3.3 方差和标准差同步练习
一．选择题（共8小题）
1．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（ ）
A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较
2．一组数据：1，3，2，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差为（ ）
A．2 B．4 C． D．﹣2
3．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会（ ）
A．变大 B．不变 C．变小 D．不确定
4．已知一组数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2，则正确的是（ ）
A．S2＝6S1+5 B．S2＝6S1 C．S2＝S1 D．S2＝S1+5
5．甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩情况如下表所示，若要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
88
90
方差
3.5
3.5
4
4.2
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
6．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
7．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，每班参赛学生成绩（每分钟输入汉字的个数）统计后结果如表所示：
参加人数
中位数
平均数
方差
甲班
45
148
135
190
乙班
45
151
135
110
某同学根据表中数据分析得出如下结论：
（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；
（2）乙班优秀人数多于甲班优秀人数（规定每分钟输入汉字大于或等于150个为优秀）；
（3）乙班成绩比较稳定．其中，结论正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（ ）
A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3
二．填空题（共6小题）
9．一组数据2、3、﹣1、0、1的方差是 ．
10．小林同学对甲、乙、丙三个市场某月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月三个市场的价格平均值相同，方差分别为S甲2＝7.5，S乙2＝1.5，S丙2＝3.1，那么该月份白菜价格最稳定的是 市场．
11．样本数据10，10，x，8的众数和平均数相同，则12，12，x+2，10这组数据的标准差是 ．
12．如果一组数据1，3，5，a，8的方差是0.7，则另一组数据11，13，15，a+10，18的方差是 ．
13．若甲．乙两个街舞团的人数相同，平均身高相同，通过计算身高的方差发现身高更整齐的街舞团是甲，那么S甲2 S乙2，（填“＞”或“＜”）．
14．已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其标准差为 ．
三．解答题（共4小题）
15．一组数据：1，2，x，y，4，6，其中x＜y，中位数是2.5，众数是2．
求：（1）这组数据的平均数；
（2）这组数据的方差．
16．某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
命中环数
6
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
0
1
3
1
0
乙命中相应环数的次数
2
1
0
1
1
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是 ，乙命中环数的众数是 ；
（2）甲、乙两人中 （填“甲”或“乙”）的成绩比较稳定；
（3）如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击的这6次成绩的方差比前5次成绩的方差 ．（填“大”、“小”或“不变”）
17．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
85
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分＝个人成绩﹣平均成绩）÷成绩标准差．
从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学、英语哪个学科考得更好？
18．某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，50，60，70，70，80，80，80，90，90．
（1）
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
68分
a
376
90%
30%
乙组
b
c
196
80%
20%
以上成绩统计分析表中a＝ 分，b＝ 分，c＝ 分；
（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由
（3）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由
3.3 方差和标准差同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．甲、乙两人进行射击比赛，在相同条件下各射击10次，他们的平均成绩一样，而他们的方差分别是S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，则成绩比较稳定的是（ ）
A．甲稳定 B．乙稳定 C．一样稳定 D．无法比较
解：∵S甲2＝1.8，S乙2＝0.7，
∴S甲2＞S乙2，
∴成绩比较稳定的是乙；
故选：B．
2．一组数据：1，3，2，5，x的平均数是3，则这组数据的标准差为（ ）
A．2 B．4 C． D．﹣2
解：由题意知：x＝15﹣（1+3+2+5）＝4
方差S2＝[（1﹣3）2+（3﹣3）2+（2﹣3）2+（5﹣3）2+（4﹣3）2]＝2
故五个数据的标准差是S＝＝，
故选：C．
3．某选手在比赛中的成绩（单位：分）分别是90，87，92，88，93，方差是5.2（单位：分2），如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会（ ）
A．变大 B．不变 C．变小 D．不确定
解：如果去掉一个最高分和一个最低分，该选手的平均数是：（90+88+92）＝90，
则方差是：[（90﹣90）2+（88﹣90）2+（92﹣90）2]＝，
所以如果去掉一个最高分和一个最低分，那么该选手成绩的方差会变小；
故选：C．
4．已知一组数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，另有一组数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2，则正确的是（ ）
A．S2＝6S1+5 B．S2＝6S1 C．S2＝S1 D．S2＝S1+5
解：∵数据x1，x2，…，xn，其标准差为S1，数据y1，y2，…，yn，其中yk＝6xk+5（k＝1，2，…，n），其标准差是S2，
∴第二组数据的标准差是第一组数据的6倍，
∴S2＝6S1，
故选：B．
5．甲、乙、丙、丁四个小组的同学分别参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，在相同条件下各小组的成绩情况如下表所示，若要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选（ ）
甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
88
90
方差
3.5
3.5
4
4.2
A．甲组 B．乙组 C．丙组 D．丁组
解：由图表可知，
乙、丁的平均成绩较好，应从乙、丁中选，
由于S2乙＜S2丁，
故丁的方差大，波动大，
则要从中选择出一个小组参加年级的比赛，那么应选乙组；
故选：B．
6．对于两组数据A，B，如果sA2＞sB2，且A＝B，则（ ）
A．这两组数据的波动相同 B．数据B的波动小一些
C．它们的平均水平不相同 D．数据A的波动小一些
解：∵sA2＞sB2，
∴数据B组的波动小一些．
故选：B．
7．甲、乙两班举行电脑汉字输入比赛，每班参赛学生成绩（每分钟输入汉字的个数）统计后结果如表所示：
参加人数
中位数
平均数
方差
甲班
45
148
135
190
乙班
45
151
135
110
某同学根据表中数据分析得出如下结论：
（1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同；
（2）乙班优秀人数多于甲班优秀人数（规定每分钟输入汉字大于或等于150个为优秀）；
（3）乙班成绩比较稳定．其中，结论正确的个数是（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
解：（1）甲、乙两班学生的平均水平相同，说法正确；
（2）乙班优秀的人数比甲班优秀的人数多（规定每分钟输入汉字大于或等于150个为优秀），说法正确；
（3）因为乙班的方差小于甲班的方差，所以的乙班成绩比较稳定，说法正确；
正确的个数有3个；
故选：D．
8．若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（ ）
A．17，2 B．18，2 C．17，3 D．18，3
解：∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．一组数据2、3、﹣1、0、1的方差是 2 ．
解：这组数据的平均数：＝（2+1﹣1+0+3）÷5＝1，
方差：S2＝[（x1﹣）2+[（x2﹣）2+…+[（xn﹣）2]
＝[（2﹣1）2+（1﹣1）2+（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（3﹣1）2]
＝（1+4+0+1+4）
＝2．
故答案为：2．
10．小林同学对甲、乙、丙三个市场某月份每天的白菜价格进行调查，计算后发现这个月三个市场的价格平均值相同，方差分别为S甲2＝7.5，S乙2＝1.5，S丙2＝3.1，那么该月份白菜价格最稳定的是 乙 市场．
解：∵S甲2＝7.5，S乙2＝1.5，S丙2＝3.1，
∴S甲2＞S丙2＞S乙2，
∴该月份白菜价格最稳定的是乙市场；
故答案为：乙．
11．样本数据10，10，x，8的众数和平均数相同，则12，12，x+2，10这组数据的标准差是 ．
解：若x＝8，则样本有两个众数10和8
平均数＝（10+10+8+8）÷4＝9，与已知中样本众数和平均数相同不符
所以样本只能有一个众数为10
则平均数也为10，（10+10+x+8）÷4＝10，求得x＝12．
∴这组数据为12，12，14，10，
∴这组数据12，12，14，10的平均数为12，
∴这组数据12，12，14，10的标准差为，
故答案为．
12．如果一组数据1，3，5，a，8的方差是0.7，则另一组数据11，13，15，a+10，18的方差是 0.7 ．
解：设一组数据1，3，5，a，8的平均数是，另一组数据11，13，15，a+10，18的平均数是+10，
∵＝0.7，
∴
＝＝0.7，
故答案为：0.7．
13．若甲．乙两个街舞团的人数相同，平均身高相同，通过计算身高的方差发现身高更整齐的街舞团是甲，那么S甲2 ＜ S乙2，（填“＞”或“＜”）．
解：根据方差发现身高更整齐的街舞团是甲，得出S甲2＜S乙2；
故答案为：＜．
14．已知一组数据﹣3，x，﹣2，3，1，6的中位数为1，则其标准差为 3 ．
解：共有6个数据，排序后1总在中间．中位数应该是排序后的第3个数和第4个数的平均数，有（x+1）＝1，
∴x＝1，
数据的平均数＝（﹣3﹣2+1+3+6+1）＝1，
方差S2＝[（﹣3﹣1）2+（﹣2﹣1）2+（1﹣1）2+（3﹣1）2+（6﹣1）2+（1﹣1）2]＝9；
标准差为：3；
故答案为3．
三．解答题（共4小题）
15．一组数据：1，2，x，y，4，6，其中x＜y，中位数是2.5，众数是2．
求：（1）这组数据的平均数；
（2）这组数据的方差．
解：（1）∵这组数据的众数是2，
∴x，y中有一个数为2，
又数据的中位数为2.5，
∴x+y＝2×2.5＝5，
结合x＜y知x＝2，y＝3，
∴这组数据为1，2，2，3，4，6，
则数据的平均数为＝3；
（2）这组数据的方差为×[（1﹣3）2+2×（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（6﹣3）2]＝．
16．某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：
命中环数
6
7
8
9
10
甲命中相应环数的次数
0
1
3
1
0
乙命中相应环数的次数
2
1
0
1
1
（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是 8 ，乙命中环数的众数是 6 ；
（2）甲、乙两人中 甲 （填“甲”或“乙”）的成绩比较稳定；
（3）如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击的这6次成绩的方差比前5次成绩的方差 小 ．（填“大”、“小”或“不变”）
解：（1）把甲命中环数从小到大排列为7，8，8，8，9，最中间的数是8，则中位数是8；
在乙命中环数中，6出现了2次，出现的次数最多，则乙命中环数的众数是6；
故答案为：8，6；
（2）甲的平均数是：（7+8+8+8+9）÷5＝8，
则甲的方差是：[（7﹣8）2+3（8﹣8）2+（9﹣8）2]＝0.4，
乙的平均数是：（6+6+7+9+10）÷5＝7.6，
则甲的方差是：[2（6﹣7.6）2+（7﹣7.6）2+（9﹣7.6）2+（10﹣7.6）2]＝2.64，
所以甲的成绩比较稳定，
故答案为：甲；
（3）如果乙再射击1次，命中7环，那么乙射击的这6次成绩的方差比前5次成绩的方差小．
故答案为：小．
17．一次期中考试中，A、B、C、D、E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
A
B
C
D
E
平均分
标准差
数学
71
72
69
68
70
英语
88
82
94
85
76
85
（1）求这五位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的标准差；
（2）为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式：标准分＝个人成绩﹣平均成绩）÷成绩标准差．
从标准分看，标准分高的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学、英语哪个学科考得更好？
解：（1）数学平均分是：×（71+72+…+70）＝70分，
英语标准差为：＝＝6；
（2）∵数学标准分＝＝，英语标准分＝＝0.5，＞0.5，
∴数学更好．
18．某校举办了一次趣味数学竞赛，满分100分，学生得分均为整数，达到成绩60分及以上为合格，达到90分及以上为优秀，这次竞赛中，甲、乙两组学生成绩如下（单位：分）
甲组：30，60，60，60，60，60，70，90，90，100
乙组：50，50，60，70，70，80，80，80，90，90．
（1）
组别
平均分
中位数
方差
合格率
优秀率
甲组
68分
a
376
90%
30%
乙组
b
c
196
80%
20%
以上成绩统计分析表中a＝ 60 分，b＝ 72 分，c＝ 75 分；
（2）小亮同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们小组中排名属中游略偏上!”观察上面表格判断，小亮可能是甲、乙哪个组的学生？并说明理由
（3）如果你是该校数学竞赛的教练员，现在需要你选一组同学代表学校参加复赛，你会选择哪一组？并说明理由
解：（1）甲组的中位数为60，即a＝60，乙组的中位数为75，即c＝75；
乙组的平均数为（50+50+60+70+70+70+80+80+80+90+90）＝72，即b＝72，
故答案为60，72，75；
（2）∵甲组的中位数为60，乙组的中位数为75，而小英的成绩位于小组中上游，
∴小亮属于甲组学生；
（3）如选择甲组同学代表学校参加复赛，因为甲组有得满分的同学．（答案合理即可给分）．
