3.2 中位数和众数（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第3章数据分析初步
3.2 中位数和众数
【知识清单】
一、中位数和众数
1.众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
2.中位数：将一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序排列，位于最中间的一个数据(当数据个数为奇数时)或最中间两个数的平均数(当数据个数为偶数时)叫做这组数据的中位数.
二、平均数、中位数和众数对一组数据的描述特点
平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们从不同侧面反映了数据的集中程度，但也存在各自的局限.如平均数容易受极端值得影响；众数、中位数不能充分利用全部数据信息.
【经典例题】
例题1、某中学团支部号召学生在暑假期间至少参加一次社会公益活动(以下简称活动)．开学后团支部抽取部分学生进行统计，将参加活动的次数统计如图所示的条形图．设学生参加活动的平均数为a，中位数为b，众数为c，则有( )
A. b＞a＞c B. c＞a＞b C. a＞b＞c D. b＞c＞a
【考点】加权平均数、中位数、众数.
【分析】根据加权平均数的计算公式计算平均数，再中位数和
众数的确定方法求出中位数和众数即可．
【解答】a==1.7；
b=，c=1．
∴a＞b＞c．
故选C．
【点评】本题主要考查条形统计图、加权平均数的计算方法以及中位数和众数的概念，根据条形统计图得出数据及熟悉加权平均数的计算方法是关键．
例题2、在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x、90、70，若这四个同学得分的众数与平均数恰好相等，则他们得分的中位数是 .
【考点】中位数和众数．
【分析】因为x的值不确定，所以众数也不能直接确定，需分类讨论：①x=90；②x=70；③x≠90且x≠70．
【解答】①x=90时，众数是90，
平均数=≠90，
所以此情况不成立，即x≠90；
②x=70时，众数是90和70，
而平均数=80，所以此情况不成立，即x≠70；
③x≠90且x≠70时，众数是90，
根据题意得=90，解得x=110．
所以中位数是=90．
故填90．
【点评】此题考查了中位数的确定方法，熟记中位数的概念和进行分类讨论是此题的关键．
【夯实基础】
1、某中学八年级(1)班8人组成篮球队，他们的身高如下(单位：cm)：160，170，164，168，170，163，170，172则这组数据中的中位数，众数分别为( )
A．168，170 B．170，170 C．168，169 D．169，170
2、下列说法错误的是( )
A．给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个
B．给定一组数据，那么这组数据的中位数可能是这组中的数，也可能不是
C．给定一组数据，那么这组数据的众数有且只有一个
D．如果一组数据存在众数，那么该众数一定是这组数据中的数
3、当五个整数从小到大排列后，其中位数是6，如果这组数据的唯一众数是7，那么这组数据和的最小值是 ( )
A．21 B．22 C．23 D．29
4、有25位同学参加书画大奖赛，所得的分数两两不等，取前12名同学进入复赛．某同学知道自己的分数后，要判断自己能否进入复赛，他只需知道这25位同学所得的分数的( )
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．最低分数
5、一组数据4，3，4，5，a，3有唯一的众数是a，这组数据的中位数是 ．
6、把17个数按从小到大的顺序排列，其平均数等于中位数，如果这组数中前9个数的平均数是8，后9个数的平均数是10，则这17个数的中位数是______．
7、某校开展了“让图书角丰富起来”的捐书活动，其中七(2)班全体同学的捐书情况如下表：
捐书(本)
2
3
4
6
8
捐款人数(人)
6
14
a
8
3
已知捐书为2本的人数为全班人数的15%，结合上表回答下列问题：
(1) 七(2)班共有多少人？a的值是多少？
(2)学生捐书数量的众数和中位数分别为多少元？
(3)如果把该班学生的捐款情况绘制成扇形统计图，则捐书为4本的人数所对应的扇形圆心角 为多少度？
8、某品牌汽车4S店为了调动销售员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月销售目标，根据目标完成的情况对销售员进行适当的奖惩．为了确定一个适当的目标，4S店销售部统计了每个销售员在同一个月的销售额，制成如图所示的条形统计图：
请你结合统计图解答下列问题：(结果取整数)
(1)月销售额在哪个值的人最多？月销售额的
处于中间的是多少？月平均销售额是多少？
(2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售
额定为多少合适？请说明理由.
【提优特训】
9、数据1，1，4，3，6，3众数是( )
A．1 B．3 C．1， 3 D．无法确定
10、若你所在的班级准备举行联欢会，让你对全班学生喜欢哪几种糖果作了民意调查，确定最终买什么糖果，下面的调查数据中最值得你关注的是( )
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．最高值与最低值的差
11、下列各组数据中平均数、中位数、众数都相同的是( )
A．1，1，2，2 B．3，3，3，5 C．1，2，3，4 D．1，2，2，3
12、已知一组数据(皆为负数)由小到大排列a，b，c，d，e，那么数据0，a， b，c， d，e
的中位数可表示为 .
13、已知一组数据：x，10，12，6的中位数与平均数相等，则x的值是 .
14、已知一组数据按从小到大的顺序排列为2，1，4，，6，16，且这组数据的中位数是5，那么这组数据中的众数是 ，x= .
15、下表是某校八年级(1)班36名学生某次数学测验的成绩统计表：
成绩(分)
71
81
85
95
100
人数
2
6
x
y
3
(1)若这36名学生成绩的平均数为88分，求x和y的值；
(2)在(1)的条件下，设这个班学生本次测验成绩的众数为a，中位数为b，求a，b的值.

16、某校开展一项以班级为单位的投三分球比赛．规则如下：①在三分投篮线外，将球投向筐中， 只要投进一次，该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，直至投进；③若投第n次时才投中，则得分为n；④每班安排5位选手，5人得分之和为该班最终积分，积分最小的班级获胜．为确定参加比赛的人选，初三(1)班组织本班体育爱好者进行了预选赛，有4名同学成绩非常突出，已被确定为参赛选手，班主任通过统计分析，准备从甲、乙两位同学中挑选一人为最后一位选手，他俩的比赛得分如下：
甲同学：3，1，5，4，3，2，3，6，8，5；
乙同学：1，4，3，3，1，3，2，8，3，12．
(1)甲、乙两位同学的平均得分分别是多少？
(2)甲同学得分的中位数、众数分别是多少？
(3)利用你所学习到的统计知识，请你帮助班主任确定最后一位选手，并说明理由．

17、为提高居民节水意识，某节水小组随机统计了一家7天的用水量，并分析了某天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图． (单位：升)
(1)求这7天内这一家每天用水量的平均数和中位数；
(2)扇形图是某一天的用水项目，求①这一天的用水量；②厕所用水占这一天总用水量的百分比；
(3)请你根据统计图中的信息，给这家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后这家一个月(按30天计算)的节约用水量．
18、已知A、B、C、D、E五位同学在一次满分为100分数学测验中，得分都超过91，E同学得96分为第三名，A、B、C三位同学的平均分为95分，B、C、D三位同学平均分为94分，若A同学为第一名，求D同学的分数是多少？
【中考链接】
19、(2018?海南) 4．(3.00分)一组数据：1，2，4，2，2，5，这组数据的众数是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．5
20、(2018?山西、四川遂宁)5.近年来快递业发展迅速 ，下表是2018年1～3月份我省部分地市邮政快递业务量的统计结果(单位：万件) ：
太原市
大同市
长治市
晋中市
运城市
临汾市
吕梁市
3303.78
332.68
302.34
319.79
725.86
416.01
338.87
1～3 月 份 我 省 这 七 个 地 市 邮 政 快 递 业 务 量 的 中位数是( )
A.319.79 万件 B. 332.68 万件 C. 338.87 万件 D. 416.01 万件
21、(2018?泸州、上海)6．(3分)某校对部分参加夏令营的中学生的年龄(单位：岁)进行统计，结果如下表：
年龄
13
14
15
16
17
人数
1
2
2
3
1
则这些学生年龄的众数和中位数分别是(　　)
A．16，15 B．16，14 C．15，15 D．14，15
22、(2018?绵阳) 20.绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：
设销售员的月销售额为x(单位：万元).
销售部规定：当x<16时，为“不称职”，
当 16≤x<20时为“基本称职”，
当 20≤x<25时为“称职”，
当 x≥25时为“优秀”.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全折线统计图和扇形统计图；
(2)求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；
(3)为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一般人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元(结果去整数)？并简述其理由。
参考答案
1、D 2、C 3、C 4、B 5、3.5或4 6、9 9、C 10、C 11、D 12、
13、4或8或16 14、3,34 19、B 20、C 21、A
7、某校开展了“让图书角丰富起来”的捐书活动，其中七(2)班全体同学的捐书情况如下表：
捐书(本)
2
3
4
6
8
捐款人数(人)
6
14
a
8
3
已知捐书为2本的人数为全班人数的15%，结合上表回答下列问题：
(1) 七(2)班共有多少人？a的值是多少？
(2)学生捐书数量的众数和中位数分别为多少元？
(3)如果把该班学生的捐款情况绘制成扇形统计图，则捐书为4本的人数所对应的扇形圆心角为多少度？
7、 解：(1) ∵6÷15%＝40(人)，
∴七(2)班共有40人，
∴a=4061683=9(人).
(2) ∵a=9人，
∴学生捐书数量的众数为3本.
又∵第20个数为3，
第21个数为4，
∴中位数为＝3.5(本)　
(3) 依题意捐书为4本的人数所对应的扇形圆心角的度数为360°×＝81°.
8、某品牌汽车4S店为了调动销售员的积极性，决定实行目标管理，即确定一个月销售目标，根据目标完成的情况对销售员进行适当的奖惩．为了确定一个适当的目标，4S店销售部统计了每个销售员在同一个月的销售额，制成如图所示的条形统计图：
请你结合统计图解答下列问题：(结果取整数)
(1)月销售额在哪个值的人最多？月销售额的
处于中间的是多少？月平均销售额是多少？
(2)如果想确定一个较高的销售目标，你认为月销售
额定为多少合适？请说明理由；
解：(1)因为众数为25万元，所以月销售额在25万元的人最多；
因为中位数是26万元，所以月销售额处于中间的是26万元；
月平均销售额是≈28(万元)；
(2)因为平均数、中位数和众数分别为28万元、26万元和25万元，
而平均数最大，所以月销售额定为每月28万元是一个较高的目标.
15、下表是某校八年级(1)班36名学生某次数学测验的成绩统计表：
成绩(分)
71
81
85
95
100
人数
2
6
x
y
3
(1)若这36名学生成绩的平均数为88分，求x和y的值；
(2)在(1)的条件下，设这个班学生本次测验成绩的众数为a，中位数为b，求a，b的值.
解：(1)根据题意，得2+6+x+y+3=36，
71×2+81×6+85x+95y+100×3=88×36，
解得x=12，y=13.
(2)将这36个数据按从大到小排列，第18个和第19个数都是85，
则中位数b为85分，由表格可知众数a为95分.
16、某校开展一项以班级为单位的投三分球比赛．规则如下：①在三分投篮线外，将球投向筐中，只要投进一次，该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，直至投进；③若投第n次时才投中，则得分为n；④每班安排5位选手，5人得分之和为该班最终积分，积分最小的班级获胜．为确定参加比赛的人选，初三(1)班组织本班体育爱好者进行了预选赛，有4名同学成绩非常突出，已被确定为参赛选手，班主任通过统计分析，准备从甲、乙两位同学中挑选一人为最后一位选手，他俩的比赛得分如下：
甲同学：3，1，5，4，3，2，3，6，8，5；
乙同学：1，4，3，3，1，3，2，8，3，12．
(1)甲、乙两位同学的平均得分分别是多少？
(2)甲同学得分的中位数、众数分别是多少？
(3)利用你所学习到的统计知识，请你帮助班主任确定最后一位选手，并说明理由．
解：(1)甲同学的平均得分是(3+1+5+4+3+2+3+6+8+5)÷10=4，
乙同学的平均数是(1+4+3+3+1+3+2+8+3+12)÷10=4；
(2)把这组数据从小到大排列为1，2，3，3，3，4，5，5，6，8，
最中间两个数的平均数是(3+4)÷2=3.5，
则甲同学得分的中位数是3.5，
3出现了3次，出现的次数最多，
则众数是3；
(3)因为乙同学得分的中位数是3，众数3，
所以乙同学得分的中位数小于甲同学得分的中位数；
则应派乙同学去．
17、为提高居民节水意识，某节水小组随机统计了一家7天的用水量，并分析了某天的用水情况，将得到的数据进行整理后，绘制成如图所示的统计图． (单位：升)
(1)求这7天内这一家每天用水量的平均数和中位数；
(2)扇形图是某一天的用水项目，求①这一天的用水量；②厕所用水占这一天总用水量的百分比；
(3)请你根据统计图中的信息，给这家提出一条合理的节约用水建议，并估算采用你的建议后这家一个月(按30天计算)的节约用水量．
17、(1)这7天内这家每天用水量的平均数为=795(升)，
将这7天的用水量从小到大重新排列为：735、775、795、800、810、815、835，
∴用水量的中位数为800升；
(2)①260÷32.5%=800，
厕所用水占这一天总用水量的百分比为110%12.5%15%32.5%=30%.
(3)这家冲厕所的用水量较大，可以将洗衣服的水留着冲厕所，采用以上建议，每天可节约用
水120升，一个月估计可以节约用水120×30=3600升．
18、已知A、B、C、D、E五位同学在一次满分为100分数学测验中，得分都超过91，E同学得96分为第三名，A、B、C三位同学的平均分为95分，B、C、D三位同学平均分为94分，若A同学为第一名，求D同学的分数是多少？
解：A、B、C三位同学总分为：95×3=285(分)，
B、C、D三位同学总分为：94×3=282(分)，
A同学得分比D同学得分多：285282=3(分).
因为A第一，所以A可能是97分 ，98分， 99 分，100分.
则D可能是94分， 95分， 96 分 ，97 分.
下面根据A、C分数的猜想，进行列式：
若A=97， D=94 ，E=96 则B=94 ，C=94(不可行)；
若A=98， D=95， E=96 则B=92， C=95(不可行)；
若A=99， D=96， E=96 则B=90， C=96(不可行)；
若A=100， D=97 ，E=96 则B=92， C=93(或者是B=93， C=92)(可行)；
答：D的成绩为97分.
22、(2018?绵阳) 20.绵阳某公司销售统计了每个销售员在某月的销售额，绘制了如下折线统计图和扇形统计图：
设销售员的月销售额为x(单位：万元).
销售部规定：当x<16时，为“不称职”，
当 16≤x<20时为“基本称职”，
当 20≤x<25时为“称职”，
当 x≥25时为“优秀”.
根据以上信息，解答下列问题：
(1)补全折线统计图和扇形统计图；
(2)求所有“称职”和“优秀”的销售员销售额的中位数和众数；
(3)为了调动销售员的积极性，销售部决定制定一个月销售额奖励标准，凡月销售额达到或超过这个标准的销售员将获得奖励。如果要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一般人员能获奖，月销售额奖励标准应定为多少万元(结果去整数)？并简述其理由。
【答案】(1)解：(1)依题可得：
“不称职”人数为：2+2=4(人)，
“基本称职”人数为：2+3+3+2=10(人)，
“称职”人数为：4+5+4+3+4=20(人)，
∴总人数为：20÷50%=40(人)，
∴不称职”百分比：a=4÷40=10%，
“基本称职”百分比：b=10÷40=25%，
“优秀”百分比：d=110%25%50%=15%，
∴“优秀”人数为：40×15%=6(人)，
∴得26分的人数为：6211=2(人)，
补全统计图如图所示：
(2)由折线统计图可知：“称职”20万4人，21万5人，22万4人，23万3人，24万4人，
“优秀”25万2人，26万2人，27万1人，28万1人；
“称职”的销售员月销售额的中位数为：22万，众数：21万；
“优秀”的销售员月销售额的中位数为：26万，众数：25万和26万；
(3)由(2)知月销售额奖励标准应定为22万.
∵“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数为：22万，
∴要使得所有“称职”和“优秀”的销售员的一半人员能获奖，月销售额奖励标准应定为22万元.
【考点】扇形统计图，折线统计图，中位数，众数
【解析】【分析】(1)由折线统计图可知：“称职”人数为20人，由扇形统计图可知：“称职”百分比为50%，根据总人数=频数÷频率即可得，再根据频率=频数÷总数即可得各部分的百分比，从而补全扇形统计图；由频数=总数×频率可得“优秀”人数为6人，结合折线统计图可得
得26分的人数为2人，从而补全折线统计图.(2)由折线统计图可知：“称职”和“优秀”各人数，再根据中位数和众数定义即可得答案.(3)由(2)知“称职”和“优秀”的销售员月销售额的中位数，根据题意即可知月销售额奖励标准.