2.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习
一．选择题
1．已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（ ）
A．5 B．1 C．3 D．﹣2
2．已知x1，x2是x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1?x2是（ ）
A．﹣4 B．4 C．1 D．﹣1
3．方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．两实根的和为﹣2
B．两实根的积为3
C．有两个不相等的正实数根
D．没有实数根
4．一元二次方程ax2+bx+c＝0，若有两根1和﹣1，那么a+b+c＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣m）（x﹣3）＝﹣1（m＜3）的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是（ ）
A．m＜x1＜x2＜3 B．x1＜m＜x2＜3 C．x1＜m＜3＜x2 D．x1＜x2＜m＜3
6．若关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实根x1、x2，则x1x2（x12+x22）﹣2x12+4x1的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
7．若a、b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则a2﹣3b的值是（ ）
A．3 B．﹣15 C．﹣3 D．15
8．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（ ）
A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3
二．填空题
9．关于x的一元二次方程x2+mx+2＝0的一个根为﹣2，则另一个根为 ，m的值为 ．
10．请你写一个以0，﹣2为根的一元二次方程： ．
11．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝ ．
12．已知方程3x2﹣4x﹣2＝0的两个根是x1、x2，则+＝ ．
13．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝6，则k的值是 ．
14．对于方程x2﹣px+4＝0①与方程x2﹣5x+q＝0②，已知方程②的一个根比方程①的较大根大2，方程②的另一个根比方程①的较小根小2，则q＝ ．
三．解答题
15．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，求此等腰三角形的周长．
16．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．
17．已知a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），求a+b的值．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1﹣x1x2＝x12+x22，求m的值．
2.4一元二次方程根与系数的关系 同步练习
参考答案与试题解析
选择题
1．已知方程x2﹣3x﹣k＝0的一个根为﹣2，那么它的另一个根为（ ）
A．5 B．1 C．3 D．﹣2
解：设x1，x2是方程x2﹣3x﹣k＝0的两根，
由题意知x1+x2＝﹣2+x2＝3，
解得x2＝5．
故选：A．
2．已知x1，x2是x2﹣4x+1＝0的两个根，则x1?x2是（ ）
A．﹣4 B．4 C．1 D．﹣1
解：∵x1，x2是x2﹣4x+1＝0的两个根，
∴x1?x2＝1，
故选：C．
3．方程x2﹣2x+3＝0的根的情况是（ ）
A．两实根的和为﹣2
B．两实根的积为3
C．有两个不相等的正实数根
D．没有实数根
解：∵△＝（﹣2）2﹣4×3＜0．
∴方程没有实数解．
故选：D．
4．一元二次方程ax2+bx+c＝0，若有两根1和﹣1，那么a+b+c＝（ ）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
解：把x＝1代入一元二次方程ax2+bx+c＝0得：a+b+c＝0；
故选：B．
5．若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣m）（x﹣3）＝﹣1（m＜3）的两根，则实数x1，x2，3，m的大小关系是（ ）
A．m＜x1＜x2＜3 B．x1＜m＜x2＜3 C．x1＜m＜3＜x2 D．x1＜x2＜m＜3
解：把x1，x2（x1＜x2）看作抛物线y＝（x﹣m）（x﹣3）与直线y＝﹣1（m＜3）的两交点的横坐标，
而抛物线y＝（x﹣m）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（m，0），（3，0），
所以m＜x1＜x2＜3．
故选：A．
6．若关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实根x1、x2，则x1x2（x12+x22）﹣2x12+4x1的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．4.5 D．5
解：∵关于x的方程x2﹣2x+m﹣1＝0有两个实根x1、x2，
∴△＝4﹣4（m﹣1）＝8﹣4m≥0，
∴m≤2，
∵x1+x2＝2，x1?x2＝m﹣1，x12﹣2x1＝﹣m+1，
∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣2（m﹣1）＝6﹣2m，
∴x1x2（x12+x22）﹣2x12+4x1＝（﹣m+1）（6﹣2m）﹣2（﹣m+1）＝﹣2m2+10m﹣8＝﹣2（m﹣）2+，
∵m≤2，
∴当m＝2时，x1x2（x12+x22）﹣2x12+4x1的最大值＝4，
故选：B．
7．若a、b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则a2﹣3b的值是（ ）
A．3 B．﹣15 C．﹣3 D．15
解：∵a、b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，
∴a2+3a﹣6＝0，即a2＝﹣3a+6，a+b＝﹣3，
则a2﹣3b＝﹣3a+6﹣3b
＝﹣3（a+b）+6
＝﹣3×（﹣3）+6
＝9+6
＝15，
故选：D．
8．设一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0的两实根分别为α、β（α＜β），则α、β满足（ ）
A．2＜α＜3≤β B．α≤2且β≥3 C．α≤2＜β＜3 D．α＜2且β＞3
解：当p＝0，（x﹣2）（x﹣3）＝0，解得α＝2，β＝3，
当p≠0，（x﹣2）（x﹣3）﹣p2＝0，看作二次函数y＝（x﹣2）（x﹣3）与直线y＝p2＝0有两个公共点，而y＝（x﹣2）（x﹣3）与x轴的交点坐标为（2，0），（3，0），直线y＝p2在x轴上方，所以p＜2，β＞3，
综上所述，α≤2且β≥3．
故选：B．
填空题
9．关于x的一元二次方程x2+mx+2＝0的一个根为﹣2，则另一个根为 ﹣1 ，m的值为 3 ．
解：设方程另一根为x1，
∵原方程为：x2+mx+2＝0，
∴﹣2+x1＝﹣m，﹣2×x1＝2，
∴x1＝﹣1，m＝3．
∴m的值为3；方程的另一根为﹣1，
故答案为：﹣1，3．
10．请你写一个以0，﹣2为根的一元二次方程： x2﹣2x＝0 ．
解：∵两根和为，两根积为．
∴设a＝1，据题意得
﹣b＝0+（﹣2），c＝0×（﹣2）
∴b＝﹣2，c＝0
∴一个以0，﹣2为根的一元二次方程为x2﹣2x＝0．
11．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x12+x22+3x1x2＝ ﹣1 ．
解：根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝﹣5，
x12+x22+3x1x2＝（x1+x2）2+x1x2＝22+（﹣5）＝﹣1．
故答案为﹣1．
12．已知方程3x2﹣4x﹣2＝0的两个根是x1、x2，则+＝ ﹣2 ．
解：∵方程3x2﹣4x﹣2＝0的两个根是x1、x2，
∴x1+x2＝，x1?x2＝﹣，
∴+＝＝＝﹣2．
故答案为：﹣2．
13．关于x的一元二次方程x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1+x2＝6，则k的值是 3 ．
解：∵x2﹣2kx+k2﹣k＝0的两个实数根分别是x1、x2，
∴x1+x2＝2k，
∵x1+x2＝6，
∴（x1+x2）2＝36，
（2k）2＝36，
∴k＝±3，
∵△＝（﹣2k）2﹣4×1×（k2﹣k）≥0，
k≥0，
∴k＝3，
故答案为：3．
14．对于方程x2﹣px+4＝0①与方程x2﹣5x+q＝0②，已知方程②的一个根比方程①的较大根大2，方程②的另一个根比方程①的较小根小2，则q＝ ﹣6 ．
解：设方程①的两根为x1、x2（x1＜x2），方程②的两根为x3、x4，
由题意得x1+x2＝x3+x4，
由根与系数的关系得x1+x2＝p，x3+x4＝5，x1x2＝4，x3x4＝q，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝9，
∴x2﹣x1＝3，
∴x3x4＝（x1﹣2）（x2+2）＝x1x2+2（x1﹣x2）﹣4＝﹣6，
∴q＝﹣6．
故答案为：﹣6．
三．解答题
15．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，求此等腰三角形的周长．
解：将x＝2代入方程，得：4﹣4m+3m＝0，
解得：m＝4．
当m＝4时，原方程为x2﹣8x+12＝（x﹣2）（x﹣6）＝0，
解得：x1＝2，x2＝6，
∵2+2＝4＜6，
∴此等腰三角形的三边为6、6、2，
∴此等腰三角形的周长C＝6+6+2＝14．
16．已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若x12+2x1+x2+k＝3，试求k的值．
解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根，
∴△＝32﹣4（k﹣3）≥0，解得k≤，
∴当k≤时，关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0有两个实数根；
（2）∵x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣3＝0的根，
∴x12+3x1+k﹣3＝0，即x12＝﹣3x1﹣k+3．
∵x12+2x1+x2+k＝3，
∴x1＝x2；
∴△＝32﹣4（k﹣3）＝0，
解得k＝．
17．已知a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），求a+b的值．
解：由题意得：（a+1）2+3（a+1）﹣3＝0，（b+1）2+3（b+1）﹣3＝0，
∴a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，
整理此方程，得x2+5x+1＝0，
∵△＝25﹣4＞0，
∴a+b＝﹣5，ab＝1．
故a、b均为负数．
因此a+b＝﹣a?﹣b?＝﹣（+）＝﹣＝﹣＝﹣[（﹣5）2﹣2]＝﹣23．
18．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1﹣x1x2＝x12+x22，求m的值．
解：（1）∵△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＝﹣4m+8＞0，
∴m＜2时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵设x1，x2是这个方程的两个实根，则x1＞0，x2＞0，
∴x1x2＝m﹣1＞0，
∴m＞1；
（3）∵x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1，，
∴1﹣m+1＝22﹣2（m﹣1），
∴m＝4．
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