浙教版八下数学第2章《一元二次方程》单元培优测试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列方程中，属于一元二次方程的是(???? )
A.??????????B.??????????C.????????D.?
2.若关于 的一元二次方程 （ ≠0）的解是 = 1，则 + 的值是（???? ）
A.?5??????????????????????????????????????B.?-5??????????????????????????????????????C.?6???????????????????????????????????????D.?-6
3.用配方法解方程x2﹣ x﹣1＝0时，应将其变形为（?? ）
A.（x﹣ ）2＝ B.（x+ ）2＝ C.（x﹣ ）2＝0 D.（x﹣ ）2＝
4.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(? ???)
A. B.且 C. D.且
5.若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是(? ????)
A. B. C. D.
6.一个三角形的两边长分别为3和6，第三边的边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长是（??????? ）
A.11 B.11或13 C.13 D.以上选项都不正确
7.若两个不相等的实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n，则mn的值为（????? ）
A.6 B.－6 C.4 D.－4
8.一元二次方程（2x+1）（x﹣2）=1的根的情况是（?? ）
A.?有两个不相等的实数根????????B.?有两个相等的实数根?????????C.?没有实数根?????????D.?只有一个实数根
9.某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（?? ）
A.?80（1+x）2=100 B.?100（1﹣x）2=80 C.?80（1+2x）=100 D.?80（1+x2）=100
10.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a和b，且a2﹣ab+b2=18，则 + 的值是（?? ）
A.?3????????????????????????????????????????B.?﹣3???????????????????????????????????????C.?5???????????????????????????????????????D.?﹣5
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.写出一个一元二次方程使其一个根为1________.
12.若 是方程 的一个解，则 ＝________．
13.把方程3x(x－1)＝(x＋2)(x－2)＋9化成ax2＋bx＋c＝0的形式为________．
14.为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米．设绿地宽为x米，根据题意，可列方程为________．
15.已知x为实数，且满足 ，那么
16.某摄影小组的学生，将自己的照片向本组其他成员各赠送一张，全组共互赠了182张，若全组有x名学生，根据题意列出的方程是________。
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
（12分）解方程：
（1）x(x-2)=0 （2）（x-3）2+2x（x-3）=0.
（3）? （4）3+2x2- x=0
18.（6分）为任意实数，请证明关于 的方程 恒有两个不相等的实数根，并任意给出 的一个值，求出方程的根。
19（8分）.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知2016年投资1000万元，预计2018年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．
（1）求平均每年投资增长的百分率；
（2）按此增长率，计算2019年投资额能否达到1360万元?
20.（8分）基本事实：“若ab=0，则a=0或b=0”．一元二次方程x2-x-2＝0可通过因式分解化为（x-2）（x＋1）=0，由基本事实得x-2=0或x＋1=0，即方程的解为x=2或x=-1．
（1）试利用上述基本事实，解方程：2x2－x=0：
（2）若（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，求x2＋y2的值．
21.（10分）已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
22.（10分）某商品的进价为每件60元，售价为每件80元，每天可卖出290件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每天少卖10件，设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每天的销售利润为y元．
（1）求y关于x的关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每天的利润恰为5940元？
（3）每件商品的售价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？
23.（12分）如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
浙教版八下数学第2章《一元二次方程》单元培优测试题
参考答案与解析
一、单选题
1.【答案】D
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A.∵a不一定不等于0，故不一定是一元二次方程，A不符合题意； B.∵（x+3）（x+2）=x2 ， ∴x-6=0，是一元一次方程，B不符合题意； C.∵为分式方程，C不符合题意； D.∵（x+1）2=3（x-3），∴x2-x+10=0，是一元二次方程，D符合题意； 故答案为：D.
【分析】一元二次方程定义：形如ax2+bx+c=0（a≠0），由此即可得出答案.
2.【答案】B
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：代入 = 1得，a+b+5=0，则a+b=-5，故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程根的概念，将 = 1代入 一元二次方程 ，即可得出a+b=-5。
3.【答案】 D
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2﹣ x﹣1＝0，
∴x2﹣ x＝1，
∴x2﹣ x+ ＝1+ ，
∴（x﹣ ）2＝ ．
故答案为：D.
【分析】配方法解一元二次方程的基本步骤：1、二次项系数化为1，常数项移到右边；2、方程两边都加上一次项系数一半的平方；3、左边写成一个完全平方式，右边化为一个常数。
4.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵ 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴【-（2K+1）】2-4k2=0且k2≠0， ∴k＞且k≠0。 故答案为：B。 【分析】因为一元二次方程由两个不相等的实数根，所以△＞0且a≠0，代入化简即可求得。
5.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一次函数图像、性质与系数的关系
【解析】【解答】∵一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴b2-4ac＞0 ∴4-4（kb+1）＞0 解之：kb＜0 当k＞0，b＜0时，直线 y＝kx＋b 经过第一、三、四象限 故答案为;B 【分析】由一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，可得出b2-4ac＞0，求出kb＜0，再分情况讨论，就可得出答案。
6.【答案】 C
【考点】因式分解法解一元二次方程，三角形三边关系
【解析】【解答】∵方程 的两根为：
∵三角形的两边长分别为3和6，第三边不能取2，只能取4，则这个三角形的周长为：13，
故答案为：C
【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据三角形三边关系定理确定出第三边的长，然后求出这个三角形的周长。
7.【答案】 D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】∵实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n， 即m、n是方程x2-6x-4=0的两个实数根 ， ∴? mn=-4 故答案为：D 【分析】由已知实数m、n满足m2－6m＝4，n2－4＝6n，可得出m、n是方程x2-6x-4=0的两个实数根 ，再利用一二次方程根与系数的关系，就可得出mn的值。
8.【答案】A
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵原方程可变形为2x2-3x-3=0，
∴△=（-3）2-4×2×（-3）=33＞0，
∴一元二次方程（2x+1）（x-2）=1有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
【分析】先求出方程的判别式的值，再根据一元二次方程根的判别式做出判断即可。
9.【答案】A
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故答案为：A．
【分析】由增长率可知：原来数量×（1+增长率）=现在数量；则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，而2018年蔬菜产量为100吨，可建立方程。
10.【答案】D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：∵a、b为方程x2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab=p，
∵a2﹣ab+b2=（a+b）2﹣3ab=32﹣3p=18，
∴p=﹣3．
当p=﹣3时，△=（﹣3）2﹣4p=9+12=21＞0，
∴p=﹣3符合题意．
+ = = = ﹣2= ﹣2=﹣5．
故答案为：D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可求出a+b=3，ab=p，再把a2﹣ab+b2=18利用完全平方公式变形，从而求出p的值，然后把要求的式子通分，再把a+b、ab的值代入求解.
二、填空题
11.【答案】x2=1（答案不唯一）
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：依题可得： x2=1. 故答案为：x2=1.
【分析】根据一元二次方程的定义即可得出答案.
12.【答案】 3
【考点】一元二次方程的根
【解析】【解答】∵是方程 的一个解， ∴2×22－2m-2=0, ∴m=3。 故答案为：3。 【分析】方程的解可以代入原方程，使原方程左右两边相等。故代入计算即可求出m。
13.【答案】2x2－3x－5＝0
【考点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】去括号得3x2－3x=x2－4+9，移项，得2x2－3x－5=0.
故答案为2x2－3x－5=0.
【分析】去括号，然后将方程右边所有的项都移到方程的左边，然后再合并同类项即可。
14.【答案】x（x+40）=1200
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】由题意可得， x（x+40）=1200， 故答案是：x（x+40）=1200． 【分析】设绿地宽为x米，则长为（x+40）米，根据矩形的面积等于长乘以宽即可列出方程。
15.【答案】 1
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： 可化为： ，
∵ ，∴ ，即 故答案为：1
【分析】将x2+3x，看着整体，再利用因式分解法解关于x2+3x的方程，由， 求出x2+3x的值，即可得出答案。
16.【答案】 x(x-1)=182
【考点】一元二次方程的应用
【解析】【解答】解：设全组有x名学生，则每个人要赠送出(x-1)张照片， 由全组共互赠182张可得方程：x(x-1)=182。 故答案为：x(x-1)=182 【分析】根据每个人向本组其他成员各赠送一张，这样每个人要赠送出(x-1)张，由全组共互赠182张即可列方程。
三、简答题
17.【答案】（1）解：∵ x(x-2)=0 ∴x=0或x-2=0 ∴x1=0，x2=2 （2）解：∵（x-3）2+2x（x-3）=0， ∴（x-3）（x-3+2x）=0， 即（x-3）（3x-3）=0， 解得：x1=3，x2=1. ∴原方程的解为：x1=3，x2=1.
【考点】公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程
（3）解：∵x2-5x-3=0， ∴a=1，b=-5，c=-3， ∴△=b2-4ac=37， ∴x=， ∴原方程的解为：x1=， x2=
（4） ， ∴ ， ∴△= ， ∴原方程无实数根.
18.【答案】证明： ? ?
无论 为何值，方程总有两个不相等的实数根.
令m=1，则原方程为 ，解得
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】算出该方程根的判别式的值，再利用完全平方公式分解因式，将判别式的值变形为一个完全平方式加一个正数的形式，根据偶次幂的非负性即可得出该方程根的判别式的值一定为正数，从而得出 无论 为何值，方程总有两个不相等的实数根；然后随便给出 的一个值， 代入并求解即可。
19.【答案】（1）解：设平均每年投资增长的百分率为x，由题意得： 1000(1+x)2=1210， ∴x1=0.1=10%，x2=-2.1(不合实际意义，舍去)， 即平均每年投资增长的百分率为10%。 （2）解：∵1210(1+10%)=1210×1.1=1331＜1360， ∴2019年投资额达不到1360万元。
【考点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设出平均每年投资增长的百分率 ，根据增长前投资1000万元，经过两次增长后投资1210万元，即可列出一元二次方程解答； （2）根据（1）中的增长速度可得2019年的投资额，据此即可判断。
20【答案】 （1）解：方程 ，可化为： ，∴ （2）解：方程：（x2＋y2）（x2＋y2－1）－2＝0，可化为： ，
∴ ，∵ ，∴
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：缺常数项，利用提公因式法，可将方程转化为“ab=0”的形式，就可求出方程的解。 （2）将原方程先转化为 ， 将x2+y2（x2+y2≥0）看着整体，利用因式分解法可得出 ， 即可求出x2+y2的值。
21.【答案】 （1）解：△ABC是等腰三角形；理由如下：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2 ， ∴△ABC是直角三角形
（3）解：当△ABC是等边三角形，方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0
可整理为2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=1代入方程，化简可得出a－b＝0即a=b，据此可判断三角形的形状。 （2）由方程有两个相等的实数根，可得出b2-4ac=0，就可得出a、b、c之间的关系式，即可判断三角形的形状。 （3）由△ABC是等边三角形，则a=c=b，代入方程，求出方程的解即可。
22.【答案】（1）解： 由题意得： y=（80-60+x）（290-10x）=-10x2+90x+5800 （2）解： 由题意得：-10x2+90x+5800=5940 x2-9x+14=0 解之：x1=2，x2=7 ∴x1=2时，售价为：80+2=82元 x2=7，售价为：80+7=87元 答： 每件商品的售价定为82元或87元时，每天的利润恰为5940元 . （3）解： y=-10x2+90x+5800 y=-10（x-4.5）2+6002.5 ∵x为正整数 ∴x=4或5时，y=6000 即每一件的售价定为84元或86元时，每天可获得最大利润，最大利润为600元。
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题，二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=每一件的利润×销售量，即可列出函数解析式。
（2）利用（1）的函数解析式，当y=5940时，建立关于x的方程，求解即可。 （3）将（1）中的函数解析式转化为顶点式，再根据二次函数的性质及x为正整数，就可得出结果。
23.【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，
∴AB=25cm，
设经过ts后，P、Q两点的距离为5 cm，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2 ，
代入数据（7-2t）2+（5t）2=（5 ）2；
解得t=1或t=- （不合题意舍去）
（2）解：设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= = ×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，
经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）解：设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2t）×5t= ×（-2t2+7t）
当t=- 时，即t= =1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2×1.75）×5×1.752= （cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大= ×7×24- = （cm2），
当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： cm2
【考点】一元二次方程的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）由题意可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，在直角三角形PCQ中，根据勾股定理可得，PC2+CQ2=PQ2 ， 将PC、CQ、PQ带入等式，可得关于t的方程，解方程即可求解； （2）由（1）可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，则△PCQ的面积=PC×CQ=15，列方程即可求解； （3）由（2）知，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，△PCQ的面积=PC×CQ，要使四边形BPQA的面积最小，则△PCQ的面积最大，求得使△PCQ的面积最大的t值即可。
