2.4一元二次方程根与系数的关系（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第2章2.4一元二次方程
一元二次方程根与系数的关系
【知识清单】
一、一元二次方程根与系数关系：如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么x1+x2= ，x1·x2= .
二、一元二次方程根与系数关系的应用，概括有下面几种：
1．题目中告诉方程的一个根，求另一个根以及确定方程某个参数的值；
2．已知方程，求关于方程的两根的代数式的值或求作方程；
3．把两个实数作为方程的两个根，求作方程；
4．不解方程判断两个根的符号.
【经典例题】
例题1、已知m，n是关于x的一元二次方程x22(k2+2k)x3k+1＝0的两个实数根，若(m2)(n2)=1，则k的值为( )
A．3 B． C．3或 D．3或
【考点】一元二次方程根与系数的关系．
【分析】由根与系数关系得到m+n和mn的值，展开(m2)(n2)=1后代入求得a的值．
【解答】∵m，n是关于x的一元二次方程x22(k2+2k)x3k+1＝0的两个根，
由根与系数关系得： ①
又(m2)(n2)＝1，即mn2(m+n)+4=1. ②
将①代入②整理得4k2+11k3=0，解得k1=3，k2=．
当k=时，原方程化为x2x+=0，
△=b24ac=.
x22(k2+2k)x3k+1＝0有两个不相等的实数根根；
当k=3时，原方程化为x26x+10=0，
△=b24ac=(6)24×10=4<0，
x22(k2+2k)x3k+1＝0无实数根根.
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记根与系数的关系和判别式是关键．
例题2、已知关于x的一元二次方程x2(2m+3)x+6m=0．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(4分)
(2)若x1，x2是原方程的两根，且，求m的值．并求出此时方程的两根．
【考点】一元二次方程根的判别式 根与系数的关系．
【分析】?(1)根据关于x的一元二次方程x2(2m+3)x+6m的根的判别式△=b24ac的符号来判定该方程的根的情况；(2)根据根与系数的关系求得x1+x2=(2m+3)，x1?x2=6m；然后由已知条件可以求得(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2=6，从而列出关于m的方程，通过解该方程即可求得m的值；最后将m值代入原方程并解方程．
【解答】(1)证明：∵△=(2m+3)24(6m)
=(2m3)2+1，
∴无论m取何值，(2m3)2+1恒大于0.
∴原方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵x1，x2是原方程的两根，
∴x1+x2=(2m+3)，x1?x2=6m.
∵，
∴(x1x2)2=()2，
∴(x1+x2)24x1?x2=6，
∴(2m+3)24(6m)=6，
∴m23m+2=0.
解得：m1=1，m2=2，
当m=1时，原方程化为：x2+5x+=0，
解得：x1=，x2=.
当m=2时，原方程化为：x2+7x+=0，
解得：x3=，x4=.
【点评】本题考查了根与系数的关系和根的判别式的应用，能正确运用性质进行计算是解此题的关键，题目比较好，难度适中．
【夯实基础】
1、如果关于x的方程x2+mx+n=0的两个根分别为x1=5，x2=2，那么这个一元二次方程是( )
A．x2+3x10=0 B．x23x10=0 C．x23x+10=0 D．x2+3x+10=0
2、已知m，n是方程x22x＋2＝0的两根，则代数式的值为 (　)
A．16 B．±4 C．-4 D．4
3、若α、β是关于x的方程的x2(a2+5)+3a=0两个根实数根，且=2，则a的值是( )
A．5　 B． 1 C．1或5 D．1或5
4、甲、乙两个同学分别解同一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为5和3，乙把常数项看错了，解得方程的两根为3和4，则原方程是( )
A．x2＋7x15＝0 B．x27x+15＝0 C．x2＋7x＋15＝0 D．x27x15＝0
5、已知方程5x(2x+3)＝(2x+3)的两根是x1，x2，则：x1+x2 ，x1?x2= .
6、已知方程x2＋kx20＝0的一个根是2，则另一个根是 ，k的值是 .
7、设x1，x2是方程x2+x2018=0的两实数根，求x23＋2019x1+2018的值.
8、关于x的一元二次方程x2+(2k5)x+k2+2=0有两个不等实根x1、x2．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=x1?x2，求k的值．
【提优特训】
9、x1，x2是关于x的一元二次方程x2–(m24)x+m2=0的两个实数根，是否存在实数m使成立？则下列正确的结论是( )
A．m = 2时成立 B．m =2时成立 C．m =±2时成立 D．m = 2或0时成立
10、求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程3x26x4＝0的两根的3倍，那么所求的这个一元二次方程可以是( )
A．x2+6x12＝0 B．x26x+12＝0 C．x2+6x+12＝0 D．x26x12＝0
11、已知方程4x210x+k2=0的两根之差为，则k=( ).
A．4 B．2 C．2 D．4
12、如果x1，x2是两个不相等实数，且满足x123x1=5，x223x2=5，那么x1?x2 + x1x2等于 .
13、若关于x的方程(m211)x2(m2)x2=0的两个根互为倒数，则m= .
14、若方程x2+2x1=0的两实根为α、β，有下列判断，请将正确结论的序号填上 .
①α+β=2；②αβ=1；③α2+β2=4 ；④=6；⑤
15、若方程x2+pxq=0的两个根x1，x2，且x1>2，p+q+5>0，求x2的取值范围.

16、已知一元二次方程a26a8＝0及8b2+6b1＝0，且ab≠1，求的值．

17、已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边c=13，两直角边a，b的长分别是关于x的方程
x2(3m+2)x+12m=0的两个根，求△ABC的周长．

18、求使得方程kx2(2k+1)x2=0的根都是整数的所有的实数k.

【中考链接】
19、(2018?泰州)1．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是( )
A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1?x2＞0 D．x1＜0，x2＜0
　 20、(2018?宜宾)一元二次方程x2﹣2x=0的两根分别为x1和x2，则x1?x2为(　　)
A．﹣2 B．1 C．2 D． 0
21、(2018?眉山)若α，β是一元二次方程3x2+2x﹣9=0的两根，则的值是(　　)
A． B． C． D．
22、(2018?四川达州)15．(3分)已知：m2﹣2m﹣1=0，n2+2n﹣1=0且mn≠1，则的值为　　．
参考答案
1、A 2、D 3、C 4、D 5、， 6、10，8 9、B 10、D 11、D
12、8 13、3 14、①②④ 19、A 20、D， 21、C 22、3
7、设x1，x2是方程x2+x2018=0的两实数根，求x23＋2019x1+2018的值.
解：∵x1，x2是方程x2+x2018=0的两实数根，，
∴x12+x12018=0，x22+x22018=0，
∴x1+x2=1，[来源:学科网ZXXK]
∴x23+2 019x1+2018
=x232018x2+2018 x2+2019x1+2018
= x2(x222018)+ 2018 x2+2019x1+2018
=x22+ 2018 x2+2019x1+2018
= x22018+2018x2+2019x1+2018
=2019(x1+x2)=2019
8、关于x的一元二次方程x2+(2k5)x+k2+2=0有两个不等实根x1、x2．
(1)求实数k的取值范围．
(2)若方程两实根x1、x2满足x1+x2=x1?x2，求k的值．
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴△=(2k5)24(k2+2)>0，
解得：k<，
即实数k的取值范围是k<；
(2)∵根据根与系数的关系得：x1+x2=(2k5)，x1?x2=k2+2，
又∵方程两实根x1、x2满足x1+x2=x1?x2，
∴(2k5)=(k2+2)，
解得：k1=3，k2=1，
∵k<，
∴k只能是3．
15、若方程x2+pxq=0的两个根x1，x2，且x1>2，p+q+5>0，求x2的取值范围.
解：∵x1，x2是方程x2+pxq=0的两个根，根据根与系数的关系，得
x1+x2=p，x1﹒x2=q，
∴p+q+5=x1x2x1?x2+5>0，
∴ x1+x2+ x1?x2<5，
∵x1>2，
∴2+x2+ x1?x2<5，
∴x2+ x1?x2<3
∴(1+ x1)x2<3
x2<<<1.
16、已知一元二次方程a26a8＝0及8b2+6b1＝0，且ab≠1，求的值．
解：由8b2+6b1＝0可知b≠0．
∴．
∴，
又a26a8＝0，且ab≠1，即a≠．
∴a，是方程x26x8＝0的两根．
∴a+=6．
∴=a+3+=6+3=9.
∴=
17、已知，在△ABC中，∠C=90°，斜边c=13，两直角边a，b的长分别是关于x的方程
x2(3m+2)x+12m=0的两个根，求△ABC的周长．
解： 在Rt△ABC中，c2=a2+b2=(a+b)22ab，
∵两直角边a，b的长分别是关于x的方程x2(3m+1)x+6m=0的两个根，
∴a+b=3m+2，ab=12m，代入c2=a2+b2=(a+b)22ab，
即：169=(3m+2)22×12m，
解得：m1=5，m2=(舍去)，
∵ab=6m＞0，∴m＞0，
∴m=5，
∴a+b=3m+2=17，
∴△ABC的周长=a+b+c=13+17=30．
18、求使得方程kx2(2k+1)x2=0的根都是整数的所有的实数k.
解：若k=0，得x=2符合要求.
若k≠0，设一元二次方程的两个整数根为x1、x2，由根与系数的关系，得

两式整理，得2 x1+2 x2+ x1?x2=4.即(x1+2)( x2+2)=8,
∵x1+2、x2+2均为整数，
∴

解得x1+x2=5或x1+x2=13或x1+x2=2或x1+x2=10，
∵，
∴=5或=13或=2或=10，
解得k=或k=或k=,=0(无解舍去)
经检验k=或k=或k=符号要求.
综上讨论，符合题目要求的k值有4个：0，，，.