2.2.3 一元二次方程的解法（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第2章2.2一元二次方程的解法
第3课时 一元二次方程的解法（3）
【知识清单】
一、配方法解一元二次方程的一般步骤(二次项系数不为1)：
1.将方程化成一般式；
2.方程的两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；
3.移项：把常数项移到方程的右边，使方程的左边为二次项和一次项；
4.配方：在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，使左边成为完全平方式；
5.求解：如果方程的右边整理后是非负数，就用开平方法求解，如果右边是负数，则指出原方程无解.
二、配方法的重要性：配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用.?
【经典例题】
例题1、用配方法解方程2x2+6x7=0时，配方结果正确的是( ).
A． B．
C． D．
【考点】解一元二次方程-配方法．
【分析】本题考查分配方法解一元二次方程，此题实际上是把左边配成完全平方式，右边化为常数．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【解答】原方程为2x2+6x-7=0，二次项系数化为1，得x2+3x=，
即x2+3x+=+，所以(x+)2=.
故选B．
【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，做题时要注意解题步骤的准确应用．
例题2、用配方法求求5x2+7x+2的最大值．
【考点】配方法的应用 非负数的性质：偶次方
【分析】将代数式前两项提取5变形后，配方化为完全平方式，根据完全平方式的最小值为0，即可得到代数式有最大值，求出即可．
【解答】5x2+7x+2

∵≥0，
∴当x=时，代数式5x2+7x+2有最大值，最大值为．
【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活运用完全平方公式是解本题的关键．
【夯实基础】
1、下列判定正确的是( )
A．方程(x5)2=0的解只有一个是x=5 B．方程x2=10x的解是x=10
C．方程x2+4=0的解是x1=2，x2=2 D．方程3x22x1=0的解是，x2=1
2、一元二次方程的3x212x15=0的解是( )
A．x1=1，x2=5 B． x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=5 D．x1=1，x2=5
3、用配方法解关于x的方程x2+px+q=0，变形正确的是( )
A． B．
C． D．
4、已知实数x满足，那么的值是( )
A．4或2 B．4或2 C．4 D．2
5、用适当的数或式子填空:
(1)2x2+5x7 = 2( )；
(2) x2x+ = (x )2.
(3) + =( )2
(4) x22(a+b)2x+
6、若把y=6x212x14化为y=6(x+h)2+k的形式，则h= ，k= .
7、用配方法解方程：
（1）3x26x15=0；
（2）2x2+8x10=0；
（3）6x26x+1=0；
（4）x2+3x+2=0.

8、在用配方法解一元二次方程9x212x5=0时，老师给出如下的解题过程，让同学们讨论：
解：方程9x212x5=0可化成(3x)24×3x5=0，
移项，得(3x)24×3x=5.
配方，得(3x)24×3x+4=5+4，
即(3x2)2=9.
由此可得3x2=±3.
∴x1=，x2=.
看完这个过程有的同学认为是对的，有的同学认为错误的，在同学们争论不休时，老师让同学们按照常规做法方程两边同除以9，再用配方求解，结果相同.你从中受到了什么启示？
解题时不要生搬硬套，要灵活多变，当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方求解.根据上述的启发请你用适当方法求方程(2019x)2+2018×2020x=1的根.
【提优特训】
9、若9x2(k+2)x+4是一个关于x的完全平方式，则k的值为（ ）
A．10 B．10或14 C．10或14 D．10或14
10、对于二次三项式5x210x+9的值，下列叙述正确的是（ ）
A．一定为正数 B．可能为正数，也可能为负数
C．一定为负数 D．其值的符号与x值有关
11、小明同学解方程7x2－2x－3＝0的简要步骤如下：
解：7x2－2x－3＝0

，.
上述解法是错误的，发生第一次错误是（ ）．
A．第四步 B．第三步 C．第二步 D．第一步
12、代数式3x26x的值为1，则x1=　　　　，x2=　　　　　．
13、要使分式的值等于零，则x值为　 ．
14、关于的方程的根x1=　　　　，x2=　　　　　．
15、证明：不论x、y为何值，多项式5x2+2xy2y2+4x+6y12不论x、y取何值，代数式的值总
是负数．
16、我们知道：对于任何实数a，b，①若ab>0，则有a>b；②若ab=0，则有a=b；③若ab<0，则有a (1)对于任何实数x，均有3x212x+13>0；
(2)多项式3x26x3的值总大于x22x6的值．
17、先阅读后解题.
对有的题，若直接求解过程繁琐或根本无法下手，然而通过设未知数，构造方程可以使问题化繁为简、化难为易.例如求的值.
解：设x=，
两边平方，得x2=2+
所以x2=2+x，即x2x2=0
解得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)
所以=2.
利用以上解法，求下列各代数式的值：
(1) ；
(2) .
18、关于x的方程a2x22ax3=0的一个解为3，求a的值及方程的另一个解．

【中考链接】
19、2018?湖南湘西16．（4.00分）若关于x的一元二次方程x22x+m=0有一个解为x=1，则另一个解为（　　）
A．1 B．3 C．3 D．4
20、2018?上海方程组的解是 .
21、2018?湖北荆门（3分）已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k22)x+2k+4=0的一个根，则
k 的值为　 　．
22、2018?浙江金华、义乌17．解方程：x22x1=0．
参考答案
1、D 2、C 3、A 4、B 5、(1) ，(2) 、，(3)1、1 (4)(a+b)4、(a+b)2
6、h=1、k=20 9、D 10、A 11、B 12、x1=1+，x2=1 13、x=
14、， 19、C 20、， 21、k=3
解（1）3x26x15=0，
方程的两边同除以3，得x22x5=0.
移项，得x22x=5.
方程的两边都加上1，得x22x+1=5+1，即(x1)2=6，
则x1=，或x1=，
∴x1=1+，x2=1.
（2）2x2+8x10=0，
方程的两边同除以2，得x2+4x5=0.
移项，得x2+4x=5.
方程的两边都加上4，得x2+4x+4=5+4，即(x+2)2=9，
则x+2=3，或x+2=3，
∴x1=1，x2=5.
（3）6x26x+1=0，
方程的两边同除以6，得x2x+=0.
移项，得x2x=.
方程的两边都加上，得x2x+=+，即(x)2=，
则x=，或x=，
∴x1=+，x2=.
（4）x2+3x+2=0.
方程的两边同除以，得x2x2=0.
移项，得x2x=2.
方程的两边都加上，得x2x+=2+，即(x)2=，
则x=，或x=，
∴x1=，x2=.
8、在用配方法解一元二次方程9x212x5=0时，老师给出如下的解题过程，让同学们讨论：
解题时不要生搬硬套，要灵活多变，当二次项系数不为1时，有时也可以把系数的算术平方根与字母看成整体，再配方求解.
根据上述的启发请你用适当方法求方程(2019x)2+2018×2020x=1的根.
15、证明：不论x、y为何值，多项式5x2+2xy2y2+4x+6y12不论x、y取何值，代数式的值总是负数．
证明：5x2+2xy2y2+4x+6y12
=x2+2xyy24x2+4x1y2+6y92
=(xy)2 –(2x1)2(y3)22<0
所以不论x、y取何值，代数式5x2+2xy2y2+4x+6y12的值总是负数．
16、我们知道：对于任何实数a，b，①若ab>0，则有a>b；②若ab=0，则有a=b；③若ab<0，则有a (1)对于任何实数x，均有3x212x+13>0；
(2)多项式3x26x3的值总大于x22x6的值．
证明(1) 3x212x+13=3(x24x)+13
=3(x24x+44)+3
=3(x2)212+13
=3(x1)2+1>0；
(2) 3x26x3(x22x6)
=2x24x+3
=2(x22x+1)2+3
=2(x1)2+1>0
3x26x3>x22x6
多项式3x26x3的值总大于x22x6的值
17、先阅读后解题.
对有的题，若直接求解过程繁琐或根本无法下手，然而通过设未知数，构造方程可以使问题化繁为简、化难为易.例如求的值.
解：设x=，
两边平方，得x2=2+
所以x2=2+x，即x2x2=0
解得x1=2，x2=1(不合题意，舍去)
所以=2.
利用以上解法，求下列各代数式的值：
(1) ；
(2) .
解：(1) 设x=
两边平方，得x2=
所以x2=2x，即x22x=0
解得x1=2，x2=0(不合题意，舍去)
所以=2.
(2) 设x=
两边平方，得x2=，
x2=14+8=22，
x1=，x2=(不合题意，舍去).
所以=.
18、关于x的方程a2x22ax3=0的一个解为3，求a的值及方程的另一个解．
解：把x=3代入a2x22ax3=0得，9a26a3=0，
∴9a26a+1=3+1，
(3a1)2=4，
3a1=±2，
a1=1,a2=.
∴a=1时，x=1；
a= 时，x=9.
22、2018?浙江金华、义乌17．解方程：x22x1=0．
解：x22x=1，
x22x+1=1+1
(x1)2=2
x1=，x1=，
x1=1+，x2=1.