第二章：一元二次方程培优训练试题
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1.一元二次方程配方后可化为（ ）
A． B． C． D．
2.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
3.已知关于x的一元二次方程有两个实数根，为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数的和为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
4.一元二次方程（x+1）（x﹣3）=2x﹣5根的情况是（ ）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个正根，且都小于3 D．有两个正根，且有一根大于3
5.某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
6.若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1 C．m＞1 D．m＜1
7.欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
8.若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
9.一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
10.宾馆有50间房供游客居住，当毎间房毎天定价为180元时，宾馆会住满；当毎间房毎天的定价每增加10元时，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的毎间房毎天支出20元的费用．当房价定为多少元时，宾馆当天的利润为10890元？设房价定为x元．则有（ ）
A．（180+x﹣20）（50﹣）=10890 B．（x﹣20）（50﹣）=10890
C．x（50﹣）﹣50×20=10890 D．（x+180）（50﹣）﹣50×20=10890
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.若m是方程2x2﹣3x﹣1=0的一个根，则6m2﹣9m+2016的值为
12.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为
13.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21=0的根，则三角形的周长为______
14.为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x个球队参赛，根据题意，可列方程为
15．已知a，b，c是△ABC的三边长，若方程(a－c)x2＋2bx＋a＋c=0有两个相等的实数根，则△ABC是 __________三角形
16.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，当矩形花园的面积为300 m2时，则
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17（本题6分）.解下列方程：
（1） （2）
18（本题8分）已知关于x的方程x2＋ax＋a－2＝0.
(1)若该方程的一个根为1，求a的值；
(2)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
19（本题8分）．已知关于x的方程x2﹣2kx+k﹣=0的一个根大于1，另一个根小于1，求实数k的取值范围．
20（本题10分）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
21（本题10分）．关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+(c-a)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长．（1）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状并说明理由；
（2）已知a:b:c=3:4:5,求该一元二次方程的根.
22（本题12分）在美丽乡村建设中，某县政府投入专项资金，用于乡村沼气池和垃圾集中处理点建设．该县政府计划：2018年前5个月，新建沼气池和垃圾集中处理点共计50个，且沼气池的个数不低于垃圾集中处理点个数的4倍．
（1）按计划，2018年前5个月至少要修建多少个沼气池？
（2）到2018年5月底，该县按原计划刚好完成了任务，共花费资金78万元，且修建的沼气池个数恰好是原计划的最小值．据核算，前5个月，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用之比为1：2．为加大美丽乡村建设的力度，政府计划加大投入，今年后7个月，在前5个月花费资金的基础上增加投入10a%，全部用于沼气池和垃圾集中处理点建设．经测算：从今年6月起，修建每个沼气池与垃圾集中处理点的平均费用在2018年前5个月的基础上分别增加a%，5a%，新建沼气池与垃圾集中处理点的个数将会在2018年前5个月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值．
23（本题12分）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为 件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
第二章：一元二次方程培优训练试题答案
一．选择题：
1.答案：B
解：
，，
∴， 故选：B．
2.答案：C
解析：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得： x（x﹣1）=55，
整理得：x2﹣x﹣110=0，
解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
3.答案：B
解析：∵a=1，b=2，c=m﹣2，关于x的一元二次方程x2+2x+m﹣2=0有实数根
∴△=b2﹣4ac=22﹣4（m﹣2）=12﹣4m≥0，
∴m≤3．
∵m为正整数，且该方程的根都是整数，
∴m=2或3．∴2+3=5．故选：B．
4.答案：D
解析：（x+1）（x﹣3）=2x﹣5
整理得：x2﹣2x﹣3=2x﹣5，
则x2﹣4x+2=0，∴（x﹣2）2=2，
解得：x1=2+＞3，x2=2﹣，
故有两个正根，且有一根大于3．故选：D．
5.答案：C
解析：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选：C．
6.答案：D
解析：∵方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4m＞0，
解得：m＜1．
故选：D．
7.答案：B
解析：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，
设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．
8.答案：C
解析：∵α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，
∴，
∴，
故选择C
9.答案：A
解析：x2﹣7x+10=0，∴（x﹣2）（x﹣5）=0，
∴x﹣2=0，x﹣5=0，解得：x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．故选：A．
10.答案：B
解析：设房价定为x元，
根据题意，得（x﹣20）（50﹣）=10890．
故选：B．
二．填空题：
11.答案：2019
解析：由题意可知：2m2﹣3m﹣1=0，
∴2m2﹣3m=1
∴原式=3（2m2﹣3m）+2016=2019
故答案为：2019
12.答案：
解析：把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3，
因为k≠0，所以k的值为﹣3．
故答案为﹣3．
13.答案：16
解：解方程x2﹣10x+21=0得x1=3、x2=7，
∵3＜第三边的边长＜9，
∴第三边的边长为7．
∴这个三角形的周长是3+6+7=16．
故答案为：16．
14.答案： x（x﹣1）=21．
解析：设有x个队，每个队都要赛（x﹣1）场，但两队之间只有一场比赛，由题意得：
x（x﹣1）=21，
故答案为： x（x﹣1）=21．
15.答案：为直角
∵方程由两个相等的实数根，∴Δ=b2－4ac=0，∴（2b）2－4（a－c）（a+c）=0，整理可得a2=b2+c2，所以△ABC是直角三角形.
故答案：为直角.
16.答案：15m
解析：设AB为x m，则BC为(50－2x)m.根据题意，
得：x(50－2x)＝300.
解得x1＝10，x2＝15.
当x＝10时，AD＝BC＝50－2x＝30>25，不合题意，舍去；
当x＝15时，AD＝BC＝50－2x＝20<25.
答案：AB的长15 m.
三．解答题：
17.（1）解析：原方程可化为：，∴
（2）∵，∴
∴
18.解析：(1)将x＝1代入x2＋ax＋a－2＝0中，
得1＋a＋a－2＝0.
解得a＝
(2)证明：∵Δ＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4.
∵(a－2)2≥0，∴(a－2)2＋4＞0.
∴不论a取何实数，方程都有两个不相等的实数根．
19.解析：设两根为x1＞1，x2＜1．
那么x1﹣1＞0，x2﹣1＜0．
∴（x1﹣1）（x2﹣1）＜0．
x1x2﹣（x1+x2）+1＜0．
∴k﹣0.25﹣2k+1＜0．
解得k＞．
由判别式△＞0，（2k﹣1）2＞0；k≠
综上：k的取值范围为k＞
20.解析：（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%．
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元）．
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
21.解析：(1)直角三角形，理由如下：
∵方程 有两个相等的实数根，
∴ 即，
∵a、b、c分别为△ABC三边的长，
∴△ABC为直角三角形.
(2)∵a:b:c=3:4:5，
∴设a=3t，b=4t，c=5t，
∴原方程可变为：
解得：
22.解析：（1）设2018年前5个月要修建x个沼气池，则2018年前5个月要修建（50﹣x）个垃圾集中处理点，
根据题意得：x≥4（50﹣x），解得：x≥40．
答：按计划，2018年前5个月至少要修建40个沼气池．
（2）修建每个沼气池的平均费用为78÷[40+（50﹣40）×2]=1.3（万元），
修建每个垃圾处理点的平均费用为1.3×2=2.6（万元）．
根据题意得：1.3×（1+a%）×40×（1+5a%）+2.6×（1+5a%）×10×（1+8a%）=78×（1+10a%），
设y=a%，整理得：50y2﹣5y=0，
解得：y1=0（不合题意，舍去），y2=0.1，
∴a的值为10．
23.解析：（1）若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件．
故答案为26；
（2）设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元．
根据题意，得 （40﹣x）（20+2x）=1200，
整理，得x2﹣30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20．
∵要求每件盈利不少于25元，
∴x2=20应舍去，解得：x=10．
答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
