2.3.1 一元二次方程的应用（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第2章2.3一元二次方程的应用
第1课时 一元二次方程的应用（1）
【知识清单】
1. 利润问题：总利润=单位利润×销售量；利润=售价进价；利润率=×100%.
2. 增长率问题：基数×(1+增长率)2=增长两次后的数量.
【经典例题】
例题1、某景点的参观人数逐年增加，据统计，2016年为10万人次，2018年为17万人次，设参观人次的平均年增长率为x，则（ ）
A．10(1+x)=17 B．17(1x)=10
C．10(1+x)2=17 D．10 [(1+x)+(1+x)2]= 17
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设参观人次的平均年增长率为x，根据题意可得等量关系：10万人次×(1+增长率)2=17万人次，根据等量关系列出方程即可．
【解答】解答?解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：
10(1+x)2=17，
故选：C．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．
例题2、平面上不重合的两点确定一条直线，不同的三点最多可确定3条直线． 若平面上不同的n个点最多可确定21条直线，求n的值.
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】?根据每两个点之间有一条直线，可得n个点最多直线的条数为：．
【解答】∵(1) 平面上不重合的两点确定一条直线，即；
(2) 平面上不同的三点最多可确定3条直线，即；
(3) 平面上不同的四点最多可确定6条直线，即；
(4)平面上不同的n个点最多可确定条直线.
∴根据题意，得=21，
解方程，得n=7或n=6（舍去）．
故选C．
【点评】?本题考查了直线、射线、线段，熟记n个点最多直线的条数：是解题关键．
【夯实基础】
1、某机械厂1月份生产零件60万个，第一季度生产零件210万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率相同均为x，那么x满足的方程是（　　）
A．60(1+x2)=210 B．60+60(1+x2)=210
C．60+60(1+x)+60(1+x)2=210 D．60+60(1+x)+60(1+2x)=210
2、函数y=18x6x2，当y=12时，x的取值为（ ）
A．x=1 B．x=2 C．x=1或x=2 D．x=3或x=1
3、某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系. 每盆植4株时，平均每株盈利5元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.75元. 要使每盆的盈利达到16元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列方程（ ）
A．(4＋x) (50.75x)=16 B．(4＋x）(5+0.75x)=16
C．(5＋x) (40.75x)=16 D．(1＋x) (50.75x)=16
4、某市图书馆参加读书学习的人数逐年增加，据统计，2016年为60万人次，2018年为101.4万人次，设参加读书学习的人数逐年增长率为（ ）
A．20% B．30% C．40% D．50%
5、若两个连续正偶数之积为288，则这两个数分别是 ．
6、一件商品原来售价150元，经过两次连续降价，现在售价121.5元，则平均每次降价的百分率是 ．
7、某商场今年5月份的营业额为500万元，6月份的营业额比5月份增加15%，7月份的营业额达到971.75万元. 求5月份到7月份营业额的平均月增长率？
8、将进货单价为50元的商品按60元售出时，就能卖出600个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少15个．为了赚得9000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？

【提优特训】
9、在某次聚会上每两个人都握了一次手，所有人共握手55次．参加这次聚会的人数为（　　）
A．55人 B．10人 C．11人 D．9
10、某市2014年国内生产总值(GDP)比2013年增长了12%，由于受到国际贸易的影响，预计2015年比2014年增长7%，若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是（　　）
A．12%+7%=x% B．(1+12%)(1+7%)=(1+x%)2
C．12%+7%=2x% D．(1+12%)(1+7%)=2(1+x%)
11、老王将5000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取3000元留作他用,剩下的2000元及应得的利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后扣除利息税20%，得本金和利息共2113.28元，这种存款方式的年利率是（ ）
A．1.8% B．2% C．2.4% D．3%
12、某小组同学，新年时每人互送贺年卡一张，共送贺年卡72张，这个小组共有???????人.
13、一次篮球比赛，每个球队都要与其他球队比赛一场，共赛21场. 设有x个球队，则可以列方程为 .
14、某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60 000kg，求南瓜亩产量的增长率_______.
15、今年小明与父亲年龄之和为34岁，四年后父亲的年龄恰好是小明年龄的平方，求小明今年的年龄是多少？

16、有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若不控制，第三轮将又有多少人被传染？
17、某工程队承包了一项河道清淤工程．原计划每天清淤1400m，因为准备工作不充分，第一天少清淤25%．从第二天开始，该工程队加快了清淤速度，第三天清淤2058m．求：
（1）该工程队第一天清淤的长度；
（2）若该工程队第二天、第三天每天的清淤长度比前一天增加的百分数相同，求这个百分数．
18、“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设. 渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千
米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值.
【中考链接】
19、（2018?绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（　　）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
20、（2018?宜宾）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
21、（2018?乌鲁木齐）宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（　　）
A．(180+x20)(50)=10890 B．(x20)(50)=10890
C．x(50)50×20=10890 D．(x+180)(50)50×20=10890
22、（2018?德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
参考答案
1、C 2、C 3、A 4、B 5、16，18 6、10% 9、C 10、C 11、B
12、9 13、 14、50% 19、C 20、C， 21、B
7、某商场今年5月份的营业额为500万元，6月份的营业额比5月份增加15%，7月份的营业额达到971.75万元. 求5月份到7月份营业额的平均月增长率.
3月份到5月份月增长是经过2次增长,平均月增长率说明每月增长的百分数相同．设平均月增长率为x,则7月份的营业额是：6月份的营业额×(1+x)2,因此,应先求6月份的营业额．
显然,6月份的营业额是5月份的营业额×(1+15％)=500(1+15％)=575,
故依题意,得575(1+x)2=971.75， (1+x)2=1.69．
两边直接开平方，得1+x=±1.3．
所以x1=0.3=30％，x2=2.3(舍去)．
所以5月份到7月份的平均月增长率为30%
8、将进货单价为50元的商品按60元售出时，就能卖出600个．已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少15个．为了赚得9000元的利润，每个商品售价应定为多少元？这时应进货多少个？
解：设涨价x元能赚得9000元的利润，
即售价定为每个(x+60)元，应进货(60010x)个，
依题意得：(6050+x) (60010x)=9000，
解得x1=10?，x2=20，当x=10时，x+60=70，60010x=500；
当x=20时，x+60=80，60010x=400?????????????????????
答：售价定为每个60元时应进货500个，或售价定为每个80元时应进货400个.
15、今年小明与父亲年龄之和为34岁，四年后父亲的年龄恰好是小明年龄的平方，求小明今年的年龄是多少？
解：设小明今年x岁，爸爸34x岁，
34x+4=(x+4)2
?????? 解得：x1=2???????? ?x2=11（不符合题意，舍去）
答：小明今年2岁.
16、有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感.
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）若不控制，第三轮将又有多少人被传染？
解：（1）设每轮传染中平均一个人传染了x人，
则第一轮有x人被传染，第二轮有x(1+x)人被传染
根据题意，得1+x+x（x+1）=81
解得x1=8，x2=10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了8个人．
（2）第三轮被传染数81×8=648
第三轮将又有648人被传染.
17、某工程队承包了一项河道清淤工程．原计划每天清淤1400m，因为准备工作不充分，第一天少清淤25%．从第二天开始，该工程队加快了清淤速度，第三天清淤2058m．求：
（1）该工程队第一天清淤的长度；
（2）若该工程队第二天、第三天每天的清淤长度比前一天增加的百分数相同，求这个百分数．
解：（1）1400（125%）=1050（m），
所以，该工程队第一天清淤的长度为1050m.
（2）设该工程队第二天、第三天每天的清淤长度比前一天增长的百分数是x，
则1050（1+x）2=2058，
解得x1=0.4=40%，x2=2.4（不合题意，舍去），
所以，该工程队第二天、第三天每天的清淤长度比前一天增长的百分数是40%．
18、“铁路建设助推经济发展”，近年来我国政府十分重视铁路建设. 渝利铁路通车后，从重庆到上海比原铁路全程缩短了320千米，列车设计运行时速比原铁路设计运行时速提高了120千
米/小时，全程设计运行时间只需8小时，比原铁路设计运行时间少用16小时.
（1）渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是多少千米？
（2）专家建议：从安全的角度考虑，实际运行时速要比设计时速减少m%，以便于有充分时间应对突发事件，这样，从重庆到上海的实际运行时间将增加小时，求m的值.
解（1）设原时速为xkm/h，通车后里程为ykm，则有：，
解得：，
答：渝利铁路通车后，重庆到上海的列车设计运行里程是1600千米；
（2）由题意可得出：，
解得：m1=20，m2=0，（不合题意，舍去），
答：m的值为20．
22、（2018?德州）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．
（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x30）万元，销售数量为（10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之 取其小于70的值即可得出结论．
【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），
将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=10x+1000．
（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x30）万元，销售数量为（10x+1000）台，
根据题意得：(x30)(10x+1000)=10000，
整理，得：x2130x+4000=0，
解得：x1=50，x2=80．
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x=50．
答：该设备的销售单价应是50万元/台．