第二章 一元二次方程解答题精选

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第二章一元二次方程解答题精选
题号
一
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得 分


解答题（共40小题）
1．解方程．
（1）（x﹣1）2﹣4＝0
（2）x2﹣2x﹣2＝0
（3）x2﹣6x+9＝0
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1﹣x1x2＝x12+x22，求m的值．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．
5．（1）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）用配方法解方程：x2﹣10x+22＝0
6．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
7．关于x的方程mx2﹣x﹣m+1＝0，有以下三个结论：
①当m＝0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；
③无论m取何值，方程都有一个整数根．
（1）请你判断，这三个结论中正确的有　 　（填序号）
（2）证明（1）中你认为正确的结论．
8．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝4时，求方程的根．
9．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．
10．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：
x2﹣2x＝﹣1　　　　　　　　　　　　（第一步）
x2﹣2x+1＝﹣1+1　　　　　　　　　（第二步）
（x﹣1）2＝0　　　　　　　　　　　（第三步）
x1＝x2＝1　　　　　　　　　　　 （第四步）
（1）小明解答过程是从第　 　步开始出错的，其错误原因是　 　；
（2）请写出此题正确的解答过程．
11．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．
13．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，求此等腰三角形的周长．
14．已知a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），求a+b的值．
15．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝2m﹣1有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x12+x22﹣x1?x2的最小值．
16．（1）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，是否存在m使x12+x22＝0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝7，试求出方程的两个实数根和k的值．
18．阅读下列材料，然后回答问题
先阅读下列第（1）题的解答过程，再解第（2）、（3）题
（1）已知实数m、n满足m2＝1﹣m，n2＝1﹣n，且m≠n，求+的值．
解：由已知得：m2+m﹣1＝0，n2+n﹣1＝0，且m≠n，故m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个不相等的实数根由根与系数的关系得：m+n＝﹣1，mn＝﹣1．
∴+＝＝＝＝﹣3
（2）已知a2＝5a﹣2，且a、b为实数
①若b2＝5b﹣2，且a≠b，则a+b＝　 　，ab＝　 　；
②若2b2＝5b﹣1，且ab≠1，则a+＝　 　；
（3）已知实数s、t满足s2﹣s﹣3＝0，t2﹣t﹣3＝0，求+的值．
19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．
20．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0
∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
解答问题：（1）已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
（2）解方程：x4﹣6x2+8＝0
21．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5000万元，2018年投入教育经费7200万元．
（1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2019年该地区投入教育经费为　 　万元．
22．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
23．水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售．
（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是　 　斤（用含x的代数式表示，需要化简）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？
24．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套，设销售单价为x（120＞x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元，此月共盈利多少元．
25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
26．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　 　件，每件商品，盈利　 　元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
27．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
28．因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验；若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗
（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了维护城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？
29．经市场调研发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．在每件降价幅度不超过18元的情况下，若每件童装降价1元，则每天可多售出2件，设降价x元．
（1）降价x元后，每件童装盈利是　 　元，每天销售量是　 　件；
（2）要想每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（3）每天能盈利1800元吗？如果能，每件童装应降价多少元？如果不能，请说明理由．
30．我市某地区大力发展乡村旅游，计划分两期利用当地的闲置土地种植花木和修建鱼塘．
（1）第一期预计种植花木和修建鱼塘共计60亩，种植花木的土地面积不低于修建鱼塘的土地面积的5倍，那么种植花木的土地面积最少为多少亩？
（2）第一期按计划完成后，共投入了150万元，种植花木的土地面积刚好是计划的最小值，并且种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用之比为2：5．按计划，第二期将在第一期的基础上扩大规模，投入资金将在第一期的基础上增加4a%，经测算，第二期种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用将在第一期的基础上分别增加2a%，3a%，种植花木和修建鱼塘的土地面积将在第一期的基础上分别增加a%，2a%．求a的值．
31．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若n＝x12+x22﹣9，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（﹣1，4），并说明理由．
32．【问题背景】解方程：x4﹣5x2+4＝0．
分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程“降次”，进而解得未知数的值．
解：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y1＝1时，x2＝1，x＝±1；当y2＝4时，x2＝4，x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
【触类旁通】参照例题解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0；
【解决问题】已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值；
【拓展迁移】分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　 　．
33．已知：方程组有两组不同的实数解，．
（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使＝2？若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由．
34．阅读材料，用配方法求最值．
已知a，b为非负实数，∵a+b﹣2＝（）2+（）2﹣2?＝（﹣）2≥0，∴a+b≥2，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y＝x++1的最小值；
解：y＝（x+）+1≥2+1＝5，当x＝，即x＝2时，y的最小值为5．
（1）探究：当x＞0时，求y＝的最小值；
（2）问题解决：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用＝所有费用÷年数n）？最少年平均费用为多少万元？
35．如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ．
（1）点P到点C时，t＝　 　；当点Q到终点时，PC的长度为　 　；
（2）用含t的代数式表示PD的长；
（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．
36．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．
（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离　 　cm．（用含t的代数式表示）
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
37．最近由于网络视频的兴起，让重庆一度成为“网红”城市，并且使得到山城重庆的游客剧增，根据国家旅游统计局的官方统计，2017年，来重庆旅游的人数达到5.42亿人次，并且根据今年2018年的前三个月的统计，对比去年同期都是高速增长．
（1）某旅游公司2018年3月共接待国内外游客共3000人次，其中国外游客不足国内游客的，则国内游客至少有多少人？
（2）该旅游公司根据游客的需求推出了“快速游”和“精品游”两种套餐，两种套餐的3月份价格分别为：800元/人和2000元/人，公司为了接纳更多的游客，提升口碑，4月份“快速游”套餐价格比3月下降了2a%，4月份“精品游”套餐价格比3月下降了10%，月末统计：4月旅游总人数达4500人次，其中“精品游”套餐人次占总人次的，总收入达：391.5万元，求a的值．
38．方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”﹣﹣化未知为已知，利用“转化”，我们还可以解一些新的方程．
认识新方程：
像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以将方程两边平方转化为整式方程2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，应舍去，所以原方程的解是x＝3．
解下列方程：
（1）x+＝5；
（2）﹣＝2．
39．阅读下面的例题：
例：解方程x2﹣2|x|﹣3＝0
解：（1）当x≥0时，原方程可化为x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝3
（2）当x＜0时，原方程可化为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝﹣3．
综上所述，原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3．
解答问题：
（1）如果我们将原方程化为|x|2﹣2|x|﹣3＝0求解可以吗？请你大胆试一下写出求解过程．
（2）依照题目给出的例题解法，解方程x2+2|x﹣2|﹣4＝0
40．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为　 　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？

参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．解方程．
（1）（x﹣1）2﹣4＝0
（2）x2﹣2x﹣2＝0
（3）x2﹣6x+9＝0
【分析】（1）移项后开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；
（3）先分解因式，再开方，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣4＝0
（x﹣1）2＝4，
x﹣1＝±2，
x1＝﹣1，x2＝3；
（2）x2﹣2x﹣2＝0，
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）＝12，
x＝，
x1＝1+，x2＝1﹣；
（3）x2﹣6x+9＝0，
（x﹣3）2＝0，
x﹣3＝0，
即x1＝x2＝3．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根是负数，求m的取值范围．
【分析】（1）计算方程根的判别式，判断其符号即可；
（2）求方程两根，结合条件则可求得m的取值范围．
【解答】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（m+1）x+3m﹣6＝0，
∴△＝[﹣（m+1）]2﹣4（3m﹣6）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：由求根公式可求得x＝3或x＝m﹣2，
若方程有一个根为负数，则m﹣2＜0，解得m＜2．
综上可知，若方程有一个根是负数，m的取值范围为m＜2．
【点评】本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．
3．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0
（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？
（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；
（3）设x1，x2是这个方程的两个实数根，且1﹣x1x2＝x12+x22，求m的值．
【分析】（1）根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；
（3）根据根与系数的关系得出x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1，变形后代入，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵△＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＝﹣4m+8＞0，
∴m＜2时，方程有两个不相等的实数根；
（2）∵设x1，x2是这个方程的两个实根，则x1＞0，x2＞0，
∴x1x2＝m﹣1＞0，
∴m＞1；
（3）∵x1+x2＝2，x1x2＝m﹣1，，
∴1﹣m+1＝22﹣2（m﹣1），
∴m＝4．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
4．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m2﹣m＝0有两个相等的实数根，求m的值．
【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4×1×（m2﹣m）＝0，然后解一元二次方程即可．
【解答】解：根据题意知，△＝（﹣2）2﹣4×1×（m2﹣m）＝0，
整理，得：m2﹣m﹣1＝0，
解得：m＝，
即m1＝，m2＝．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
5．（1）解方程：x（x﹣2）+x﹣2＝0；
（2）用配方法解方程：x2﹣10x+22＝0
【分析】（1）方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
（2）利用配方法的步骤求解可得．
【解答】解：（1）∵x（x﹣2）+x﹣2＝0，
∴（x﹣2）（x+1）＝0，
则x﹣2＝0或x+1＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1；
（2）∵x2﹣10x+22＝0，
∴x2﹣10x+25﹣3＝0，
则x2﹣10x+25＝3，即（x﹣5）2＝3，
∴x﹣5＝±，
∴x＝5±，
即x1＝5+，x2＝5﹣．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法和配方法，熟练掌握因式分解和配方的方法是解本题的关键．
6．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若k为负整数，求此时方程的根．
【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根知△＞0，据此列出关于k的不等式，解之可得；
（2）由所得k的范围，结合k为负整数得出k的值，代入方程，再利用因式分解法求解可得．
【解答】解：（1）由题意知，△＞0，
则（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）∵k为负整数，
∴k＝﹣1，
则方程为x2﹣x＝0，
解得：x1＝1，x2＝0．
【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）根据方程的系数结合根的判别式，找出△＝4k+5＞0；（2）将k＝﹣1代入原方程，利用因式分解法解方程．
7．关于x的方程mx2﹣x﹣m+1＝0，有以下三个结论：
①当m＝0时，方程只有一个实数解；
②当m≠0时，方程有两个不相等的实数解；
③无论m取何值，方程都有一个整数根．
（1）请你判断，这三个结论中正确的有　①③　（填序号）
（2）证明（1）中你认为正确的结论．
【分析】根据根的判别式逐个判断即可．
【解答】解：（1）这三个结论中正确的有①③，
故答案为：①③；
（2）证明①：∵当m＝0时，方程为﹣x+1＝0，得x＝1，
∴方程只有一个实数解；
证明②：∵当m≠0时，方程为一元二次方程
∴△＝1﹣4m（﹣m+1）＝1+4m2﹣4m＝（2m﹣1）2≥0，
∴，
又∵当m＝0时，方程解为x＝1
∴无论m取何值，方程都有一个整数根x＝1，
即②错误，③正确．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能灵活运用根的判别式进行求解是解此题的关键．
8．关于x的一元二次方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝4时，求方程的根．
【分析】（1）根据判别式的意义得到△＝（﹣3）2+4k＞0，然后解不等式即可；
（2）将k＝4代入方程，因式分解法求出方程的根即可．
【解答】解：（1）∵方程x2﹣3x﹣k＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣k）＞0，
解得：k＞﹣；
（2）将k＝4代入方程，得：x2﹣3x﹣4＝0，
则（x+1）（x﹣4）＝0，
∴x+1＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣1．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．
9．已知关于x的方程x2﹣（m+1）x+2（m﹣1）＝0
（1）求证：无论m取何值时，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形一边长为4，另两边恰好是此方程的根，求此三角形的另两边长．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝（m﹣3）2≥0，由此即可证出：无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）分腰长为4和底边长度为4两种情况分别求解可得．
【解答】解：（1）证明：∵△＝[﹣（m+1）]2﹣4×2（m﹣1）＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2≥0，
∴无论m取何值，这个方程总有实数根；
（2）若腰长为4，将x＝4代入原方程，得：16﹣4（m+1）+2（m﹣1）＝0，
解得：m＝5，
∴原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
组成三角形的三边长度为2、4、4；
若底边长为4，则此方程有两个相等实数根，
∴△＝0，即m＝3，
此时方程为x2﹣4x+4＝0，
解得：x1＝x2＝2，
由于2+2＝4，不能构成三角形，舍去；
所以三角形另外两边长度为4和2．
【点评】本题考查了根的判别式、三角形三边关系、等腰三角形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）代入x＝4求出m值．
10．小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下：
x2﹣2x＝﹣1　　　　　　　　　　　　（第一步）
x2﹣2x+1＝﹣1+1　　　　　　　　　（第二步）
（x﹣1）2＝0　　　　　　　　　　　（第三步）
x1＝x2＝1　　　　　　　　　　　 （第四步）
（1）小明解答过程是从第　一　步开始出错的，其错误原因是　不符合等式的性质1　；
（2）请写出此题正确的解答过程．
【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可；
（2）先把方程两边加上1，再把方程两边加上1，利用完全平方公式得到（x﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程．
【解答】解：（1）小明解答过程是从第一步开始出错的，因为把方程两边都加上1时，方程右边为1．
故答案为一；不符合等式性质1；
（1）x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，
（x﹣1）2＝2，
x﹣1＝±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
11．已知关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2＝0
（1）当m取何值时，方程有两个实数根；
（2）为m选取一个适合的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个实数根．
【分析】（1）根据根的判别式△＝0时，方程有两个相等的实数根求m的值即可；
（2）根据根的判别式△＞0时，方程有两个不相等的实数根列出不等式，求m的取值范围，再得出整数m的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴△＝0，
即4（m+1）2﹣4m2＝0，
∴m＝﹣；
（2）∵方程有两个不相等实数根，
∴△＞0，
即4（m+1）2﹣4m2＞0，
∴m＞﹣；
令m＝0，代入方程得x2﹣2x＝0
∴x1＝0，x2＝2．
【点评】本题考查了根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式大于0，方程有两个不相等的实数根是解题的关键．
12．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0
（1）若x＝﹣1是方程的一个根，求m的值及另一个根．
（2）当m为何值时方程有两个不同的实数根．
【分析】（1）将x＝﹣1代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出方程的另一个根；
（2）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）将x＝﹣1代入原方程得m﹣1+1﹣2＝0，
解得：m＝2．
当m＝2时，原方程为x2﹣x﹣2＝0，即（x+1）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝2，
∴方程的另一个根为2．
（2）∵方程（m﹣1）x2﹣x﹣2＝0有两个不同的实数根，
∴，
解得：m＞且m≠1，
∴当m＞且m≠1时，方程有两个不同的实数根．
【点评】本题考查了根的判别式以及根的判别式，解题的关键是：（1）带入x＝﹣1求出m值；（2）根据二次项系数非零及根的判别式△＞0，找出关于m的一元一次不等式组．
13．已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两条边长，求此等腰三角形的周长．
【分析】将x＝2代入方程找出关于m的一元一次方程，解一元一次方程即可得出m的值，将m的值代入原方程解方程找出方程的解，再根据等腰三角形的性质结合三角形的三边关系即可得出三角形的三条边，根据三角形的周长公式即可得出结论．
【解答】解：将x＝2代入方程，得：4﹣4m+3m＝0，
解得：m＝4．
当m＝4时，原方程为x2﹣8x+12＝（x﹣2）（x﹣6）＝0，
解得：x1＝2，x2＝6，
∵2+2＝4＜6，
∴此等腰三角形的三边为6、6、2，
∴此等腰三角形的周长C＝6+6+2＝14．
【点评】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出三角形的三条边长是解题的关键．
14．已知a≠b，且满足（a+1）2＝3﹣3（a+1），（b+1）2＝3﹣3（b+1），求a+b的值．
【分析】根据（a+1）2＝3﹣3（a+1），3（b+1）＝3﹣（b+1）2，把a、b可看成是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，然后根据根与系数的关系进行求解．
【解答】解：由题意得：（a+1）2+3（a+1）﹣3＝0，（b+1）2+3（b+1）﹣3＝0，
∴a、b是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根，
整理此方程，得x2+5x+1＝0，
∵△＝25﹣4＞0，
∴a+b＝﹣5，ab＝1．
故a、b均为负数．
因此a+b＝﹣a?﹣b?＝﹣（+）＝﹣＝﹣＝﹣[（﹣5）2﹣2]＝﹣23．
【点评】本题考查了根与系数的关系，属于基础题，关键是根据已知条件把a、b看成是关于x的方程（x+1）2+3（x+1）﹣3＝0的两个根．
15．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2+6x＝2m﹣1有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x12+x22﹣x1?x2的最小值．
【分析】（1）由根的判别式△≥0来求实数m的取值范围；
（2）由根与系数的关系得出x1+x2＝2m﹣6，x1?x2＝m2﹣2m+1，代入得x12+x22﹣x1?x2＝（x1+x2）2﹣3x1?x2＝（m﹣9）2﹣48，再利用二次函数的性质求解可得．
【解答】解：（1）由（x﹣m）2+6x＝2m﹣1，得 x2+（6﹣2m）x+m2﹣2m+1＝0．
∴△＝b2﹣4ac＝（6﹣2m）2﹣4×1×（m2﹣2m+1）＝﹣16m+32，
∵方程有实数根，
∴﹣16m+32≥0．
解得：m≤2．
∴m的取值范围是m≤2．
（2）∵方程的两实根分别为x1与x2，
由根与系数的关系，得：x1+x2＝2m﹣6，x1?x2＝m2﹣2m+1，
∴x12+x22﹣x1?x2
＝（x1+x2）2﹣3x1?x2
＝（2m﹣6）2﹣3（m2﹣2m+1）
＝m2﹣18m+33
＝（m﹣9）2﹣48，
∵m≤2，且当m＜9时，（m﹣9）2﹣48的值随m的增大而减小，
∴当m＝2时，x12+x22﹣x1?x2的值最小，最小值为（2﹣9）2﹣48＝1．
∴x12+x22﹣x1?x2的最小值是1．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根的判别式、根与系数的关系及二次函数的性质等知识点．
16．（1）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，是否存在m使x12+x22＝0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据根的判别式和得出△＝22﹣4×1×2m＝4﹣8m＞0，求出不等式的解集即可；
（2）根据根与系数的关系得出x1+x2＝﹣2，x1?x2＝2m，把x12+x22＝0进行变形，再代入求出，再判断即可．
【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，
∴△＝22﹣4×1×2m＝4﹣8m＞0，
解得：m；
（2）不存在，
理由是：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2，x1?x2＝2m，
x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝0，
（﹣2）2﹣2?2m＝0，
解得：m＝1，
当m＝1时，△＝22﹣4×1×2×1＜0，此时方程无解，
即不存在m使x12+x22＝0．
【点评】本题考查了根的判别式和根与系数的关系，能熟记知识点的内容是解此题的关键．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣k2＝0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x1+2x2＝7，试求出方程的两个实数根和k的值．
【分析】（1）要证明方程有两个不相等的实数根，只要证明判别式△＝b2﹣4ac的值大于0即可；
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系可以得到两根的和是8，结合x1+2x2＝7即可求得方程的两个实根，进而可求k的值．
【解答】解：（1）∵b2﹣4ac＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣k2）＝64+4k2＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）∵x1+x2＝8，
又∵x1+2x2＝7，
解得，
将x2＝﹣1代入原方程得：（﹣1）2﹣8×（﹣1）﹣k2＝0，
解得k＝±3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了根的判别式．
18．阅读下列材料，然后回答问题
先阅读下列第（1）题的解答过程，再解第（2）、（3）题
（1）已知实数m、n满足m2＝1﹣m，n2＝1﹣n，且m≠n，求+的值．
解：由已知得：m2+m﹣1＝0，n2+n﹣1＝0，且m≠n，故m、n是方程x2+x﹣1＝0的两个不相等的实数根由根与系数的关系得：m+n＝﹣1，mn＝﹣1．
∴+＝＝＝＝﹣3
（2）已知a2＝5a﹣2，且a、b为实数
①若b2＝5b﹣2，且a≠b，则a+b＝　5　，ab＝　2　；
②若2b2＝5b﹣1，且ab≠1，则a+＝　5　；
（3）已知实数s、t满足s2﹣s﹣3＝0，t2﹣t﹣3＝0，求+的值．
【分析】（1）①由a2＝5a﹣2，b2＝5b﹣2且a≠b知a与b是方程x2＝5x﹣2，即x2﹣5x+2＝0的两根实数根，由韦达定理可得；
②将2b2＝5b﹣1变形为（）2﹣5×+2＝0，可得a与是方程x2﹣5x+2＝0的两根实数根，根据韦达定理可得；
（2）由题意得出s与t是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，根据韦达定理知s+t＝1，st＝﹣3，代入到+＝＝计算可得．
【解答】解：（1）①∵a2＝5a﹣2，b2＝5b﹣2，且a≠b，
∴a与b是方程x2＝5x﹣2，即x2﹣5x+2＝0的两根实数根，
则a+b＝5，ab＝2，
故答案为：5，2．
②∵2b2＝5b﹣1，
∴2＝5×﹣（）2，即（）2﹣5×+2＝0，
∵a2＝5a﹣2，即a2﹣5a+2＝0，
∴a与是方程x2﹣5x+2＝0的两根实数根，
则a+＝5，
故答案为：5．
（2）∵实数s、t满足s2﹣s﹣3＝0，t2﹣t﹣3＝0，
∴s与t是方程x2﹣x﹣3＝0的两根，
则s+t＝1，st＝﹣3，
∴+＝＝＝＝﹣．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是根据已知条件抽象出符合方程特点的一元二次方程，并熟练掌握根与系数的关系公式．
19．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．
（1）请问一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程吗？如果是，请说明理由．
（2）若一元二次方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，求b、c的值．
【分析】（1）利用因式分解法求出方程的两根，再根据倍根方程的定义判断即可；
（2）根据倍根方程的定义，倍根方程x2+bx+c＝0有一个根为2时，另外一个根为4或1，再利用根与系数的关系求出b、c的值．
【解答】解：（1）该方程是倍根方程，理由如下：
x2﹣6x+8＝0，
解得x1＝2，x2＝4，
∴x2＝2x1，
∴一元二次方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程．
（2）∵方程x2+bx+c＝0是倍根方程，且方程有一个根为2，
∴方程的另一个根是1或4，
当方程根为1，2时，
﹣b＝1+2，解得b＝﹣3，
c＝1×2＝2；
当方程根为2，4时
﹣b＝2+4，解得b＝﹣6，
c＝2×4＝8．
【点评】本题考查了根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1?x2＝．也考查了学生的阅读理解能力与知识的迁移能力．
20．请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题：
已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值．
解：设t＝x+y，则原方程变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10，即t2+t﹣2＝0
∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1∴x+y＝﹣2或x+y＝1
解答问题：（1）已知（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，求x2+y2的值．
（2）解方程：x4﹣6x2+8＝0
【分析】（1）先换元，再求出t的值，最后求出答案即可；
（2）先换元，再求出t的值，最后求出答案即可．
【解答】解：（1）设t＝x2+y2，
∵（x2+y2﹣4）（x2+y2+2）＝7，
∴（t﹣4）（t+2）＝7，
即t2﹣2t﹣15＝0，
解得：t＝5或﹣3，
x2+y2＝﹣3不存在，
即x2+y2＝5；
（2）x4﹣6x2+8＝0，
设x2＝t，则原方程化为t2﹣6t+8＝0，
解得：t＝2或4，
当t＝2时，x2＝2，解得：x＝；
当t＝4时，x2＝4，解得：x＝±2；
所以原方程的解为x1＝，x2＝﹣，x3＝2，x4＝﹣2．
【点评】本题考查了解一元二次方程，能够正确换元是解此题的关键．
21．某地区为进一步发展基础教育，自2016年以来加大了教育经费的投入，2016年该地区投入教育经费5000万元，2018年投入教育经费7200万元．
（1）求该地区这两年投入教育经费的年平均增长率；
（2）若该地区教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请预算2019年该地区投入教育经费为　8640　万元．
【分析】（1）设这两年该县投入教育经费的年平均增长率为x，根据2016年及2018年该县投入的教育经费钱数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据2019年该县投入教育经费钱数＝2018年该县投入教育经费钱数×（1+20%），即可求出结论．
【解答】（1）解：设该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为x．根据题意，得
5000（1+x）2＝7200．
解得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
∴x＝0.2＝20%．
答：该地区这两年投入教育经费的年平均增长率为20%．
（2）7200（1+20%）＝8640（万元）
故答案是：8640．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．庆阳市是传统的中药材生产区，拥有丰富的中药材资源，素有“天然药库”“中药之乡”的美称．优越的地理气候条件形成了较独特的资源禀赋，孕育了丰富的中药植物资源和优良品种．某种植户2016年投资20万元种植中药材，到2018年三年共累计投资95万元，若在这两年内每年投资的增长率相同．
（1）求该种植户每年投资的增长率；
（2）按这样的投资增长率，请你预测2019年该种植户投资多少元种植中药材．
【分析】（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x．根据题意2017年种植投资为 20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元．根据题意得方程求解；
（2）用种植户每年投资的增长率即可预测2019年该种植户投资额．
【解答】解：（1）设这两年该该种植户每年投资的年平均增长率为x，则2017年种植投资为 20（1+x）万元，2018年种植投资为20（1+x）2万元，
根题意得：20+20（1+x）+20（1+x）2＝95，
解得：x＝﹣3.5（舍去）或x＝0.5＝50%．
∴该种植户每年投资的增长率为50%；
（2）2019年该种植户投资额为：20（1+50%）3＝67.5（万元）．
【点评】主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a（1+x）n，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，x是增长率．
23．水果店老板以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，老板决定降价销售．
（1）若这种水果每斤售价降低x元，则每天的销售量是　100+200x　斤（用含x的代数式表示，需要化简）；
（2）销售这种水果要想每天盈利300元，老板需将每斤的售价定为多少元？
【分析】（1）销售量＝原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润＝总利润列出方程求解即可．
【解答】解：（1）将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是100+×20＝100+200x（斤）；
故答案为：100+200x
（2）设这种水果每斤售价降低x元，根据题意得：（4﹣2﹣x）（100+200x）＝300，
解得：x＝或x＝1，
当x＝时，销售量是100+200×＝200＜260；
当x＝1时，销售量是100+200＝300（斤）．
∵每天至少售出260斤，
∴x＝1．
4﹣1＝3，
答：老板需将每斤的售价定为3元．
【点评】本题考查理解题意的能力，第一问关键求出每千克的利润，求出总销售量，从而利润．第二问，根据售价和销售量的关系，以利润做为等量关系列方程求解．
24．在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套，设销售单价为x（120＞x≥60）元，销售量为y套．
（1）求出y与x的函数关系式；
（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元，此月共盈利多少元．
【分析】（1）根据销售单价每提高5元，销售量相应减少20套，列出y与x的关系式即可；
（2）根据售价×销量＝销售额列出方程，计算即可求出值．
【解答】解：（1）y与x的函数关系式为：y＝240﹣×20＝﹣4x+480；
（2）根据题意可得，x（﹣4x+480）＝14000，
解得x1＝70，x2＝50（不合题意舍去），
∴当销售价为70元时，月销售额为14000元．
此月共盈利（﹣4x+480）（x﹣40）＝200×30＝6000元．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用，以及一次函数的应用，弄清题意是解本题的关键．
25．为了让学生亲身感受合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了如下收费标准：（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为100元；（2）如果超过30人，则每超过1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不能低于80元．该班实际共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？
【分析】根据题意先判断出参加的人数在30人以上，设共有x名同学参加了研学游活动，再根据等量关系：（100﹣在30人基础上降低的人数×2）×参加人数＝3150，列出方程，然后求解即可得出答案．
【解答】解：∵100×30＝3000＜3150，
∴该班参加研学游活动的学生数超过30人．
设共有x名同学参加了研学游活动，由题意得：
x[100﹣2（x﹣30）]＝3150，
解得x1＝35，x2＝45，
当x＝35时，人均旅游费用为100﹣2（35﹣30）＝90＞80，符合题意；
当x＝45时，人均旅游费用为100﹣2（45﹣30）＝70＜80，不符合题意，应舍去．
答：共有35名同学参加了研学游活动．
【点评】此题考查一元二次方程的应用；得到人均付费是解决本题的易错点，得到总费用的等量关系是解决本题的关键．
26．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．
（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？
（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加　2x　件，每件商品，盈利　50﹣x　元（用含x的代数式表示）；
（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？
【分析】（1）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可得出结论；
（2）根据“每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件”结合每件商品降价x元，即可找出日销售量增加的件数，再根据原来没见盈利50元，即可得出降价后的每件盈利额；
（3）根据“盈利＝单件利润×销售数量”即可列出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根据尽快减少库存即可确定x的值．
【解答】解：（1）当天盈利：（50﹣3）×（30+2×3）＝1692（元）．
答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元．
（2）∵每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件，
∴设每件商品降价x元，则商场日销售量增加2x件，每件商品，盈利（50﹣x）元．
故答案为：2x；50﹣x．
（3）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2000，
整理，得：x2﹣35x+250＝0，
解得：x1＝10，x2＝25，
∵商城要尽快减少库存，
∴x＝25．
答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出一元二次方程（或算式）是解题的关键．
27．某小区在绿化工程中有一块长为20m、宽为8m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为56m2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．
【分析】根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．
【解答】解：设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）＝56，
解得：x1＝2，x2＝（不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为56m2得出等式是解题关键．
28．因抖音等新媒体的传播，西安已成为最著名的网红旅游城市之一，2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，古城西安美食无数，一家特色小面店希望在长假期间获得较好的收益，经测算知，该小面的成本价为每碗6元，借鉴以往经验；若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗
（1）求出2016年至2018年十一长假期间游客人次的年平均增长率；
（2）为了维护城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天盈利6300元？
【分析】（1）可设年平均增长率为x，根据等量关系：2016年“十一”黄金周期间，西安接待游客近1000万人次，2018年“十一”黄金周期间，接待游客已达1690万人次，列出方程求解即可；
（2）可设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，根据利润的等量关系列出方程求解即可．
【解答】解：（1）可设年平均增长率为x，依题意有
1000（1+x）2＝1690，
解得x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（舍去）．
答：年平均增长率为30%；
（2）设每碗售价定为y元时，店家才能实现每天利润6300元，依题意有
（y﹣6）[300+30（25﹣y）]＝6300，
解得y1＝20，y2＝21，
∵每碗售价不得超过20元，
∴y＝20．
答：当每碗售价定为20元时，店家才能实现每天利润6300元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
29．经市场调研发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．在每件降价幅度不超过18元的情况下，若每件童装降价1元，则每天可多售出2件，设降价x元．
（1）降价x元后，每件童装盈利是　（40﹣x）　元，每天销售量是　（20+2x）　件；
（2）要想每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
（3）每天能盈利1800元吗？如果能，每件童装应降价多少元？如果不能，请说明理由．
【分析】（1）根据某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，每件童装降价1元，则每天可多售出2件，分别得出答案；
（2）设降价x元的盈利为1200则可得出关于x的等式，即可解出x的值；
（3）设降价x元的盈利为1800则可得出关于x的等式，即可利用根的判别式得出答案．
【解答】解：（1）降价x元后，每件童装盈利是（40﹣x）元，每天销售量是（20+2x）件；
故答案为：（40﹣x），（20+2x）；
（2）依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得：x1＝10，x2＝20（舍去），
答：每件童装降价10元；
（3）不能，理由如下：
依题意得：（40﹣x）（20+2x）＝1800，
即：x2﹣30x+500＝0，
∵△＝302﹣4×1×500＝900﹣2000＝﹣1100＜0，
∴原方程无解，
∴每天销售这种童装不可能盈利1800元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出利润是解题关键．
30．我市某地区大力发展乡村旅游，计划分两期利用当地的闲置土地种植花木和修建鱼塘．
（1）第一期预计种植花木和修建鱼塘共计60亩，种植花木的土地面积不低于修建鱼塘的土地面积的5倍，那么种植花木的土地面积最少为多少亩？
（2）第一期按计划完成后，共投入了150万元，种植花木的土地面积刚好是计划的最小值，并且种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用之比为2：5．按计划，第二期将在第一期的基础上扩大规模，投入资金将在第一期的基础上增加4a%，经测算，第二期种植花木和修建鱼塘每亩所花的平均费用将在第一期的基础上分别增加2a%，3a%，种植花木和修建鱼塘的土地面积将在第一期的基础上分别增加a%，2a%．求a的值．
【分析】（1）种植花木的土地面积为x亩，修建鱼塘的土地面积为（60﹣x）亩，根据种植花木的土地面积不低于修建鱼塘的土地面积的5倍，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
（2）根据单价＝总价÷数量可求出种植花木的平均费用，进而可求出修建鱼塘每亩的平均费用，设y＝a%结合总价＝单价×数量即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，进而可得出a的值．
【解答】解：（1）设种植花木的土地面积为x亩，修建鱼塘的土地面积为（60﹣x）亩；
根据题意得，x≥5（60﹣x），
解得：x≥50，
答：种植花木的土地面积最少为50亩；
（2）第一期种植花木所花的平均费用为150÷[50+（60﹣50）×]＝2（万元）；
第一期修建鱼塘每亩所花的平均费用是2×＝5（万元），
根据题意得，2×（1+2a%）×50×（1+a%）+5×（1+3a%）×10×（1+2a%）＝150×（1+4a%），
设y＝a%，整理得：10y2﹣y＝0，
解得：y1＝0（不合题意，舍去），y2＝0.1，
∴a的值为10．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）根据种植花木的土地面积不低于修建鱼塘的土地面积的5倍，列出关于x的一元一次不等式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
31．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+6）x+3m+9＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求证：该一元二次方程总有两个实数根；
（2）若n＝x12+x22﹣9，判断动点P（m，n）所形成的函数图象是否经过点A（﹣1，4），并说明理由．
【分析】（1）先求出△的值，再根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系即可得出答案；
（2）根据n＝x12+x22﹣9，求出n＝（m+3）2，即可得出动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（﹣1，4）．
【解答】解：（1）∵△＝[﹣（m+6）]2﹣4×1×（3m+9）
＝m2+12m+36﹣12m﹣36
＝m2≥0，
∴该一元二次方程总有两个实数根；
（2）∵x1+x2＝m+6，x1x2＝3m+9，
∴n＝x12+x22﹣9
＝（x1+x2）2﹣2x1x2﹣9
＝（m+6）2﹣2（3m+9）﹣9
＝m2+12m+36﹣6m﹣18﹣9
＝m2+6m+9
＝（m+3）2，
当m＝﹣1时，n＝（m+3）2＝（﹣1+3）2＝4，
所以动点P（m，n）所形成的函数图象经过点A（﹣1，4）．
【点评】此题考查了根的判别式和根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．
32．【问题背景】解方程：x4﹣5x2+4＝0．
分析：这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们可以借助“换元法”将高次方程“降次”，进而解得未知数的值．
解：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．
当y1＝1时，x2＝1，x＝±1；当y2＝4时，x2＝4，x＝±2；
原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．
【触类旁通】参照例题解方程：（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0；
【解决问题】已知实数x，y满足（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，求x+y的值；
【拓展迁移】分解因式：（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝　（x+2）4　．
【分析】[触类旁通]：设x2+x＝y，则原方程化为y2﹣4y﹣12＝0，求出y，再求出x即可；
[解决问题]：设2x+2y＝a，则原方程化为（a+3）（a﹣3）＝27，求出a，再求出x+y即可；
[拓展迁移]：设x2+4x+3＝a，得出（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1＝a（a+2）+1，根据完全平方公式分解因式，最后得出答案即可．
【解答】解：[触类旁通]：
（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0，
设x2+x＝y，则原方程化为：y2﹣4y﹣12＝0，
解得：y1＝6，y2＝﹣2，
当y＝6时，x2+x＝6，解得：x＝﹣3或2；
当y＝﹣2时，x2+x＝﹣2，
x2+x+2＝0，
∵此方程中的△＝12﹣4×1×2＝﹣7＜0，
∴此方程无解；
所以原方程的解为：x1＝﹣3，x2＝2；
[解决问题]：
（2x+2y+3）（2x+2y﹣3）＝27，
设2x+2y＝a，则原方程化为：（a+3）（a﹣3）＝27，
整理得：a2＝36，
解得：a＝±6，
即2x+2y＝±6，
所以x+y＝±3；
[拓展迁移]：
设x2+4x+3＝a，
则（x2+4x+3）（x2+4x+5）+1
＝a（a+2）+1
＝a2+2a+1
＝（a+1）2
＝（x2+4x+3+1）2
＝（x2+4x+4）2
＝（x+2）4，
故答案为：（x+2）4．
【点评】本题考查了解一元二次方程、解高次方程和分解因式等知识点，能正确进行换元是解此题的关键．
33．已知：方程组有两组不同的实数解，．
（1）求实数k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使＝2？若存在，请求出所有符合条件的k的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）代入后得到有关x的一元二次方程，然后利用根的判别式确定k的取值范围即可；
（2）根据（1）中的关于x的方程，可以求得的值，然后根据（1）中k的取值范围，即可解答本题．
【解答】解：（1）消去y，得，
由题意，得，
得
∴且k≠0；
（2），
∵，
∴无论k取何值，总有＝2，
∴存在实数k，使＝2．
所有符合条件的k的值为且k≠0
【点评】（1）此题主要考查了高次方程的求解，解答此题的关键是要明确高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解；
（2）此题还考查了根的判别式的应用，考查了分类讨论思想的应用，解答此题的关键是要明确：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
34．阅读材料，用配方法求最值．
已知a，b为非负实数，∵a+b﹣2＝（）2+（）2﹣2?＝（﹣）2≥0，∴a+b≥2，当且仅当“a＝b”时，等号成立．示例：当x＞0时，求y＝x++1的最小值；
解：y＝（x+）+1≥2+1＝5，当x＝，即x＝2时，y的最小值为5．
（1）探究：当x＞0时，求y＝的最小值；
（2）问题解决：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，n年的保养维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用＝所有费用÷年数n）？最少年平均费用为多少万元？
【分析】（1）将y＝变形为y＝x++3，利用材料中的“不等式的性质”解答；
（2）根据年平均费用＝所有费用÷年数n列出代数式，并利用材料中的“不等式的性质”解答．
【解答】解：（1）由y＝得到：y＝x++3，
∵x＞0，
∴y＝x++3≥2?+3＝5，
当x＝即x＝1时，即y＝的最小值是5；
（2）设年平均费用为w，则
w＝＝++．
∵n是正整数，
∴w＝++≥2?+＝2.5，
当且仅当＝即n＝10时，取“＝”．
答：这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用2.5万元．
【点评】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，解题时要注意配方法的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值．
35．如图①，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4．点P从点A出发，沿A→D→C→D运动，速度为每秒2个单位长度；点Q从点A出发向点B运动，速度为每秒1个单位长度．P、Q两点同时出发，点Q运动到点B时，两点同时停止运动，设点Q的运动时间为t（秒）．连结PQ、AC、CP、CQ．
（1）点P到点C时，t＝　6　；当点Q到终点时，PC的长度为　4　；
（2）用含t的代数式表示PD的长；
（3）当三角形CPQ的面积为9时，求t的值．
【分析】（1）点P到点C时，所走路程为AD+CD，除以速度求出t的值，当点Q到终点时，P点回到CD中点，用勾股定理求出PC
（2）分点P在A→D上时，D→C时，C→D时进行讨论
（3）同第2问三种情况进行讨论
【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4∴CD＝AB＝8点P到点C时，所走路程为AD+CD＝12，∴t＝＝6s
当点Q到终点时，t＝8s，P点回到CD中点，∴CP＝4，
（2）当0≤t≤2时，PD＝4﹣2t
当2＜t＜6时，PD＝2t﹣4
当6≤t≤8时，PD＝8﹣（2t﹣12）＝20﹣2t
（3）当0≤t≤2时，AP＝2t PD＝4﹣2t AQ＝t BQ＝8﹣t
S△CPQ＝4×8﹣t.2t﹣（8﹣t）.4﹣（4﹣2t ）.8＝﹣t2+10t＝9，t1＝1，t2＝9（舍去）
当2＜t＜6时，PC＝12﹣2t
S△CPQ＝（12﹣2t）4＝24﹣4t＝9，t＝
当6≤t≤8时，PC＝2t﹣12
S△CPQ＝（2t﹣12）4＝4t﹣24＝9，t＝（舍去）
综上所述，当三角形CPQ的面积为9时t＝1或t＝
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
36．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A、C同时出发，运动的时间为ts，当点Q运动到点B时，两点停止运动．
（1）当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离　（6﹣2t）　cm．（用含t的代数式表示）
（2）在运动的过程中，是否存在某一时刻，使得△PQC的面积是△ABC面积的．若存在，求t的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）依据AC＝6cm，AP＝2t，即可得到：当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；
（2）分两种情况：当0＜t＜3时，当3＜t≤8时，分别依据△PQC的面积是△ABC面积的，列方程求解即可．
【解答】解：（1）∵△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，
∴Rt△ABC中，AC＝6cm，
又∵点P从点A开始沿射线AC向点C以2cm/s的速度移动，
∴AP＝2t，
∴当点P在线段AC上运动时，P、C两点之间的距离（6﹣2t）cm；
故答案为：（6﹣2t）；
（2）△ABC的面积为S△ABC＝×6×8＝24，
①当0＜t＜3时，PC＝6﹣2t，QC＝t，
∴S△PCQ＝PC×QC＝t（6﹣2t），
∴t（6﹣2t）＝4，
即t2﹣3t+4＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝﹣7＜0，
∴该一元二次方程无实数根，
∴该范围下不存在；
②当3＜t≤8时，PC＝2t﹣6，QC＝t，
∴S△PCQ＝PC×QC＝t（2t﹣6），
∴t（2t﹣6）＝4，
即t2﹣3t﹣4＝0，
解得t＝4或﹣1（舍去），
综上所述，存在，当t＝4时，△PQC的面积是△ABC面积的．
【点评】本题考查了一元二次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，根的判别式的运用，解答时利用三角形的面积公式建立一元二次方程是关键．
37．最近由于网络视频的兴起，让重庆一度成为“网红”城市，并且使得到山城重庆的游客剧增，根据国家旅游统计局的官方统计，2017年，来重庆旅游的人数达到5.42亿人次，并且根据今年2018年的前三个月的统计，对比去年同期都是高速增长．
（1）某旅游公司2018年3月共接待国内外游客共3000人次，其中国外游客不足国内游客的，则国内游客至少有多少人？
（2）该旅游公司根据游客的需求推出了“快速游”和“精品游”两种套餐，两种套餐的3月份价格分别为：800元/人和2000元/人，公司为了接纳更多的游客，提升口碑，4月份“快速游”套餐价格比3月下降了2a%，4月份“精品游”套餐价格比3月下降了10%，月末统计：4月旅游总人数达4500人次，其中“精品游”套餐人次占总人次的，总收入达：391.5万元，求a的值．
【分析】（1）国内游客≥3000×即可求解；
（2）由题意得：800（1﹣2a%）[4500×（1﹣%）]+2000×（1﹣10%）×4500×＝391.5×10000即可求解．
【解答】解：（1）国内游客≥3000×≈2727.3，即国内游客至少有2728人；
（2）由题意得：800（1﹣2a%）[4500×（1﹣%）]+2000×（1﹣10%）×4500×＝391.5×10000，
化简得：2（a%）2+5a%＝0.525，
解得：a＝17.5．
【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出等量关系，列出方程，再求解．
38．方程的解法虽然不尽相同，但基本思想都是“转化”﹣﹣化未知为已知，利用“转化”，我们还可以解一些新的方程．
认识新方程：
像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以将方程两边平方转化为整式方程2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，应舍去，所以原方程的解是x＝3．
解下列方程：
（1）x+＝5；
（2）﹣＝2．
【分析】（1）移项后两边平方，即可把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可；
（2）先把无理方程转化成有理方程，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：（1）移项得：＝5﹣x，
两边平方得：x﹣3＝25﹣10x+x2，
解得：x1＝4，x2＝7，
经检验x＝7是原方程的增根，舍去；x＝4是原方程的解，
所以原方程的解为x＝4；
（2）﹣＝2，
﹣2＝，
两边平方得：x﹣5+4﹣4＝2x﹣7，
16﹣x＝4，
两边平方得：256﹣32x+x2＝16x+80，
x2﹣48x+176＝0，
x1＝4，x2＝44，
经检验x＝44是原方程的增根，舍去；x＝4是原方程的根，
所以原方程的解为x＝4．
【点评】本题考查了解无理方程和解一元二次方程，能把无理方程转化成有理方程是解此题的关键．
39．阅读下面的例题：
例：解方程x2﹣2|x|﹣3＝0
解：（1）当x≥0时，原方程可化为x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝3
（2）当x＜0时，原方程可化为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝﹣3．
综上所述，原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3．
解答问题：
（1）如果我们将原方程化为|x|2﹣2|x|﹣3＝0求解可以吗？请你大胆试一下写出求解过程．
（2）依照题目给出的例题解法，解方程x2+2|x﹣2|﹣4＝0
【分析】当绝对值内的数不小于0时，可直接去掉绝对值，而当绝对值内的数为负数时，去绝对值时，绝对值内的数要变为原来的相反数．本题要求参照例题解题，要先对x的值进行讨论，再去除绝对值将原式化简．
【解答】解：（1）当x≥0时，原方程可化为x2﹣2x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1（舍去），x2＝3
当x＜0时，原方程可化为x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1（舍去），x2＝﹣3．
综上所述，原方程的根是x1＝3，x2＝﹣3．
（2）当x≥2时，原方程可可化为x2+2x﹣4﹣3＝0，解得x1＝﹣1+（舍去），x2＝﹣1﹣（舍去）．
当x＜2时，原方程化为x2﹣2x+4﹣3＝0，
解得x1＝x2＝1
综上所述，原方程的根是x1＝x2＝1．
【点评】本题考查了绝对值的性质和一元二次方程的解法，另外去绝对值时要注意符号的改变．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
40．利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．
（1）若降价6元，则平均每天销售数量为　32　件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【分析】（1）根据销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件，可得若降价6元，则平均每天可多售出3×4＝12件，即平均每天销售数量为20+12＝32件；
（2）利用商品平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种商品利润列出方程解答即可．
【解答】解：（1）若降价6元，则平均每天销售数量为20+4×3＝32件．
故答案为：32；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理，得x2﹣30x+200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2＝20应舍去，
解得：x＝10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润是解题关键．
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日期：2019/3/4 3:49:07；用户：zhrasce20；邮箱：zhrasce20@163.com；学号：6322261