2.2.4 一元二次方程的解法（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第2章2.2一元二次方程的解法
第4课时 一元二次方程的解法（4）
【知识清单】
一、公式法?
公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法.?
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)?的求根公式：(b24ac≥0).
二、使用求根公式的条件：求根公式是专门用来解一元二次方程的.
1.把方程化成一般形式；2.要求a≠0； 3. b24ac≥0因为开平方运算时，被开方数必须是非负数；即求根公式使用的前提条件是a≠0且b24ac≥0.
三、判别式与一元二次方程的根的关系：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况由代数式b24ac的值来决定，因此b24ac叫做一元二次方程的根的判别式，判别式的值与一元二次方程的根的关系是：
1. b24ac>0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
2. b24ac=0 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
3. b24ac<0 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.
【经典例题】
例题1、已知关于x的一元二次方程(m+2)2x2＋(2m＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是( )
A．m　　 B．m C．m且m≠2　 D．m且m≠2[来
【考点】一元二次方程根的判别式．
【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：
（1）二次项系数不为零；
（2）在有不相等的实数根下必须满足△=b24ac＞0．
【解答】根据题意得出不等式组
，
解之得m且m≠2．
故选C．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数m+2≠0这一隐含条件．
例题2、已知整数k>8，若△ABC的边长均满足关于x的方程x23x+3k7=0，则△ABC的周长是______．
【考点】根的判别式；解一元二次方程——因式分解法；三角形三边关系．
【分析】根据题意得(3)24×(3k7)≥0，而整数k>8，则k=9，方程变形为x29x+20=0，解得x1=4，x2=5，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x29x+20=0，
所以△ABC的边长可以为4、4、4或5、5、5或4、4、5或5、5、4，然后分别计算三角形周长．
【解答】根据题意得(3)24×(3k7)≥0，，
解得k≤，
∵整数k>8，
∴k=9，
∴方程变形为x29x+20=0，解得x1=4，x2=5，
∵△ABC的边长均满足关于x的方程x29x+20=0，
∴△ABC的边长为4、4、4或5、5、5或4、4、5或5、5、4．
∴△ABC的周长为12或13或14或15．
故答案为：12或13或14或15．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b24ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边的关系．
【夯实基础】
1、用公式法解方程3x2=4x＋5，则a，b，c的值依次是( )
A．3，4，5 B．3，4，5 C．3，4，5 D．3，4，5
2、用公式法解方程5x26=7x，下列代入公式正确的是( )
A．x= B．x=
C．x= D．x=
3、不解方程判断下列方程中无实数根的是( )
A、x2=2x1 B、4x2+4x+=0 C、 D、(x+2)(x3)=5
4、若关于x的一元二次方程2x24x+kb+2=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）

5、（1）一元二次方程3kx2(2k＋3)x5=0的根的判别式为9，则k的值为_______________．
（2）关于x的一元二次方程2(m+1)x24x＋m1=0有两个相等的实数根，则m的值为____．
6、能使成立的k值为　 　．
7、用公式法解下列方程：
(1)3x22x5=0.
　
(2)2x2－5x+3=0.
(3)y(4y+6)=1.

(4)(6x+17)( x4)+65=0.
8、已知关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0的一个解是3，另一个解是正数，而且也是方程(2x3)219=6x的解，你能求出m和n的值吗?
【提优特训】
9、m，n，p为常数，且(mp)2＞m2+p2，则关于x的方程mx2+nx+p=0根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．有一根为0
10、若a满足不等式组，则关于x的方程(a5)x2(2a3)x＋a＋1=0的根的情况是( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能
11、如果关于x的一元二次方程2kx2x6=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是( )
A．k> B．k>且k≠0 C．k D．k且k≠0
12、如果关于x的方程3ax2ax+1=0有两个相等实数根，那么它的根是x1=　　，x2=　　．
13、已知方程ax2+bx+c=0(a≠0)，请你写出一个使得c=2，且b24ac=2的一元二次方程为_______.
14、已知a，b，c是△ABC的三边长，且方程(cb)x2＋2(ba)x＋ab=0有两个相等的实数根，则这个三角形是_______.
15、已知关于x的方程x22(m＋2)x＋(5m2＋27n2＋18mn＋8)=0有实数根，求m、n的值.
16、已知关于x的一元二次方程x2(k＋2)x＋3k3=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于2，求k的取值范围．

17、阅读理解题．
阅读材料：为解方程，我们可以将x22视为一个整体，然后设x22=y，则(x22)2=y2，原方程化为y26y+8=0；
解得y1=2，y2=4，
当y1=2时，x22=2，∴x2=4，∴x=±2；
当y2=4时，x22=4，∴x2=6，∴x=±；
原方程的解为x1=2，x2=2，x3=，x4=.
在这个题的解题的过程中，为了达到了降次的目的，使用了“换元法”，体现了“转化”的数学思想．
解答问题：
（1）解方程x4x212=0；
（2）；
（3）.
18、设a、b、c是△ABC的三条边，关于x的方程有两个相等的实数根.
（1）求证:△ABC为等腰三角形；
（2）若a，b为方程x2+2mx6m=0的两根，求m的值；
（3）试说明关于x的一元二次方程必有实数根.
【中考链接】
19、(2018?包头)已知关于x的一元二次方程x2+2x+m2=0有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数m的和为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
20、(2018?泰安)一元二次方程（x+1）（x3）=2x5根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
21、(2018?湘潭)若一元二次方程x22x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围
是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
22、(2018?绵阳)已知a>b>0，且，则= ．
参考答案
1、C 2、B 3、B 4、D 5、(1) 18，(2) 6、，5，2 9、B 10、C 11、B
12、x1=，x2= 13、 14、等腰三角形 19、B 20、D， 21、D 22、
7、用公式法解下列方程：
解(1)3x22x5=0.
　 ∵a=3，b=2，c=5，
∴b2－4ac=64，
∴x==，
∴x1=，x2=1.
(2)2x2－5x+3=0.
∵a=2，b=5，c=3，
∴b24ac=1，
∴x==，
∴x1=，x2=1.
(3)y(4y+6)=1.
4y2＋6y+1=0.
∵a=4，b=6，c=1，
∴b24ac=20，
∴y==，
∴y1=，y2=.
(4)(6x+17)( x4)+65=0.
6x27x3=0.
∵a=6，b=7，c=3，
∴b2－4ac=12，
∴y==，
∴x1=，x2=.
8、已知关于x的一元二次方程2x2+mx+n=0的一个解是3，另一个解是正数，而且也是方程(2x3)219=6x的解，你能求出m和n的值吗?
解：解方程(2x3)219=6x，
4x212x+9196x=0
4x218x10=0，即2x29x5=0，
(x5)(2x+1)=0
∴x1=5，x2=，
所以方程x2+mx+n=0的另一个根是5，
把3和5代入方程x2+mx+n=0，
得：
解得：m=16，n=30．
15、已知关于x的方程x22(m＋2)x＋(5m2＋27n2＋18mn＋8)=0有实数根，求m、n的值.
【解】　∵关于x的方程x22(m＋2)x＋(5m2＋27n2＋18mn＋8)=0有实数根，
∴△=4(m+2)24(5m2＋27n2＋18mn＋8)
=4(m2+4m+45m218mn27n28)
=4[(m2)2＋3(m+3n)2]≥0，
∴(m2)2＋3(m+3n)2≤0.
∵(m2)2＋3(m+3n)2≥0，
∴(m2)2＋3(m+3n)2=0，
∴m2=0，m+3n=0，
∴m=2，n=.
16、已知关于x的一元二次方程x2(k＋2)x＋3k3=0.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根小于2，求k的取值范围．
解：(1)∵在方程x2－(k＋2)x＋3k3=0中，
[(k＋2)]24×1×(3k+3)=k28k＋16=(k－4)2≥0，
∴方程总有两个实数根；
(2)∵x2(k+2)x＋3k3=(x3)(xk+1)=0，
∴x1=3，x2=k1.
∵方程有一根小于2，
∴k1<2，解得k<3，
∴k的取值范围为k<3.
17、阅读理解题．
阅读材料：为解方程，我们可以将x22视为一个整体，然后设x22=y，则(x22)2=y2，原方程化为y26y+8=0；
解得y1=2，y2=4，
当y1=2时，x22=2，∴x2=4，∴x=±2；
当y2=4时，x22=4，∴x2=6，∴x=±；
原方程的解为x1=2，x2=2，x3=，x4=.
在这个题的解题的过程中，为了达到了降次的目的，使用了“换元法”，体现了“转化”的数学思想．
解答问题：
（1）解方程x4x212=0；
（2）；
（3）.
解：（1）解方程x4x212=0
设x2=y，原方程化为y2y12=0
解得y1=4，y2=3(不合题意，舍去)
当y=4时，x2=4， ∴x=±2.
原方程的解为x1=2，x2=2.
（2）；
设y22y=a，原方程化为，整理得a25a+6=0.
解得a1=2，a2=3，
当a1=2时，y22y=2，∴y22y2=0，∴y=1±；
当a2=3时，y22y=3，∴y22y3=0，∴y=1±2；
原方程的解为x1=1+，x2=1，x3=3，x4=1.
（3）.
设=y，原方程化为y22y3=0.
解得y1=3，y2=1(不合题意，舍去)
当y=3时，=3， ∴x28x9=0，
∴原方程的解为x1=9，x2=1.
18、设a、b、c是△ABC的三条边，关于x的方程有两个相等的实数根.
（1）求证:△ABC为等腰三角形；
（2）若a，b为方程x2+2mx6m=0的两根，求m的值；
（3）试说明关于x的一元二次方程必有实数根.
18（1）证明:方程有两个相等的实根，
∴△=0，即△=()24 (a+b) (ab)=0，
整理，得(ab)(cab)=0，
∵cab≠0，∴则ab=0，a=b，
故△ABC为等腰三角形.
（2）解:∵a、b相等，
∴x2+mx3m=0有两个相等的实根，
∴△=0，∴△=8m2+4×1×6m=0，
即m1=0，m2=3.
∵a、b为正数，∴m1=0(不合题意，舍去),
故m=3.
（3）证明：根据题意，得
△=()24ab=2(a2+b2)4ab
=2(ab)2≥0
∴关于x的一元二次方程必有实数根.