2.2一元二次方程的解法 同步练习
一．选择题
1．方程3x2＝0的根是（ ）
A．x＝0 B．x1＝x2＝0
C．x＝3 D．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（ ）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝18 C．（x+4）2＝14 D．（x+4）2＝18
3．x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
4．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则该三角形第三边的长是（ ）
A．6 B．3或7 C．3 D．7
5．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1
C．k≠﹣1 D．k为任意实数
6．若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x12x2+x1x22值为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．3
7．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
8．多项式x2+y2﹣4x+6y+12的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12
二．填空题
9．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是 ．
10．已知方程2x2﹣px+q＝0的两根分别是2和3，则因式分解2x2+px﹣q的结果是 ．
11．关于x的方程（x﹣1）2＝a有实数根，则a的取值范围是 ．
12．设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝ ．
13．对于任意的实数x，代数式x2+3x﹣1的最小值为 ．
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x＝ ．
三．解答题
15．解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0
（2）2x2﹣4x+1＝0
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
17．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．
18．阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0．
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0．
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，
∵（m﹣n）2≥0，（n﹣2）2≥0．
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0．
∴m＝2，n＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣6a﹣2b+10＝0，则a＝ ，b＝ ；
（2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值；
（3）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．
2.2一元二次方程的解法 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题
1．方程3x2＝0的根是（ ）
A．x＝0 B．x1＝x2＝0
C．x＝3 D．
解：3x2＝0，
x2＝0，
x1＝x2＝0，
故选：B．
2．用配方法解一元二次方程x2﹣8x+2＝0，此方程可化为的正确形式是（ ）
A．（x﹣4）2＝14 B．（x﹣4）2＝18 C．（x+4）2＝14 D．（x+4）2＝18
解：x2﹣8x+2＝0，
x2﹣8x＝﹣2，
x2﹣8x+16＝﹣2+16，
（x﹣4）2＝14，
故选：A．
3．x＝是下列哪个一元二次方程的根（ ）
A．3x2+5x+1＝0 B．3x2﹣5x+1＝0 C．3x2﹣5x﹣1＝0 D．3x2+5x﹣1＝0
解：A.3x2+5x+1＝0中，x＝，不合题意；
B.3x2﹣5x+1＝0中，x＝，不合题意；
C.3x2﹣5x﹣1＝0中，x＝，不合题意；
D.3x2+5x﹣1＝0中，x＝，符合题意；
故选：D．
4．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程x2﹣10x+21＝0的一个根，则该三角形第三边的长是（ ）
A．6 B．3或7 C．3 D．7
解：方程x2﹣10x+21＝0可化为：（x﹣3）（x﹣7）＝0，
解得：x1＝3，x2＝7，
∴三角形的第三边长为3或6，
当第三边长为3时，由3+3＝6，得到三边不能构成三角形，舍去；
所以第三边长为7，
故选：D．
5．关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣1 B．k＜﹣1
C．k≠﹣1 D．k为任意实数
解：∵一元二次方程x2﹣（k+1）x＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×0＞0，
∴k≠﹣1，
故选：C．
6．若x1和x2为一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根．则x12x2+x1x22值为（ ）
A．4 B．2 C．4 D．3
解：∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1，
x12x2+x1x22＝x1x2（x1+x2）＝2．
故选：B．
7．已知实数x满足（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，则代数式x2﹣x+1的值是（ ）
A．7 B．﹣1 C．7或﹣1 D．﹣5或3
解：∵（x2﹣x）2﹣4（x2﹣x）﹣12＝0，
∴（x2﹣x+2）（x2﹣x﹣6）＝0，
∴x2﹣x+2＝0或x2﹣x﹣6＝0，
∴x2﹣x＝﹣2或x2﹣x＝6．
当x2﹣x＝﹣2时，x2﹣x+2＝0，
∵b2﹣4ac＝1﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无实数解．
当x2﹣x＝6时，x2﹣x+1＝7
故选：A．
8．多项式x2+y2﹣4x+6y+12的最小值是（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．12
解：x2+y2﹣4x+6y+12
＝x2﹣4x+4+y2+6y+9﹣1
＝（x+2）2+（y+3）2﹣1，
∵（x+2）2≥0，（y+3）2≥0，
∴（x+2）2+（y+3）2﹣1≥﹣1，
则多项式x2+y2﹣4x+6y+12的最小值是﹣1，
故选：B．
填空题
9．一元二次方程x2+2x﹣6＝0的根是 x1＝，x2＝﹣3 ．
解：这里a＝1，b＝2，c＝﹣6，
∵△＝8+24＝32，
∴x＝，
即x1＝，x2＝﹣3．
故答案为：x1＝，x2＝﹣3．
10．已知方程2x2﹣px+q＝0的两根分别是2和3，则因式分解2x2+px﹣q的结果是 （x﹣2）（x﹣3） ．
解：∵方程2x2﹣px+q＝0的两根分别是2和3，
∴2x2﹣px+q＝（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴2x2﹣px+q＝（x﹣2）（x﹣3）．
故答案为：（x﹣2）（x﹣3）．
11．关于x的方程（x﹣1）2＝a有实数根，则a的取值范围是 a≥0 ．
解：∵关于x的方程（x﹣1）2＝a有实数根，
∴a≥0．
故答案为：a≥0．
12．设α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，则（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝ 4 ．
解：∵α、β是方程x2+2018x﹣2＝0的两根，
∴α2+2018α＝2，β2+2018β＝2，
∴（α2+2018α﹣1）（β2+2018β+2）＝（2﹣1）（2+2）＝4．
故答案为：4．
13．对于任意的实数x，代数式x2+3x﹣1的最小值为 ﹣ ．
解：x2+3x﹣1＝（x+）2﹣（）2﹣1＝（x+）2﹣，
故对于任意的实数x，代数式x2+3x﹣1的最小值是﹣．
故答案为：﹣．
14．小明设计了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中，会得到一个新的实数a2﹣2b+3，若将实数对（x，﹣3x）放入其中，得到一个新数为5，则x＝ ﹣3 ．
解：根据题意，得：x2+6x+3＝5，
即x2+6x﹣2＝0，
∵a＝1，b＝6，c＝﹣2，
∴△＝36﹣4×1×（﹣2）＝44＞0，
则x＝＝﹣3，
故答案为：﹣3．
解答题
15．解方程：
（1）x2+4x﹣1＝0
（2）2x2﹣4x+1＝0
解：（1）x2+4x＝1，
x2+4x+4＝5，
（x+2）2＝5，
x+2＝±，
所以x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；
（2）x2﹣2x＝﹣，
x2﹣2x+1＝﹣+1，
（x﹣1）2＝，
x﹣1＝±，
所以x1＝1﹣，x2＝1+．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0，
∴△＝[﹣（m+1）]2﹣4（3m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：由求根公式可求得x＝3或x＝m﹣2，
若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，解得m＜2．
综上可知，若方程有一个根是负数，m的取值范围为m＜2．
17．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根，
∴△＝32﹣4（k﹣3）≥0，解得k≤，
∴当k≤时，关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根；
（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，
∴x12+3x1+k﹣3＝0，即x12＝﹣3x1﹣k+3．
∵x12+2x1+x2+k＝3，
∴x1＝x2；
∴△＝32﹣4（k﹣3）＝0，
解得k＝．
18．阅读材料：若m2﹣2mm+2n2﹣4n+4＝0，求m，n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣4n+4＝0．
∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣4n+4）＝0．
∴（m﹣n）2+（n﹣2）2＝0，
∵（m﹣n）2≥0，（n﹣2）2≥0．
∴（m﹣n）2＝0，（n﹣2）2＝0．
∴m＝2，n＝2．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）a2+b2﹣6a﹣2b+10＝0，则a＝ 3 ，b＝ 1 ；
（2）已知x2+2y2﹣2xy+8y+16＝0，求xy的值；
（3）已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，求△ABC的周长．
解：（1）∵a2+b2﹣6a﹣2b+10＝0，
∴（a2﹣6a+9）（b2﹣2b+1）＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣1）2＝0，
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣1）2≥0，
∴a﹣3＝0，b﹣1＝0，
∴a＝3，b＝1，
故答案为：3，1；
（2）∵x2﹣2xy+2y2+8y+16＝0，
∴（x2﹣2xy+y2）+（y2+8y+16）＝0，
∴（x﹣y）2+（y+4）2＝0，
∴（x﹣y）2＝0，（y+4）2＝0，
∴x＝﹣4，y＝﹣4，
∴xy＝﹣4×（﹣4）＝16；
（3）∵2a2+b2﹣4a﹣8b+18＝0，
∴（2a2﹣4a+2）+（b2﹣8b+16）＝0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝1，b＝4，
∴边长c的范围为3＜c＜5．
∵a，b，c都是正整数，
∴边长c的值为4，则△ABC的周长为1+4+4＝9．
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