=2,m2=?2
而m?2≠0
所以m=?2
故答案为?2
【点睛】本题考查一元二次方程的解，以及一元二次方程的定义，方程的解即为方程左右两边相等的未知数的值
【考点】 根的判别式； 一元二次方程的定义．.
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．
解：根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，
解得：k＞且k≠1．
故答案为：k＞且k≠1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
【分析】由方程的有两个实数根x1、x2可得△=k2﹣4（k+1）≥0，求得k的范围，又由x1+x2=﹣k，x1x2=k+1及x12+x22=1可求得k的值．
解：∵x1，x2为一元二次方程x2+kx+k+1=0的两实数根，
∴△=k2﹣4（k+1）≥0，且x1+x2=﹣k，x1x2=k+1，
解得：k≤2﹣2或k≥2+2，
又∵x12+x22=1，即（x1+x2）2﹣x1x2=1，
∴（﹣k）2﹣（k+1）=1，即k2﹣k﹣2=0，
解得：k=﹣1或k=2（舍），
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根的判别式及根与系数的关系的是关键．
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】由图可知：第1个图形中小圆的个数为5；第2个图形中小圆的个数为7；第3个图形中小圆的个数为11；第4个图形中小圆的个数为17；则知第n个图形中小圆的个数为n（n﹣1）+5．据此可以再求得“龟图”中有245个“○”是n的值．
【解答】解：第一个图形有：5个○，
第二个图形有：2×1+5=7个○，
第三个图形有：3×2+5=11个○，
第四个图形有：4×3+5=17个○，
由此可得第n个图形有：[n（n﹣1）+5]个○，
则可得方程：[n（n﹣1）+5]=245
解得：n1=16，n2=﹣15（舍去）．
故答案为：16．
【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键，注意公式必须符合所有的图形．
、解答题
【考点】一元二次方程的解．
【分析】（1）通过解方程①、②分别得到x的值；然后列出关于a的方程，解该方程即可；
（2）根据题意列出关于a的不等式，解不等式即可．
解：解方程①，得x1=1，x2=2，
解方程②，得x=．
当=1时，a=2；
当=2时，a=．
综上所述，a的值是2或；
（2）由题可知，1≤≤2，解得2≤a≤．
【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．　
【考点】一元二次方程的一般形式
【分析】分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程，主要是利用三角形的面积公式:三角形的面积=×三角形底边的长×高.
解：x（4x-1）=30，是一元二次方程，一般形式为2x2-x-30=0，二次项系数为2，一次项系数为-，常数项为-30.
【点睛】本题主要考查根据题意列方程及一元二次方程的定义.，解题关键是正确列方程.
【考点】一元二次方程的定义
【分析】利用一元二次方程和一元一次方程的定义求值.
解：(1)由解得m＝1，
∴方程为2x2－x－1＝0，
∴x1＝－，x2＝1.
(2)当时，解得m＝－1；
当时，解得m＝0，
即当m＝－1或0时，是一元一次方程.
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义：ax2＋bx＋c=0（）.
(1)x1=-2, x2=-14; (2) X1=1, ；(3) x1=3， x2=0 ； (4) .
【解析】试题分析：（1）利用直接开平方法.(2)利用因式分解法.(3) 利用因式分解法.(4)利用十字相乘法.
试题解析：
解方程：(1)(x＋8)2＝36；
x＋8＝6,
.
(2)x(5x＋4)－(4＋5x)＝0；
(4＋5x)(x-1)=0,
.
(3)x2＋3＝3(x＋1)；
,
x (x-3)=0,
.
(4)2x2－x－1＝0
（2x+1）(x-1)=0,
.
点睛：一元二次方程的解法（1）直接开平方法（2）配方法，所有方程适用（3）公式法，所有方程适用，（4）因式分解法，可因式分解的方程适用.
【考点】根的判别式；根与系数的关系．
【分析】（1）将m=2代入x2﹣mx﹣8=0，得x2﹣2x﹣8=0，利用因式分解法即可求解；
（2）由根与系数的关系可得x1+x2=m，x1x2=﹣8，又x12+x22﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣6x1x2=m2+48，将x1+x2=m，x1x2=﹣8代入x12+x22﹣4x1x2=97，得到方程m2+48=97，解方程即可求出m的值．
解：（1）m=2时，方程为：x2﹣2x﹣8=0，
（x+2）（x﹣4）=0，
∴x1=﹣2，x2=4；
（2）x1+x2=m，x1x2=﹣8，
x12+x22﹣4x1x2=（x1+x2）2﹣6x1x2=m2+48，
由已知得：m2+48=97，
解得：m1=7，m2=﹣7．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，同时考查了一元二次方程的解的定义．
【考点】 一元一次方程的应用； 一元二次方程的应用．
【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2016年收到微信红包金额400（1+x）万元，在2016年的基础上再增长x，就是2017年收到微信红包金额400（1+x）（1+x），由此可列出方程400（1+x）2=484，求解即可．
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，则她妹妹收到微信红包为（2y+34）元，根据她们共收到微信红包484元列出方程并解答．
解：（1）设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，
依题意得：400（1+x）2=484，
解得x1=0.1=10%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；
（2）设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，
依题意得：2y+34+y=484，
解得y=150
所以484﹣150=334（元）．
答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，则她妹妹收到微信红包为334元．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）利用枇杷的产量不超过樱桃产量的7倍，表示出两种水果的质量，进而得出不等式求出答案；
（2）根据果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额比他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同得出等式，进而得出答案．
解：（1）设该果农今年收获樱桃x千克，
根据题意得：400﹣x≤7x，
解得：x≥50，
答：该果农今年收获樱桃至少50千克；
（2）由题意可得：
100（1﹣m%）×30+200×（1+2m%）×20（1﹣m%）=100×30+200×20，
令m%=y，原方程可化为：3000（1﹣y）+4000（1+2y）（1﹣y）=7000，
整理可得：8y2﹣y=0
解得：y1=0，y2=0.125
∴m1=0（舍去），m2=12.5
∴m2=12.5，
答：m的值为12.5．
【考点】根与系数的关系，根的判别式，分式方程的解
【分析】（1）先解出分式方程①的解，根据分式的意义和方程①的根为非负数得出k的取值；
（2）先把k=m+2，n=1代入方程②化简，由方程②有两个整数实根得△是完全平方数，列等式得出关于m的等式，由根与系数的关系和两个整数根x1、x2得出m=1和﹣1，分别代入方程后解出即可．
（3）根据（1）中k的取值和k为负整数得出k=﹣1，化简已知所给的等式，并将两根和与积代入计算求出m的值，做出判断．
解：（1）∵关于x的分式方程的根为非负数，
∴x≥0且x≠1，
又∵x=≥0，且≠1，
∴解得k≥﹣1且k≠1，
又∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0中2﹣k≠0，
∴k≠2，
综上可得：k≥﹣1且k≠1且k≠2；
（2）∵一元二次方程（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0有两个整数根x1、x2，且k=m+2，n=1时，
∴把k=m+2，n=1代入原方程得：﹣mx2+3mx+（1﹣m）=0，即：mx2﹣3mx+m﹣1=0，
∴△≥0，即△=（﹣3m）2﹣4m（m﹣1），且m≠0，
∴△=9m2﹣4m（m﹣1）=m（5m+4），
∵x1、x2是整数，k、m都是整数，
∵x1+x2=3，x1?x2==1﹣，
∴1﹣为整数，
∴m=1或﹣1，
∴把m=1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：x2﹣3x+1﹣1=0，
x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
x1=0，x2=3；
把m=﹣1代入方程mx2﹣3mx+m﹣1=0得：﹣x2+3x﹣2=0，
x2﹣3x+2=0，
（x﹣1）（x﹣2）=0，
x1=1，x2=2；
（3）|m|≤2不成立，理由是：
由（1）知：k≥﹣1且k≠1且k≠2，
∵k是负整数，
∴k=﹣1，
（2﹣k）x2+3mx+（3﹣k）n=0且方程有两个实数根x1、x2，
∴x1+x2=﹣==﹣m，x1x2==，
x1（x1﹣k）+x2（x2﹣k）=（x1﹣k）（x2﹣k），
x12﹣x1k+x22﹣x2k=x1x2﹣x1k﹣x2k+k2，
x12+x22═x1x2+k2，
（x1+x2）2﹣2x1x2﹣x1x2=k2，
（x1+x2）2﹣3x1x2=k2，
（﹣m）2﹣3×=（﹣1）2，
m2﹣4=1，
m2=5，
m=±，
∴|m|≤2不成立．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，考查了根的判别式及分式方程的解；注意：①解分式方程时分母不能为0；②一元二次方程有两个整数根时，根的判别式△为完全平方数．