第一章二次根式解答题精选

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第一章二次根式解答题精选
题号
一
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分


解答题（共40小题）
1．计算：
（1）﹣+2
（2）+（1﹣）0
2．计算：
（1）?
（2）
（3）（+2）（2﹣）2+
3．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
4．已知a＝，求的值．
5．在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2
∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．
6．已知x＝﹣1，y＝+1，分别求下列代数式的值：
（1）x2+y2
（2）
7．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
8．求值：
（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．
9．（1）9÷×
（2）﹣2﹣2÷2﹣2+﹣1﹣（﹣1）0
（3）（π﹣1）0+（）﹣1+|5﹣|﹣
（4）（2+3）2011（2﹣3）2012﹣4﹣
10．计算：
（1）（﹣1）2018+
（2）
11．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
12．先化简，再求值：a+，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）　 　的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　 　；
（3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2007．
13．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣
14．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
15．计算题
（1）2÷×﹣
（2）先化简，再求值．（6x+）﹣（4x+），其中x＝，y＝27．
16．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　 　，b＝　 　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
　 　+　 　＝（　 　+　 　）2；
（3）化简：＝　 　．
17．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：
反之，3﹣2∴3﹣2
∴﹣1
求：
（1）；
（2）；
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
18．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
＝＝＝＝﹣1
这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
请参照以上方法化简：+++
19．计算下列各题：
（1）已知a，b为实数，且（b﹣1）＝0，求a2017﹣b2018的值．
（2）已知x+1＝，求（x﹣1）2+4（x﹣1）+4的值．
20．已知y＝++4，求的值．
21．（1）已知x＝+，y＝﹣，试求代数式2x2﹣5xy+2y2的值．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2﹣1，y＝2﹣．
22．（1）已知x＝2+，y＝2﹣，求（+）（﹣）的值．
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，写出a，b的值并计算﹣ab的值．
23．如果最简二次根式与是同类二次根式．
（1）求出a的值；
（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．
24．已知非零实数a，b满足+|b﹣3|++4＝a，求ab﹣1的值
25．请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答：
例：已知y＝+2018，求的值．
解：由，解得：x＝2017，∴y＝2018．
∴．
请继续完成下列两个问题：
（1）若x、y为实数，且y＞+2，化简：；
（2）若y?＝y+2，求的值．
26．小明在学习了二次根式后有了新发现：
发现（一）：在实数范畴内进行因式分解，如
发现（二）：一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，
善于思考的小明还进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为整数），则有，所以a＝m2+2n2，b＝2mn
（1）因式分解：x2﹣2＝　 　．
（2）仿照小明发现（二）的探索方法解决下列问题：
①因式分解：＝　 　．
②若，且a，m，n均为正整数，直接写出a的值．
27．已知正数m、n满足m+4﹣2﹣4+4n＝3，求值：．
28．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2
29．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
＝＝＝＝﹣1．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝﹣1．
这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
分别用上述两种方法化简：．
30．阅读下列解题过程：＝＝﹣，＝＝﹣，请回答下列回题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝　 　；＝　 　；
（2）利用上面的解法，请化简：+++…++．
31．观察下列等式：
①＝＝；
②＝＝；
③＝＝
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：+++…+．
32．阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b＝9，≤　 　；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
33．阅读下列解题过程：；请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，化简：①②
（2）利用上面提供的解法，请计算：．
34．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
35．阅读下面材料，并解答后面的问题：
＝＝；
；
．
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果　 　；
（2）计算（+）（）＝　 　，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：
．
36．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
已知m为实数，化简：
解：原式＝
＝．
37．已知，求的值．
38．先化简，再求值：，其中a＝，b＝3+．
39．先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a+b＝3﹣2，求ba的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+y＝8+4，求x+y的值．
40．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．
请任用其中一种方法化简：①；②．

参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．计算：
（1）﹣+2
（2）+（1﹣）0
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得．
【解答】解：（1）原式＝3﹣+2＝；
（2）原式＝+1
＝+1
＝5+1
＝6．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
2．计算：
（1）?
（2）
（3）（+2）（2﹣）2+
【分析】（1）约分即可得；
（2）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（3）原式先利用平方差公式计算，再进一步计算可得．
【解答】解：（1）?＝；
（2）原式＝4﹣﹣3＝3﹣3；
（3）原式＝（2﹣）（2+）（2﹣）+
＝（2﹣）×（4﹣3）+
＝2﹣+
＝2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及分式的约分．
3．计算：
（1）﹣+
（2）（﹣）（+）+（﹣1）2
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
（2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再计算加减可得．
【解答】解：（1）原式＝4﹣3+＝；
（2）原式＝5﹣2+4﹣2＝7﹣2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
4．已知a＝，求的值．
【分析】先将a的值分母有理化，从而判断出a﹣2＜0，再根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，继而将a的值代入计算可得．
【解答】解：∵a＝＝＝2﹣，
∴a﹣2＝2﹣﹣2＝﹣＜0，
则原式＝﹣
＝a+3+
＝2﹣+3+2+
＝7．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
5．在解决问题“已知a＝，求2a2﹣8a+1的值”时，小明是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2
∴a﹣2＝﹣，∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若a＝，求3a2﹣6a﹣1的值．
【分析】（1）将原式分母有理化后，得到规律，利用规律求解；
（2）将a分母有理化得a＝+1，移项并平方得到a2﹣2a＝1，变形后代入求值．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）∵a＝
＝+1，
∴a﹣1＝，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1
∴3a2﹣6a＝3
∴3a2﹣6a﹣1＝2．
【点评】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式以及代数式的变形，变形各式后利用a2﹣2a＝1，是解决本题的关键．
6．已知x＝﹣1，y＝+1，分别求下列代数式的值：
（1）x2+y2
（2）
【分析】（1）根据完全平方公式即可求答案．
（2）根据第（1）问的答案即可求出答案．
【解答】（1）解：x2+y2
＝（﹣1）2+（+1）2
＝3﹣2+3+2
＝6
（2）解：∵xy＝（﹣1）（+1）
＝2﹣1
＝1
∵x2+y2＝6
∴原式＝
＝6
【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整体的思想，本题属于基础题型．
7．设a，b，c为△ABC的三边，化简：
++﹣．
【分析】根据三角形的三边关系判定出a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a的符号，利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据a，b，c为△ABC的三边，得到a+b+c＞0，a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣b﹣a＜0，
则原式＝|a+b+c|+|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|＝a+b+c+b+c﹣a+a+c﹣b﹣a﹣b+c＝4c．
【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，以及三角形的三边关系，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．求值：
（1）已知a＝3+2，b＝3﹣2，求a2+ab+b2的值；
（2）已知：y＞++2，求+5﹣3x的值．
【分析】（1）根据a＝3+2，b＝3﹣2，代入（a+b）2﹣ab进行计算即可；
（2）依据被开方数为非负数，即可得到x＝，进而得出y＞2，据此可得+5﹣3x的值．
【解答】解：（1）∵a＝3+2，b＝3﹣2，
∴a2+ab+b2＝a2+2ab+b2﹣ab
＝（a+b）2﹣ab
＝36﹣1
＝35；
（2）∵，
∴，
∴x＝，
∴y＞2，
∴+5﹣3x
＝+5﹣3x
＝+5﹣3x
＝﹣1+5﹣3x
＝4﹣3x
＝4﹣3×
＝2．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式的非负性解决相关问题．
9．（1）9÷×
（2）﹣2﹣2÷2﹣2+﹣1﹣（﹣1）0
（3）（π﹣1）0+（）﹣1+|5﹣|﹣
（4）（2+3）2011（2﹣3）2012﹣4﹣
【分析】（1）根据二次根式的乘除法可以解答本题；
（2）根据二次根式的除法和加减法可以解答本题；
（3）根据零指数幂、绝对值和二次根式的加减法可以解答本题；
（4）根据积的乘方和二次根式的加减法可以解答本题．
【解答】解：（1）9÷×
＝
＝
＝54；
（2）﹣2﹣2÷2﹣2+﹣1﹣（﹣1）0
＝3﹣1+﹣1﹣1
＝4﹣3；
（3）（π﹣1）0+（）﹣1+|5﹣|﹣
＝1++3﹣5﹣8
＝﹣12+；
（4）（2+3）2011（2﹣3）2012﹣4﹣
＝[（2+3）（2﹣3）]2011×（2﹣3）﹣﹣（﹣1）
＝（8﹣9）2011×（2﹣3）﹣﹣+1
＝（﹣1）2011×（2﹣3）﹣﹣+1
＝﹣（2﹣3）﹣﹣+1
＝﹣2+3﹣﹣+1
＝﹣4+4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
10．计算：
（1）（﹣1）2018+
（2）
【分析】（1）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式计算可得；
（2）根据二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式计算可得．
【解答】解：（1）原式＝1+3﹣+4﹣3
＝4﹣3+1
＝2；
（2）原式＝4﹣2+3﹣4+
＝2﹣1+2
＝4﹣1．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
11．已知x＝，y＝，求：（1）x2y﹣xy2的值；（2）x2﹣xy+y2的值．
【分析】先将x和y的值分母有理化后，计算xy和x+y的值，再分别代入（1）和（2）问代入计算即可．
【解答】解：∵x＝＝＝3+2，y＝＝＝3﹣2，
∴xy＝＝1，x+y＝3+2+3﹣2＝6，
∴（1）x2y﹣xy2，
＝xy（x﹣y），
＝1×，
＝4；
（2）x2﹣xy+y2，
＝（x+y）2﹣3xy，
＝62﹣3×1，
＝36﹣3，
＝33．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简求值，在解答时应先化简x和y的值，并利用提公因式法和完全平方公式将所求式子进行变形是关键．
12．先化简，再求值：a+，其中a＝1007．
如图是小亮和小芳的解答过程．
（1）　小亮　的解法是错误的；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　＝﹣a（a＜0）　；
（3）先化简，再求值：a+2，其中a＝﹣2007．
【分析】（1）由a＝1007知1﹣a＝﹣1006＜0，从而由＝|1﹣a|＝a﹣1可得答案；
（2）根据二次根式的性质＝|a|可得答案；
（3）先根据二次根式的性质化简原式，再代入计算可得．
【解答】解：（1）小亮的解法是错误的，
故答案为：小亮；
（2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质＝﹣a（a＜0），
故答案为：＝﹣a（a＜0）；
（3）∵a＝﹣2007，
∴a﹣3＝﹣2010＜0，
则原式＝a+2
＝a+2|a﹣3|
＝a﹣2（a﹣3）
＝a﹣2a+6
＝﹣a+6
＝2007+6
＝2013．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质＝|a|．
13．已知：2a+b+5＝4（+），先化简再求值﹣
【分析】由已知等式得出（﹣2）2+（﹣2）2＝0，由非负数的性质得出a，b的值，再代入计算可得．
【解答】解：2a+b+5＝4（+），
2a﹣2﹣4+4+b﹣1﹣4+4＝0，
则（﹣2）2+（﹣2）2＝0，
∴＝2，＝2，
解得：a＝3，b＝5，
原式＝﹣
＝﹣
＝
＝，
当a＝3，b＝5时，
原式＝．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及非负数的性质．
14．在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
【解答】解：（1）4+2＝3+2+1
＝（）2+2×+12
＝（+1）2；
6+4
＝4+4+2
＝22+2×2×+（）2
＝（2+）2；
（2）∵a+4＝（m+n）2，
∴a+4＝m2+2mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，2mn＝4，
∴mn＝2，
∵m，n都是正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；
即a的值是7或13．
【点评】本题考查了完全平方公式和求代数式的值、二次根式的混合运算，能熟记完全平方公式是解此题的关键，还培养了学生的阅读能力和计算能力．
15．计算题
（1）2÷×﹣
（2）先化简，再求值．（6x+）﹣（4x+），其中x＝，y＝27．
【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．
【解答】解：（1）原式＝2×2×﹣
＝2×﹣
＝﹣
＝0；
（2）原式＝6x+﹣4x﹣
＝6+3﹣﹣6
＝（3﹣）
＝，
当x＝，y＝27时，原式＝＝．
【点评】本题主要考查了二次根式的化简计算，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
16．阅读材料：
小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2＝（1+）2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a+b＝（m+n）2（其中a、b、m、n均为正整数），则有a+b＝m2+2n2+2mn，∴a＝m2+2n2，b＝2mn．这样小明就找到了一种把部分a+b的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b＝（m+n）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a＝　m2+3n2　，b＝　2mn　；
（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：
　4　+　2　＝（　1　+　1　）2；
（3）化简：＝　3+　．
【分析】（1）模仿例题可以解决问题；
（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；（答案不唯一）
（3）根据14+6＝（3+）2，即可解决问题；
【解答】解：（1）∵a+b＝（m+n）2，
∵a+b＝m2+2mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn．
故答案为m2+3n2，2mn．
（2）取m＝n＝1，可得a＝4，b＝2；
∴4+2＝（1+）2
故答案为：4，2，1，1；
（3）∵14+6＝（3+）2，
∴＝3+，
故答案为3+．
【点评】本题考查二次根式的性质与化简，完全平方公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：
反之，3﹣2∴3﹣2
∴﹣1
求：
（1）；
（2）；
（3）若，则m、n与a、b的关系是什么？并说明理由．
【分析】（1）将3拆分为2+1，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（2）将4拆分为3+1，再根据完全平方公式和二次根式化简即可求解；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
【解答】解：（1）
＝
＝+1；
（2）
＝
＝﹣1；
（3）m+n＝a，mn＝b．
理由：∵，
∴（+）2＝a+2，
∴m+n+2＝a+2，
∴m+n＝a，mn＝b．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
18．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
＝＝＝＝﹣1
这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
请参照以上方法化简：+++
【分析】先分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式＝+++
＝（3﹣+﹣+﹣+﹣1）
＝1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
19．计算下列各题：
（1）已知a，b为实数，且（b﹣1）＝0，求a2017﹣b2018的值．
（2）已知x+1＝，求（x﹣1）2+4（x﹣1）+4的值．
【分析】（1）根据（b﹣1）＝0和二次根式有意义的条件，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值；
（2）根据x的值和完全平方公式可以解答本题．
【解答】解：（1）∵a，b为实数，且（b﹣1）＝0，
∴+（1﹣b）＝0，
∴1+a＝0，1﹣b＝0，
解得，a＝﹣1，b＝1，
∴a2017﹣b2018
＝（﹣1）2017﹣12018
＝（﹣1）﹣1
＝﹣2；
（2）∵x+1＝，
∴（x﹣1）2+4（x﹣1）+4
＝[（x﹣1）+2]2
＝（x+1）2
＝（）2
＝2．
【点评】本题考查二次根式的化简求值、整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．
20．已知y＝++4，求的值．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵y＝++4，
∴x＝3，y＝4，
＝+
＝1+2
＝3．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x，y的值是解题关键．
21．（1）已知x＝+，y＝﹣，试求代数式2x2﹣5xy+2y2的值．
（2）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2﹣1，y＝2﹣．
【分析】（1）首先把代数式进行变形，然后再代入x、y的值，进而可得答案；
（2）首先把分式化简，先算括号里面的减法，再算括号外的除法，化简后，再代入x、y的值即可．
【解答】解：（1）2x2﹣5xy+2y2，
＝2（x2﹣2xy+y2）﹣xy，
＝2（x﹣y）2﹣xy，
当x＝+，y＝﹣时
原式＝，
＝2×20﹣（﹣2），
＝42；
（2）解：原式＝，
＝（﹣）?，
＝[]?，
＝?，
＝，
当x＝2﹣1，y＝时，原式＝．
【点评】此题主要考查了二次根式的化简求值，以及分式的混合计算，关键是正确把代数式和分式化简．
22．（1）已知x＝2+，y＝2﹣，求（+）（﹣）的值．
（2）若的整数部分为a，小数部分为b，写出a，b的值并计算﹣ab的值．
【分析】（1）将原式变形为，再根据x、y的值计算出y+x、y﹣x、xy的值，继而代入可得；
（2）由题意得出a、b的值，代入计算可得．
【解答】解：（1）原式＝﹣
＝
＝，
∵x＝2+，y＝2﹣，
∴x+y＝4、y﹣x＝﹣2、xy＝1，
则原式＝＝﹣8；
（2）∵2＜＜3，
∴a＝2、b＝﹣2，
∴﹣ab
＝﹣2（﹣2）
＝+2﹣2+4
＝6﹣．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式混合运算顺序和运算法则．
23．如果最简二次根式与是同类二次根式．
（1）求出a的值；
（2）若a≤x≤2a，化简：|x﹣2|+．
【分析】（1）根据最简二次根式以及同类二次根式的定义即可求出答案．
（2）根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
【解答】解：（1）由题意可知：4a﹣5＝13﹣2a
a＝3
（2）∵a＝3，
∴3≤x≤6
∴x﹣2≥1，x﹣6≤0
原式＝|x﹣2|+|x﹣6|
＝x﹣2﹣（x﹣6）
＝4
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用绝对值的性质以及二次根式的性质，本题属于基础题型．
24．已知非零实数a，b满足+|b﹣3|++4＝a，求ab﹣1的值
【分析】先根据二次根式的意义确定：（a﹣5）（b2+1）≥0，a≥5，由已知等式化简可得：|b﹣3|+＝0，由绝对值和二次根式的非负性列等式可得结论．
【解答】（本题满分10分）
解：由题意得：（a﹣5）（b2+1）≥0，a≥5 ………………………………………．（2分）
＝＝|a﹣4|………………………………（3分）
+|b﹣3|++4
＝a﹣4+|b﹣3|++4＝a，
∴|b﹣3|+＝0，……………（6分）
又因为|b﹣3|≥0，≥0，
故|b﹣3|＝＝0，………（8分）
则b＝3，a＝5，…………………………………（9分）
故ab﹣1＝52＝25 …………………………………………………………………………（10分）
【点评】本题考查了二次根式的性质和化简及非负数的性质，解题的关键是将所给的式子化为非负数的和为0的等式，然后利用非负性求出a、b的值，本题属于中等题型．
25．请认真阅读下列这道例题的解法，并完成后面两问的作答：
例：已知y＝+2018，求的值．
解：由，解得：x＝2017，∴y＝2018．
∴．
请继续完成下列两个问题：
（1）若x、y为实数，且y＞+2，化简：；
（2）若y?＝y+2，求的值．
【分析】根据题意给出的方法即可求出答案．
【解答】解：（1）由，
解得：x＝3，
∴y＞2．
∴；
（2）由：，
解得：x＝1．y＝﹣2．
∴．
【点评】本题考查考查二次根式的运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
26．小明在学习了二次根式后有了新发现：
发现（一）：在实数范畴内进行因式分解，如
发现（二）：一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，
善于思考的小明还进行了以下探索：设（其中a，b，m，n均为整数），则有，所以a＝m2+2n2，b＝2mn
（1）因式分解：x2﹣2＝　（x+）（x﹣）　．
（2）仿照小明发现（二）的探索方法解决下列问题：
①因式分解：＝　（1+）2　．
②若，且a，m，n均为正整数，直接写出a的值．
【分析】（1）根据平方差公式，可得答案；
（2）根据完全平方公式，可得答案．
【解答】解：（1）原式＝（x+）（x﹣），
故答案为：2（x+）（x﹣）；
（2）4+2＝（1+）2，
故答案为：（1+）2；
＝m2+3n2+2mn，
a＝m2+3n2．
【点评】本题考查了因式分解，利用公式法分解因式是解题关键．
27．已知正数m、n满足m+4﹣2﹣4+4n＝3，求值：．
【分析】由m+4﹣2﹣4+4n＝3得出（+2）2﹣2（+2）﹣3＝0，将+2看做整体可得+2＝﹣1（舍）或+2＝3，代入计算即可．
【解答】解：∵m+4﹣2﹣4+4n＝3，
∴（）2+4?（2）+（2）2﹣2（+2）﹣3＝0，
即（+2）2﹣2（+2）﹣3＝0，
则（+2+1）（+2﹣3）＝0，
∴+2＝﹣1（舍）或+2＝3，
∴原式＝＝．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．
28．先化简，再求值：（﹣），其中a＝17﹣12，b＝3+2
【分析】将原式利用二次根式的性质和运算法则化简为，由a＝17﹣12＝（3﹣2）2、b＝3+2＝（+1）2，代入计算可得．
【解答】解：原式＝（﹣）?
＝[﹣]?
＝?
＝，
∵a＝17﹣12＝32﹣2××（2）2＝（3﹣2）2，
b＝3+2＝（）2+2+1＝（+1）2，
∴原式＝＝＝＝．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和运算法则．
29．在进行二次根式的运算时，如遇到这样的式子，还需做进一步的化简：
＝＝＝＝﹣1．
还可以用以下方法化简：
＝＝＝＝﹣1．
这种化去分母中根号的运算叫分母有理化．
分别用上述两种方法化简：．
【分析】根据题中给出的例子把原式进行分母有理化即可．
【解答】解：＝＝＝＝+；
或：＝＝＝＝+．
【点评】本题考查的是分母有理化，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
30．阅读下列解题过程：＝＝﹣，＝＝﹣，请回答下列回题：
（1）观察上面的解答过程，请写出＝　﹣1　；＝　﹣　；
（2）利用上面的解法，请化简：+++…++．
【分析】（1）直接利用已知将各式分母有理化进而得出即可；
（2）利用已知首先将原式分母有理化，进而得出即可．
【解答】解：（1）＝＝﹣1；
＝＝﹣；
故答案为：﹣1；﹣；
（2）由已知可得：原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣
＝﹣1
＝9．
【点评】此题主要考查了分母有理化，正确根据规律化简各式是解题关键．
31．观察下列等式：
①＝＝；
②＝＝；
③＝＝
…回答下列问题：
（1）利用你观察到的规律，化简：
（2）计算：+++…+．
【分析】（1）根据观察，可发现规律；＝，根据规律，可得答案；
（2）根据二次根式的性质，分子分母都乘以分母两个数的差，可分母有理化．
【解答】解：（1）原式＝＝；
（2）原式＝+++…+
＝（﹣1）．
【点评】本题考查了分母有理化，分子分母都乘以分母两个数的差是分母有理化的关键．
32．阅读理解：
对于任意正整数a，b，∵（﹣）2≥0，∴a﹣2+b≥0，∴a+b≥2，只有当a＝b时，等号成立；结论：在a+b≥2 （a、b均为正实数）中，只有当a＝b时，a+b有最小值2．
根据上述内容，回答下列问题：
（1）若a+b＝9，≤　　；
（2）若m＞0，当m为何值时，m+有最小值，最小值是多少？
【分析】（1）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可；
（2）根据a+b≥2 （a、b均为正实数），进而得出即可．
【解答】解：（1）∵a+b≥2 （a、b均为正实数），
∴a+b＝9，则a+b≥2，即≤；
故答案为：；
（2）由（1）得：m+≥2，
即m+≥2，当m＝时，m＝1（负数舍去），
故m+有最小值，最小值是2．
【点评】此题主要考查了二次根式的应用，根据题意结合a+b≥2 （a、b均为正实数）求出是解题关键．
33．阅读下列解题过程：；请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，化简：①②
（2）利用上面提供的解法，请计算：．
【分析】（1）观察阅读材料的解题过程，实质是二次根式的分母有理化，因此解答（1）题的关键是找出分母的有理化因式．
（2）先将第一个括号内的各式分母有理化，此时发现除第一项和最后一项外，每两项都互为相反数，由此可求出第一个括号内各式的和，再求和第二个括号的乘积即可．
【解答】解：（1）①＝＝+3；
②＝＝；
（2）
＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）（+）
＝（﹣）（+）
＝n．
【点评】此题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减法，关键是寻找分母有理化后的抵消规律．
34．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
【解答】解：（1）
．
（2）原式＝
＝．
【点评】本题考查了分母有理化，平方差公式的应用，主要考查学生的计算和化简能力．
35．阅读下面材料，并解答后面的问题：
＝＝；
；
．
（1）观察上面的等式，请直接写出的结果　﹣　；
（2）计算（+）（）＝　1　，此时称与互为有理化因式；
（3）请利用上面的规律与解法计算：
．
【分析】（1）根据上面的材料直接写答案；
（2）利用平方差公式进行计算并填空；
（3）利用（1）中的规律进行计算．
【解答】解：（1）观察上面的等式可知：＝﹣；
故答案是：﹣；
（2）（+）（）＝（）2﹣（）2＝n+1﹣n＝1；
故答案是：1；
（3）由（1）知，原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣＝﹣1+＝﹣1+10＝9．
【点评】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．
36．阅读下面的解题过程，判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答．
已知m为实数，化简：
解：原式＝
＝．
【分析】根据二次根式的性质，m成立，则m为负数，由此可先判断已知解答是错误的，再化简解答即可．
【解答】解：不正确，
根据题意，m成立，则m为负数，
＝m+
＝m+
＝（m+1）．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质的灵活运用，关键是根据成立，则m为负数，要求熟练掌握负整数指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．
37．已知，求的值．
【分析】化简已知，得到与的关系，代入代数式求出其值．
【解答】解：∵，
∴x+2＝6+5y，
整理，得：x﹣4﹣5y＝0，
∴（+）（﹣5）＝0，
∴+＝0或﹣5＝0
当+＝0时，x＝y＝0，不合题意舍去．
当﹣5＝0时，即＝5，
∴x＝25y，＝5y
∴
＝
＝
＝．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是化简已知得到与的关系．
38．先化简，再求值：，其中a＝，b＝3+．
【分析】先根据二次根式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a分母有理化，继而将a，b的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝?[﹣]?
＝??
＝2，
当a＝＝＝＝3﹣，b＝3+时，
原式＝2
＝2×
＝2×
＝2×2
＝4．
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及平方差公式．
39．先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出的问题：设a，b是有理数，且满足a+b＝3﹣2，求ba的值．解：由题意得（a﹣3）+（b+2）＝0，因为a，b都是有理数，所以a﹣3，b+2也是有理数，由于是无理数，所以a﹣3＝0，b+2＝0，所以a＝3，b＝﹣2，所以ba＝（﹣2）3＝﹣8．
问题：设x，y都是有理数，且满足x2﹣2y+y＝8+4，求x+y的值．
【分析】根据题目中例题的方法，对所求式子进行变形，求出x、y的值，从而可以求得x+y的值．
【解答】解：∵x2﹣2y+y＝8+4，
∴（x2﹣2y﹣8）+（y﹣4）＝0，
∴x2﹣2y﹣8＝0，y﹣4＝0，
解得，x＝±4，y＝4，
当x＝4，y＝4时，x+y＝4+4＝8，
当x＝﹣4，y＝4时，x+y＝（﹣4）+4＝0，
即x+y的值是8或0．
【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是明确题目中例题的解答方法，然后运用类比的思想解答所求式子的值．
40．阅读下列材料，然后回答问题：
在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：＝＝；＝＝＝﹣1．
以上这种化简过程叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：＝＝＝＝﹣1．
请任用其中一种方法化简：①；②．
【分析】①根据平方差公式分母有理化即可求解；
②把分子5变为12﹣7，再根据平方差公式分解因式，再约分计算即可求解．
【解答】解：①
＝
＝；
②
＝
＝
＝2﹣．
【点评】本题主要考查了分母有理化，解题的关键是找准有理化因式．
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日期：2019/3/3 8:59:43；用户：zhrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261