2.3一元二次方程的应用 同步练习
选择题
1．某型号的手机连续两次降阶，每台手机售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（ ）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1﹣x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1+x）2＝580
2．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（ ）
A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3
3．某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．1+x+x2＝111 B．x+x2＝111 C．2x+1＝111 D．2x＝111
4．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是（ ）
A．2米 B．米 C．2米或米 D．3米
5．下列方程没有实数根的是（ ）
A．x3+2＝0 B．x2+2x+2＝0
C．＝x﹣1 D．﹣＝0
6．某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛（ ）
A．10个 B．6个 C．5个 D．4个
7．在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为，，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）
A． B．
C． D．
8．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x，则可列方程是（ ）
A．400（1+x）＝640
B．400（1+x）2＝640
C．400（1+x）+400（1+x）2＝640
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝640
填空题
9．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为 ．
10．已知x+2+＝10，则x等于 ．
11．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 人．
12．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，算一算张大叔购回这张矩形铁皮共花了
元钱．
13．若代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值为24，则x的值可以是 ．
14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”
译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺．将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好与水岸齐接．问水深，芦苇的长度分别是多少尺？”（备注：1丈＝10尺）
如果设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为 尺，根据题意，可列方程为 ．
解答题
15．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长．
16．根据扬州市某风景区的旅游信息，A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
扬州市某风景区旅游信息表
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
17．如图有一矩形空地，一边是长为20m的墙，另三边由一长为35m的篱笆围成，要使矩形的面积等于125m2，那么这块矩形空地的长和宽分别是多少？
18．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
2.3一元二次方程的应用 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题
1．某型号的手机连续两次降阶，每台手机售价由原来的1185元降到580元，设平均每次降价的百分率为x，则列出方程正确的是（ ）
A．580（1+x）2＝1185 B．1185（1﹣x）2＝580
C．580（1﹣x）2＝1185 D．1185（1+x）2＝580
解：设平均每次降价的百分率是x，根据题意列方程得，
1185（1﹣x）2＝580．
故选：B．
2．连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是（ ）
A．3 B．﹣4 C．﹣3或4 D．﹣4或3
解：设这两个整数中较小的一个是x，则较大的一个是（x+1），
根据题意得：x（x+1）＝12，
解得：x1＝3，x2＝﹣4．
故选：D．
3．某种植物的主干长出若干个数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是111，求每个支干长出多少个小分支？解：设主干长出x个支干，每个支干有x个小分支，由题意，所列方程正确的是（ ）
A．1+x+x2＝111 B．x+x2＝111 C．2x+1＝111 D．2x＝111
解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝111，
故选：A．
4．某新建火车站站前广场绿化工程中有一块长为20米，宽为12米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为112米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是（ ）
A．2米 B．米 C．2米或米 D．3米
解：设人行通道的宽度是x米，则两块绿地可合成长为（20﹣3x）米、宽为（12﹣2x）米的矩形，
根据题意得：（20﹣3x）（12﹣2x）＝112，
整理得：x1＝2，x2＝，
∵当x＝时，20﹣3x＝﹣12，
∴x2＝舍去．
故选：A．
5．下列方程没有实数根的是（ ）
A．x3+2＝0 B．x2+2x+2＝0
C．＝x﹣1 D．﹣＝0
解：A、x3+2＝0，
x3＝﹣2，
x＝﹣，即此方程有实数根，故本选项不符合题意；
B、x2+2x+2＝0，
△＝22﹣4×1×2＝﹣4＜0，
所以此方程无实数根，故本选项符合题意；
C、＝x﹣1，
两边平方得：x2﹣3＝（x﹣1）2，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，即原方程有实数根，故本选项不符合题意；
D、﹣＝0，
去分母得：x﹣2＝0，
解得：x＝2，
经检验x＝2是原方程的解，即原方程有实数根，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．某次足球比赛中，每两个足球队之间要进行一次主场比赛和一次客场比赛，所以共组织了20场比赛，这次比赛共有几个队参加比赛（ ）
A．10个 B．6个 C．5个 D．4个
解：设有x个足球队参加，依题意，
x（x﹣1）＝20，
整理，得x2﹣x﹣20＝0，
（x﹣5）（x+4）＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣4（舍去）；
即：共有5个足球队参加比赛．
故选：C．
7．在单元考试中，某班同学解答“由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解为，，试写出这样的一个方程组题目，出现了下面四种答案，其中正确的答案是（ ）
A． B．
C． D．
解：A、第二个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意；
B、第一个解不符合方程组中的第一个方程，所以方程组不符合，故本选项不符合题意；
C、两个解都是方程组的解，方程组也满足由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项符合题意；
D、方程组不是由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的，故本选项不符合题意；
故选：C．
8．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x，则可列方程是（ ）
A．400（1+x）＝640
B．400（1+x）2＝640
C．400（1+x）+400（1+x）2＝640
D．400+400（1+x）+400（1+x）2＝640
解：设这两年的年净利润平均增长率为x，
根据题意得：400（1+x）2＝640．
故选：B．
填空题
9．圣诞节时，某班一个小组有x人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，则可列方程为 x（x﹣1）＝110 ．
解：设这个小组有x人，则每人应送出x﹣1张贺卡，由题意得：
x（x﹣1）＝110，
故答案为：x（x﹣1）＝110．
10．已知x+2+＝10，则x等于 2 ．
解根据题意可得x＞0
∵x+2+＝10
＝10
＝2
x＝2
故答案为2
11．若一人患了流感，经过两轮传染后共有121人感染了流感．按照这样的传染速度，若2人患了流感，第一轮传染后患流感的人数共有 22 人．
解：设每轮传染中1人传染给x人，则第一轮传染后共（1+x）人患流感，第二轮传染后共[1+x+x（x+1）]人患流感，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝121，
解得：x1＝10，x2＝﹣12（舍去），
∴2（1+x）＝22．
故答案为：22．
12．如图，张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体箱子，且此长方体箱子的底面长比宽多2米，现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，算一算张大叔购回这张矩形铁皮共花了 700 元钱．
解：设长方体的底面长为x米，则底面宽为（x﹣2）米，由题意，得
x（x﹣2）×1＝15，
解得：x1＝5，x2＝﹣3（舍去）．
底面宽为5﹣2＝3米．
矩形铁皮的面积为：（5+2）（3+2）＝35米2，
这张矩形铁皮的费用为：20×35＝700元．
故答案为：700．
13．若代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值为24，则x的值可以是 0或﹣5（写一个不扣分） ．
解：∵代数式（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）的值为24，
∴（x+1）（x+2）（x+3）（x+4）＝24，
即[（x+1）（x+4）][（x+2）（x+3）]＝24
∴（x2+5x+4）（x2+5x+6）＝24
设x2+5x+4＝y，则原式为y（y+2）＝24
整理，得y2+2y﹣24＝0，
∴（y+6）（y﹣4）＝0，
∴y1＝﹣6，y2＝4．
当y＝﹣6时，x2+5x+4＝﹣6
即x2+5x+10＝0，
△＝25﹣40＝﹣15＜0
所以此方程无解．
当y＝4时，x2+5x+4＝4，
整理，得x2+5x＝0
解得x1＝0，x2＝﹣5．
故答案为：0或﹣5．
14．《九章算术》是中国传统数学重要的著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第九卷《勾股》主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求，之中记载了一道有趣的“引葭赴岸”问题：
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”
译文：“今有正方形水池边长为1丈，有棵芦苇生长在它长出水面的部分为1尺．将芦苇的中央，向池岸牵引，恰好与水岸齐接．问水深，芦苇的长度分别是多少尺？”（备注：1丈＝10尺）
如果设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为 （x+1） 尺，根据题意，可列方程为 （x+1）2＝x2+52 ．
解：设水深为x尺，那么芦苇长用含x的代数式可表示为：（x+1）尺，
根据题意，可列方程为：（x+1）2＝x2+52．
故答案为：（x+1）；（x+1）2＝x2+52．
三．解答题
15．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一元二次方程的一般形式
（1）有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．
（2）如果一个直角三角形的两条直角边长之和为14cm，面积为24cm2，求它的两条直角边的长．
解：（1）设十位数字为x，则个位数字为x+3，百位数字为x+2，
根据题意得：[100（x+2）+10x+（x+3）]﹣9[（x+3）2+x2+（x+2）2]＝20，
化简为9x2﹣7x﹣22＝0；
（2）设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边为（14﹣x），根据题意得：x（14﹣x）＝24，
整理得：x2﹣14x+48＝0．
16．根据扬州市某风景区的旅游信息，A公司组织一批员工到该风景区旅游，支付给旅行社2800元．A公司参加这次旅游的员工有多少人？
扬州市某风景区旅游信息表
旅游人数
收费标准
不超过30人
人均收费80元
超过30人
每增加1人，人均收费降低1元，但人均收费不低于55元
解：设参加这次旅游的员工有x人，
∵30×80＝2400＜2800，
∴x＞30．
根据题意得：x[80﹣（x﹣30）]＝2800，
解得：x1＝40，x2＝70．
当x＝40时，80﹣（x﹣30）＝70＞55，
当x＝70时，80﹣（x﹣30）＝40＜55，舍去．
答：A公司参加这次旅游的员工有40人．
17．如图有一矩形空地，一边是长为20m的墙，另三边由一长为35m的篱笆围成，要使矩形的面积等于125m2，那么这块矩形空地的长和宽分别是多少？
解：设平行于墙的边长为xm，则长方形的另一对边为m，可得方程：
x×＝125，
解得x1＝10，x2＝25．
当x1＝10时，＝12.5；
当x2＝25时，25＞20（不合题意，舍去）．
故矩形空地的长是12.5m宽是10m．
18．某钢铁厂计划今年第一季度一月份的总产量为500t，三月份的总产量为720t，若平均每月的增长率相同．
（1）第一季度平均每月的增长率；
（2）如果第二季度平均每月的增长率保持与第一季度平均每月的增长率相同，请你估计该厂今年5月份总产量能否突破1000t？
解：（1）设第一季度平均每月的增长率为x，
根据题意得：500（1+x）2＝720，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：第一季度平均每月的增长率为20%．
（2）720×（1+20%）2＝1036.8（t），
∵1036.8＞1000，
∴该厂今年5月份总产量能突破1000t．362989
