2.3.2 一元二次方程的应用（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第2章2.3一元二次方程的应用
第2课时 一元二次方程的应用(2)
【知识清单】
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：与列一元一次方程解应用题的步骤类似，列一元二次方程方程解实际问题的一般步骤也可归纳为：“审、找、设、列、解、验、答”七个步骤.
(1)审：审清题意，弄清已知量与未知量；
(2)找：找出等量关系；
(3)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
(4)列：列出一元二次方程；
(5)解：求出所列方程的解；
(6)验：①检验方程的解是否正确，②是否符合题意；
(7)答：作答.
二、列方程解决实际生活中有关面积计算问题：
1.不规则图形面积的求法一般转化为规则图形来计算，常用的方法是割补法；平移、旋转等几何变换在平面图形面积计算问题中也常常用到，主要起到转化作用.
2.平面内距离计算问题主要是构造直角三角形，利用勾股定理进行计算.
【经典例题】
例题1、用32cm长的铁丝做成一个长方形，用36cm长的铁丝做成一个有一边长为10cm的等腰三角形，如果长方形的面积与等腰三角形的面积相等，则长方形的边长为(　　)
A、4cm、12cm B、6cm、10cm C、4cm、12cm或6cm、10cm D、无法确定
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】因为本题中等腰三角形的边长不确定，所以需分情况讨论，分别求出面积．
【解答】等腰三角形周长为36cm，其中一边长为10cm，那么，有两种情况：
(1)腰长为10cm时，则底边长为12cm，此时由勾股定理可得高长为8cm，则三角形面积
为48 cm 2．所以长方形的面积也为48cm 2．
设长方形的两边为a和b，那么ab=48，a+b=32÷2=16，
则a=16b，把a=16b代入ab=48，
整理得b216b+48=0，
解得，b1=4，b2=12，
∴a1=12，a2=4.
∴长方形两边分别为12cm和4cm．
(2)底边长为10cm，那么腰长为13cm，由勾股定理可得高长为12cm，则三角形面积为60cm 2．
所以长方形的面积也为60cm2．同样，ab=60，a+b=16，则长方形的两边分别为6cm和10cm.
故选C．
【点评】本题涉及长方形的周长和面积，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
例题2、MN是一面长28m的墙，用长48m的篱笆，围成一个一面是墙，中间隔着一道篱笆的长方形温室大棚ABCD，已知温室大棚的设计面积为180m2，求温室大棚的宽AB应当是多少？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】?设温室大棚的宽为xm，则AB=x，BC=483x，利用面积公式表示出长方形的面积即可列出方程，根据实际情况求出x的值即可．
【解答】设温室大棚的宽为xm，那么它的长是(483x)m 根据题意得方程
x(483x)=180，
即x216x+60=0.
解得x1=6，x2=10，
当x=6时，483x=30＞28，
所以x=6(不合题意，舍去)．
答：温室大棚的宽为10m．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．
【夯实基础】
1、老张有一块长65cm，宽60cm的长方形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将长方形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为Scm2的无盖长方形工具箱，根据题意写出S的函数表达式为( )
A. S=(65x)(60x) B. S=80×704x2
C. S=(802x)(702x) D. S=80×704x2(70+80)x
2、如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了3m，另一边减少了4m，
剩余一块面积为20m2的长方形空地，则原正方形空地的边长是(　　)
A．7m B．8m C．9m D．10m
3、如图，长方形ABCD的周长是24cm，以AB、AD为边向外作正方形ABEF和正方形
ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和为80cm2，那么长方形ABCD的面积是( )
A. 24cm2 B.28cm2 C. 32cm2 D. 36cm2
4、如图，在长为60米，宽为40米的长方形场地上修建1横2纵三条宽度相等的甬道，其余部分为绿地，若绿化面积为长方形面积的一半，则甬道的宽应为多少米？设甬道的宽为x米，则列出的方程不正确的为(　　)
A．(602x)(40x)=×40×60 B．40×6040×2x60x+2x2=×40×60
C．40×2x+60x2x2=×40×60 D．(60x)(402x)= ×40×60

5、如图，将边长为4cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，
得到△，若两个三角形重叠部分的面积为4cm2，则它移动的距离等于 .
6、如图，某工厂A距离笔直的公路l为3xkm，与该公路旁的货运中转站D的距离为5xkm. 点
C在线段AD的中垂线上，且BC=4km，则AC= .
7、如图所示，已知甲、乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向
D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1千米／分，乙的速度为2千米／分，若正方形广场
的周长为80千米，则几分钟后，两人相距10千米？

8、如图，有一段19m米长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用
36m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.
(1)怎样围成一个面积为160m2的长方形场地？
(2)长方形场地面积能达到170m2吗？如果能，
请给出设计方案，如果不能，请说明理由.
【提优特训】
9、如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为3的四个小正方形，制成一个无盖箱子，
若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为2x2+17x，则无盖箱子的外表面积为( )
A．48 B．64 C．72 D．96

10、如图，在宽为24 m、长为36 m的长方形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下部分作为草坪，要使草坪的面积为693m2，求道路的宽．
A．2 B．3 C．5 D．57
11、在一幅长60cm，宽40cm的长方形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅长方形挂图，如果要使整个挂图的面积是3744cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是(　　)
A．x2+50x+336=0 B．x2+50x1344=0 C．x2+50x336=0 D．x2+50x+1344=0


12、已知如图所示的图形的面积为31，根据图中的条件，可列出方程(填一个即可)： .
13、为了把一个长100米，宽60米的游泳池扩建成一个周长为600米的大型水上游乐场，把游泳池的长增加x(x>0)米，宽相应增加，那么x等于多少时，水上游乐场的面积为20000平方
米？列车方程? ? ?，解这个方程，得?? ?.
14、已知m是关于x的一元二次方程x211x+1=0的一个根，则m28m+的值 .
15、如图：用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
(1)在第n个图中每一横行共有 块瓷砖，每一竖行共有 块瓷砖(均用含n的
代数式表示).
(2)设铺设地面所用瓷砖总数为y，请写出y与(1)中n的函数关系式；并求当y=506时，n的值.
(3) 黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需要花多少钱购买瓷砖？
(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？

16、如图，在Rt△ACB中，∠C=150°，AC=16cm，BC=12cm，点P、Q同时由A、B两点出发
沿AC、BC向点C匀速移动(当点P到达点C时，点Q同时停止)，它们的速度分别是2 cm /秒，
1 cm /秒.
问：(1)写出△PCQ的面积S△PCQ与时间t的函数关系？
(2)几秒后S△PCQ =S△ACB？
17、将一条长为32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于30cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说
明理由．
(3)则这两个正方形面积之和的最小值是多少cm2．

18、在一块长16m，宽12m的长方形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的
一半．下面分别是小明和小颖的设计方案.
小明的设计方案如图1：其中花园四周小路的宽度相等(阴影部分).通过解方程，可得到小路的宽
为2m或12m.
小颖的设计方案如图2：其中花园中每个角上的扇形都相同(阴影部分).
(1)你认为小明的结果对吗?请说明理由；
(2)请你帮助小颖求出图中的x(精确到0.1m)；
(3)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草图(标上相关数据).

【中考链接】
19、(2018?广西北海)如图，矩形纸片 ABCD，AB=4，BC=3，点 P 在 BC 边上，将△CDP 沿 DP 折叠，点 C落在点 E 处，PE、DE 分别交 AB 于点 O、F，且 OP=OF，则EF的值为( )
A． B． C．1 D．
20、(2018?大连)8．(3.00分)如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面(图中阴影部分)面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为(? ?)
A．10×64×6x=32? B．(102x)(62x)=32?
C．(10x)(6x)=32 D．10×64x2=32?
21、(2018?山东日照)为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为 ．
22、(2018?江苏常州)26．(10.00分)阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x22x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x2)=0，解方程x=0和x2+x2=0，可得方程x3+x22x=0的解．
(1)问题：方程x3+x22x=0的解是x1=0，x2=　 　，x3=　 　；
(2)拓展：用“转化”思想求方程=x的解；
(3)应用：如图，已知长方形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
参考答案
1、C 2、B 3、C 4、D 5、2cm 6、 9、B 10、B 11、C 12、x2+x+1=31
13、(100+x)(200x)=20000 ，x=100 14、32 19、A 20、B， 21、x(x+40)=1200
7、如图所示，已知甲、乙两人分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向
D运动，乙由B向C运动，甲的速度为1千米／分，乙的速度为2千米／分，若正方形广场
的周长为80千米，则几分钟后，两人相距10千米？
解：设x分钟后，两个相距10千米，
则CF=x千米，CE=(202x)千米，
由勾股定理得(0≤x≤10)
x2+(202x)2=102
解得x1=6，x2=10.
当x=6时， CF=6，EC=2012=8＜20符合题意
当x=10时，CF=10，EC=2020=0不符合题意，舍去
答：6分钟后，两人相距10千米
8、如图，有一段19m米长的旧围墙AB，现打算利用该围墙的一部分(或全部)为一边，再用
36m长的篱笆围成一块长方形场地CDEF.
(1)怎样围成一个面积为160m2的长方形场地？
(2)长方形场地面积能达到170m2吗？如果能，
请给出设计方案，如果不能，请说明理由.
解： (1)设CD=xm，则DE=(362x)m，
依题意得x(362x)=160，
整理得x218x+80=0，
解得x1=10，x2=8，
当x1=10时，362x=16，当x2=8时，362x=20＞19(不合题意舍去)，
∴能围成一个长16m，宽10m的长方形场地.
(2)设CD=ym，则DE=(362y)m，
依题意得y(362y)=170，整理得y218y+85=0，
△=(18)24×1×85=16＜0，故方程没有实数根，
∴长方形场地面积不能达到170m2.
15、如图：用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形并解答有关问题：

(1)在第n个图中每一横行共有 块瓷砖，每一竖行共有 块瓷砖(均用含n的
代数式表示).
(2)设铺设地面所用瓷砖总数为y，请写出y与(1)中n的函数关系式；并求当y=506时，n的值.
(3) 黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题(2)中，共需要花多少钱购买瓷砖？
(4)是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算说明为什么？
解：(1)通过观察图形可知，n+3，n+2
(2)当n=1时，用白瓷砖2块，黑瓷砖10块；
当n=2时，用白瓷砖6块，黑瓷砖14块；
当n=3时，用白瓷砖12块，黑瓷砖18块；
可以发现，①每个图形需要白瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即白瓷砖块数等于图形
数的平方加上图形数；②每个需要黑瓷砖的数量和图形数之间存在这样的关系，即黑瓷砖块数等
于图形数的4倍加上6．
所以，在第n个图形中，白瓷砖的块数可用含n的代数式表示为n2+n；
黑瓷砖的块数可用含n的代数式表示为4n+6．
观察图形可知，由题意，得y=(n+3)(n+2)
当y=506时，(n +3)(n+2)=506，
解之，n1 =25(舍去) ，n2 =20.
并求当y=506时， n的值为20块.
在问题(2)中，购买瓷砖共花费：420×3+86×4=1604(元)
(3)每一横行有白砖(n+1)块，每一竖列有白砖n块，因而白砖总数是n(n+1)块，n=20时，需白砖为
20×21=420(块)，需黑砖数为86(块)．
在问题(2)中，购买瓷砖共花费：420×3+86×4=1604(元).
答：共花1604元钱购买瓷砖．
(4)n(n+1)=4n+6．
解得n= .
因为n不为整数．
∴不存在黑白瓷砖块数相等的情形．
16、如图，在Rt△ACB中，∠C=150°，AC=16cm，BC=12cm，点P、Q同时由A、B两点出发
沿AC、BC向点C匀速移动(当点P到达点C时，点Q同时停止)，它们的速度分别是2 cm /秒，
1 cm /秒.
问：(1)写出△PCQ的面积S△PCQ与时间t的函数关系？
(2)几秒后S△PCQ =S△ACB？
解：(1)设t秒后，PC=AC-AP=16-2t，CQ=BCBQ=12t，
∵∠C=150°，
∴∠PCE=180°150°=30°.
∴PE=PC=8t，AD=AC=8.
∴S△PCQ=PE·CQ=(8t)( 12t)=t210t+48.
(2) 设x秒后S△PCQ =S△ACB？
∵△ABC面积为×AD×BC=×8×12=48，
∴x210x+48=×48，
解得x1=4，x2=16(不合题意舍去)
4秒后S△PCQ =S△ACB.
17、将一条长为32cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．
(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少？
(2)两个正方形的面积之和可能等于30cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说
明理由．
(3)则这两个正方形面积之和的最小值是多少cm2．
解：(1)设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(8x)cm，
依题意列方程得x2+(8x)2=34，
整理得：x28x+15=0，(x3)(x5)=0，
解方程得x1=3，x2=5，
3×4=12cm，3212=20cm；
或5×4=20cm，3220=12cm．
因此这段铁丝剪成两段后的长度分别是12cm、20cm；
(2)两个正方形的面积之和不可能等于12cm2．
由(1)可知x2+(8x)2=30，
化简后得2x216x+34=0，
∵△=(16)24×2×34=16＜0，
∴方程无实数解；
所以两个正方形的面积之和不可能等于30cm2．
(3)设两个正方形的面积和为y，
则y=x2+(8x)2=2(x4)2+32，
∴当x=4时，y的最小值=32，
∴这两个正方形面积之和的最小值是32cm2.
18、在一块长16m，宽12m的长方形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的
一半．下面分别是小明和小颖的设计方案.
小明的设计方案如图1：其中花园四周小路的宽度相等(阴影部分).通过解方程，可得到小路的宽
为2m或12m.
小颖的设计方案如图2：其中花园中每个角上的扇形都相同(阴影部分).
(1)你认为小明的结果对吗?请说明理由；
(2)请你帮助小颖求出图中的x(精确到0.1m)；
(3)你还有其他的设计方案吗?请在图3中画出你所设计的草图(标上相关数据).
解：(1)小明的结果不对.
设小路宽xm，则得方程(162x)(122x)=×16×12
解得：x1=2，x2=12
而荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不合题意
(2)由题意得：=×16×12
x2=，x≈5.5m .
答：小颖的设计方案中扇形的半径约为5.5m
(3)
22、(2018?江苏常州)26．(10.00分)阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x22x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x2)=0，解方程x=0和x2+x2=0，可得方程x3+x22x=0的解．
(1)问题：方程x3+x22x=0的解是x1=0，x2=　 　，x3=　 　；
(2)拓展：用“转化”思想求方程=x的解；
(3)应用：如图，已知长方形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【分析】(1)因式分解多项式，然后得结论；
(2)两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
(3)设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，
【解答】解：(1)x3+x22x=0，
x(x2+x2)=0，
x(x+2)(x1)=0
所以x=0或x+2=0或x1=0
∴x1=0，x2=2，x3=1；
故答案为：2，1；
(2)=x，
方程的两边平方，得2x+3=x2
即x22x3=0
(x3)(x+1)=0
∴x3=0或x+1=0
∴x1=3，x2=1，
当x=1时，==1≠1，
所以1不是原方程的解．
所以方程=x的解是x=3；
(3)因为四边形ABCD是长方形，
所以∠A=∠D=90°，AB=CD=3m
设AP=xm，则PD=(8x)m
因为BP+CP=10，
BP=，CP=
∴=10
∴
两边平方，得(8x)2+9=10020+9+x2
整理，得5=4x+9
两边平方并整理，得x28x+16=0
即(x4)2=0
所以x=4．
经检验，x=4是方程的解．
答：AP的长为4m．
【点评】本题考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程是注意到验根．解决(3)时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键．