第二章：一元二次方程能力提升测试
选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．已知是方程的一个实数根，则的值是（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． ﹣2
2．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ）
A． 0 B． 1 C． 2 D． -1
3．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则整数k的最小值是( )
A． 1 B． 0 C． 2 D． 3
4．若关于x 的一元二次方程有解，那么的取值范围是( )
A． B． C．且 D．且
5．若一元二次方程的一个根为0，则m等于（ ）
A．﹣3 B．3 C．3或-3 D．9
6．方程的解是（ ）
A．2 B．3 C．-1,2 D．-1,3
7．一个两位数等于它的个位数的平方，且个位数比十位数大，则这个两位数为（ ）
A．25 B．36 C．25或36 D．－25或－36
8.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（ ）
A．24 B．24或 C．48 D．
9．如果非零实数是一元二次方程的一个根，是方程的一个根，那么的值等于( )
A． 0 B． 1 C． D． 5
10．某校进行体操队列训练，原有8行10列，后增加40人，使得队伍增加的行数、列数相同，你知道增加了多少行或多少列吗？设增加了x行或列，则列方程得( )
A．(8－x)(10－x)＝8×10－40 B．(8－x)(10－x)＝8×10＋40
C．(8＋x)(10＋x)＝8×10－40 D．(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40
填空题（本题共6小题，每题4分，共24分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
11.若关于x的一元二次方程的一个根为，则代数式
12．若关于x的一元二次方程有实数根，则整数的最大值是__________
13．已知直角三角形两直角边x、y的长满足，则斜边长为_________
14．某服装店经销一种品牌服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元，经市场预测发现：在每件降价不超过10元的情况下，若每件每降价1元，则每天可多销售5件，若该专卖店要使该品牌服装每天的盈利为1600元，则每件应降价___________元
15.两个奇数，其中一个为另一个的平方，较大奇数与较小奇数的差为110，两个奇数分别为___________
16.方程与仅有一个公共根，那么的值为___________
三．解答题（共6题，共66分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17.（本题6分）解下列方程：
（1） （2）
18.（本题8分）关于x的方程有两个相等的实数根，
求的值．
19（本题8分）．已知方程是关于x的一元二次方程．
（1）求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求k的值及方程的另一个根．
20.（本题10分）．已知关于的一元二次方程的一根为2．
（1）用含的代数式表示；
（2）试说明：关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根．
21（本题10分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，经过几秒后，PQ的长度等于 cm?
(3)在(1)中，△PQB的面积能否等于7 cm2？说明理由．
22（本题12分）．某经销商经销的学生用品，他以每件280元的价格购进某种型号的学习机，以每件360元的售价销售时，每月可售出60个，为了扩大销售，该经销商采取降价的方式促销，在销售中发现，如果每个学习机降价1元，那么每月就可以多售出5个．
（1）降价前销售这种学习机每月的利润是多少元？
（2）经销商销售这种学习机每月的利润要达到7200元，且尽可能让利于顾客，求每个学习机应降价多少元？
（3）在（2）的销售中，销量可好，经销商又开始涨价，涨价后每月销售这种学习机的利润能达到10580元吗？若能，请求出涨多少元；若不能，请说明理由．
23（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA，OB分别在x轴，y轴的正半轴上(OA＜OB)，且OA，OB的长分别是一元二次方程x2－14x＋48＝0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．
(1)求A，B两点的坐标；(2)求直线CD的解析式；
(3)在坐标平面内是否存在点M，使以点C，P，Q，M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为AB长？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
第二章：一元二次方程能力提升测试答案
选择题：
1.答案：D
解析：∵是方程的一个实数根，
∴，∴，故选择D
2.答案：D
解析：∵一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为，
故选择D
3.答案：A
解析：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，解得：，
∴整数k的最小值是1，故选择A
4.答案：D
答案：∵一元二次方程有解，
∴解得：且，故选择D
5.答案：B
解析：∵一元二次方程的一个根为0，
∴，解得：，故选择B
6.答案：D
解析：方程，化为，∴，
故选择D
7.答案：C
解析：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为，
由题意得：，解得：
∴这个两位数为25或36，故选择C
8.答案：B
解析：一元二次方程的根为：，
∴这个三角形的三边长为或，
∴三角形的面积为：24或，故选择B
9.答案：D
解析：∵非零实数是一元二次方程的一个根，是方程的一个根，
∴，
∴（不合题意舍去），故选择D
10.答案：D
解析：由题意得：(8＋x)(10＋x)＝8×10＋40
故选择D
二．填空题：
11.答案：3
解析：∵一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，∴，
12.答案：3
解析：∵一元二次方程有实数根，
∴，解得：，∴整数的最大值是3
13.答案：
解析：∵x、y的长满足，
∴（不合题意舍去），（不合题意舍去），
∴这个直角三角形的斜边长为
14.答案：4
解析：设每件每降价元，
由题意得：
解得：（不合题意舍去）
15.答案：11 121
解析：设较小奇数为x，则较大奇数为x2，根据题意得x2﹣x=110
解之得x1=11，x2=10（不合题意，舍去）
所以较大奇数为x2=121．
16.答案：
解析：设它们的公共根为a，∴a2﹣4a﹣（p﹣1）=0与a2+ap﹣3=0，
两式相减，得a（p+4）=4﹣p，
整理得，将代入a2+ap﹣3=0，
整理得（p+2）（﹣p2﹣16）=0，
解得p=﹣2
三．解答题：
17.（1）答案：
（2）答案：
18.解析：∵方程有两个相等的实数根，
∴，∴
∴
19.解析：（1）∵方程
∴，
∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵是方程的一个根，
∴，解得：，
∴方程为：，解得：，
∴，另一根为
20.解析：（1）把x=2，代入方程x2+mx+n+1=0得
4+2m+n+1=0，
则n=﹣2m﹣5；
（2）∵△=b2﹣4ac=m2﹣4×1×n=m2﹣4（﹣2m﹣5）=m2+8m+20=（m+4）2+4＞0，
∴关于y的一元二次方程y2+my+n=0总有两个不相等的实数根．
21.解析：（1）设经过x s后，，解得x＝1或x＝4(舍去)．
故经过1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.
（2）设经过t s，PQ的长度为cm，则PQ2＝40＝BP2＋BQ2，
即40＝(5－t)2＋(2t)2，解得t＝－1(舍去)或t＝3.故经过3 s后，PQ＝ cm.
（3）令S△PQB＝7，即BP·＝7，(5－t)×＝7，∵Δ＝－3＜0，
∴原方程没有实数根．∴在(1)中，△PQB的面积不能等于7 cm2.
22.解析：（1）由题意得：元
则降价前商场每月销售学习机的利润是4800元；
（2）设每个学习机应降价x元，
由题意得：，
解得：或，
由题意尽可能让利于顾客，舍去，即，
则每个学习机应降价60元；
（3）设应涨y元每月销售这种学习机的利润能达到10580元，
根据题意得：，
方程整理得：，
解得：，
则应涨26元每月销售这种学习机的利润能达到10580元．
23.解析：（1）解x2－14x＋48＝0，得x1＝6，x2＝8.
∴A(6，0)，B(0，8)．
（2）C(3，4)．设OD＝a，∴CD2＝(a＋3)2＋42.
又AC＝，AD2＝(a＋6)2，
∴(a＋3)2＋42＋52＝(a＋6)2，解得a＝.∴D(－，0)．
∴易求得直线CD的解析式为.
(3)∵AC＝BC＝AB＝5，∴正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．
①当点Q与点B重合时，直线BM：，设M(x，x＋8)，
∵B(0，8)，BM＝5，∴(x＋8－8)2＋x2＝52，解得x＝±4.∴M1(4，11)，M2(－4，5)；
②当点Q与点A重合时，直线AM：，设M(x，x－)，
∵A(6，0)，AM＝5，∴()2＋(x－6)2＝52，解得x1＝2，x2＝10，∴M3(2，－3)，M4(10，3)．
综上，M1(4，11)，M2(－4，5)，M3(2，－3)，M4(10，3)．
