第4章 平行四边形单元培优测试题(含解析)

浙教版八下数学第4章《平行四边形》单元培优测试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案．下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是(???? )
A. B. C. D.
2.一个正n边形的每一个外角都是36°，则n=（?? ）
A.?7???????????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????????C.?9???????????????????????????????????????????D.?10
3.下列选项中，可以用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例是（? ）
A.?a=-2?????????????????????????????????? B.?a=-1?????????????????????????????????? C.?a= 1?????????????????????????????????? D.?a=2
4.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于E，∠AEB=25°，则∠A的大小为(?? )
A.100° B.120° C.130° D.150°
5.如图，在□ABCD中，点M为CD的中点，且DC=2AD，则AM与BM的夹角的度数为（ ??）
A.100° B.95° C.90° D.85°
6.如图，在?ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若?ABCD的周长为20，则△CED的周长为(????? )
A.5 B.10 C.15 D.20
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D是AC上一个动点，以AB为对角线的所有平行四边形ADBE中，线段DE的最小值是（??? ）
A.4 B.2 C.2 D.6
8.把一张长方形纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个多边形，则这个多边形的内角和不可能是（? ??）
A.?720°????????????????????????????????????B.?540°????????????????????????????????????C.?360°????????????????????????????????????D.?180°
9.如图，在平行四边形ABCD中，∠C=120°，AD=2AB=4，点H、G分别是边CD、BC上的动点．连接AH、HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为（? ?）
A.?1????????????????????????????????????B.?﹣1????????????????????????????????????C.?????????????????????????????????????D.?2﹣
10.如图，平行四边形ABCD中，AB∶BC=3∶2，∠DAB=60°，E在AB上，且AE∶EB=1∶2，F是BC的中点，过D分别作DP⊥AF于P，DQ⊥CE于Q，则DP∶DQ等于（??? ）
A.?3∶4???????????????????????B.?∶ ????????????????????????C.?∶ ????????????????????????D.?∶


二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.如图所示，在四边形ABCD中，∠A=80°，∠C=75°，∠ADE为四边形ABCD的一外角，且∠ADE=125°，则∠B=________.
12.如图，平行四边形 中， 、 相交于点 ，若 ， ，则 的周长为________.
13.如图：在△ABC中，AB=13，BC=12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE=2.5，那么△ACD的周长是________．
14.如图，AB＝12，AB⊥BC于点B， AB⊥AD于点A，AD＝5，BC＝10，E是CD的中点，则AE的长是____________．
15.? 如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点0,AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点,连接EF,∠CEF=45°EM⊥BC于点M,EM交BD于点N,FN= ,则线段BC的长为________.
16.如图，在?ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边AD、AB上的点，连结OE、OF、EF．若AB=7，BC=5 ，∠DAB=45°，则△OEF周长的最小值是________．

三、解答题（本大题有8小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17（8分）如图,在?ABCD中,BE⊥AC,垂足E在CA的延长线上,DF⊥AC,垂足F在AC的延长线上,求证:AE=CF.

18.（8分）如图，点B、F、C、E在一条直线上，FB=CE，AB∥ED，AC∥FD，AD交BE于O．求证：AD与BE互相平分．
19.（10分）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．
20.（8分）如图，在等腰△ABC中，∠ACB= 90°，点D为CB延长线上一点，过A作AE⊥AD，且AE= AD，BE与AC的延长线交于点P，求证：PB= PE.
21.（10分）如图，在?ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．
（1）求证：△AED≌△CFB；
（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．
22.（10分）如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形；
（2）若∠ABC=60°，BD=4，求平行四边形ADEF的面积．
23.（12分）我们把能平分四边形面积的直线称为“好线”．利用下面的作图，可以得到四边形的“好线”：如图1四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA，OC，显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE∥AC交CD于E，则直线AE即为一条“好线”．
（1）如图1，试说明直线AE是“好线”的理由；
（2）如图2，AE为一条“好线”，F为AD边上的一点，请作出经过F点的“好线”，并说明理由；
（3）如图3，五边形ABCDE是一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图3所示的形状，但原块土地与开垦荒地的分界小路（折线CDE）还保留着，现在请你过E点修一条直路．要求直路左边的土地面积与原来一样多（只需对作图适当说明无需说明理由）
浙教版八下数学第4章《平行四边形》单元培优测试题
答案解析
一、单选题
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】A
4.【答案】 C
5.【答案】 C
6.【答案】 B
7.【答案】 A
8.【答案】A
9.【答案】C
10.【答案】 D
二、填空题
11.【答案】 150°
12.【答案】14
13.【答案】18
14.【答案】6.5
15.【答案】
16.【答案】
三、解答题
17.【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴180°?∠BAC=180°?∠DCA，
即∠EAB=∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°，
在△BEA和△DFC中,
?，
∴△BEA≌△DFC(AAS)，
∴AE=CF.
18.【答案】证明：如图，连接BD，AE， ∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分
19.【答案】解：∵如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， ∴BC2=AB2+AC2 ， ∴∠BAC=90°，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAE=150°．∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC．在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC=DF=AE=4，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB=EF=AD=3，∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，∴S?AEFD=AD?（DF?sin30°）=3×（4× ）=6．答四边形AEFD的面积是6．
20.【答案】证明：解法1：过E作EF⊥AC，垂足为F，连接BF，CE ∵ AE⊥AD，∠ACB = 90° ∴∠EAF+∠CAD=90°，∠D+∠CAD=90° ∴∠EAF=∠D 又∵∠AFE=∠ACB=90°，AE=AD ∴ △AFE ≌△DCA（AAS） ∴ EF=AC=BC ∵ BC⊥AC，EF⊥AC ∴ EF∥BC ∴ EF BC ∴ 四边形BCEF为平行四边形 ∴ PB = PE. 解法2：∵ AD = AE且AD⊥AE ∴ 可将△ADB绕点A逆时针旋转90°至△AEH， 由旋转性质得AH=AB且AH⊥AB ∴ △BAH为等腰直角三角形，∠ABH= 45° 又∵ △ACB中，∠ACB=90°，AC=BC ∴∠ABC=45° ∴∠ABH = ∠ABC，则B、C、H三点共线 ∴ AP垂直平分BH ∴ PH = PB ∴∠PBH =∠PHB 又由旋转性质得EH⊥BD，即EH⊥BH ∴∠PHE=90°－∠PHB，∠PEH=90°-∠PBH， ∴∠PEH=∠PHB ∴ PH=PE ∴ PB=PE.
21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，AD//CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，
在△AED和△CFB中，∠ADE=∠CBD，AD=BC，∠A=∠C，∴△AED≌△CFB（ASA）
（2）解：作DH⊥AB，垂足为H，
在R t△ADH在，∠A=30°，∴AD=2DH，
在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，
∵∠EDB=∠FBD=90°，∴DE//BF，又∵DC//AB，∴四边形DEBF是平行四边形，
∴FD=BE，∴DA=DF.
22.【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE；
∵BE=AF，
∴AF=DE；
∴四边形ADEF是平行四边形
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG= BD= ×4=2，
∵BE=DE，
∴BH=DH=2，
∴BE= = ，
∴DE= ，
∴四边形ADEF的面积为：DE?DG= ．
23.【答案】（1）解：∵点O是BD的中点，
∴S△AOB=S△AOD ， S△BOC=S△DOC ，
∴S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC= S四边形ABCD ，
∴S四边形ABCO= S四边形ABCD ．
∴折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
设AE交OC于F．
∵OE∥AC，
∴S△AOE=S△COE ，
∴S△AOF=S△CEF ，
∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”．
（2）解：连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．
∵AG∥EF，
∴S△AGE=S△AFG ．
设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE ，
又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．
（3）解：如图3，
连接CE，过点D作DF∥EC交CM于F，连接EF，即EF为所修的直路，
理由：过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥EC于H，
∵DF∥EC，∴DG=FH（夹在平行线间的距离处处相等），
∵S△CDE= EC×DG，S△CEF= EC×FH，
∴S△CDE=S△CEF ，
∴S四边形ABCDE=S四边形ABCE+S△CDE=S四边形ABCE+S△CEF=S五边形ABCFE ．
即：直路左边的土地面积与原来一样多．
浙教版八下数学第4章《平行四边形》单元培优测试题
答案解析
一、单选题
1.【答案】B
【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B、此图案不是轴对称图形，但是中心对称图形，故B符合题意；C、此图案不是中心对称图形，故C不符合题意；D、此图案既是中心对称图形，又是轴对称图形，故D不符合题意；故答案为：B【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，轴对称图形是图形沿某一直线折叠，直线两旁的部分完全重合，据此对各选项逐一判断，就可得出是中心对称图形，但不是轴对称图形的选项。
?
2.【答案】D
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：由多边形的外角和为360°可得，则该正n边形的外角和也为360°；
∵该多边形为正n边形，
∴每个外角都相等，且外角的个数是n个，
则n= ，
故答案为:D．
【分析】由正多边形外角都相等，且外角和为360°可求得n的值．
3.【答案】A
【考点】反证法
【解析】【解答】用来证明命题“若a2＞1，则a＞1”是假命题的反例可以是：a=-2，
∵（-2）2＞1，但是a=-2＜1，
∴A符合题意；
故答案为：A．
【分析】此题实际上是用举例子的方法来证明结论的错误性，只要举出的例子满足 a2＞1，但又不满足a＞1 即可。
4.【答案】 C
【考点】角的平分线，三角形内角和定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．
∵∠ABC的平分线交AD于E，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB=25°，∴∠A=180°-∠ABE-∠AEB=130°．故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质得出∴AD∥BC，∴∠AEB=∠CBE．根据角平分线性质得出∠ABE=∠CBE=∠AEB=25°，根据三角形内角和得出答案。
5.【答案】 C
【考点】平行线的性质，等腰三角形的性质，平行四边形的性质
【解析】【解答】□ABCD中，
∴DC∥AB，AD∥BC，
∴∠DAB+∠CBA=180°，∠BAM=∠DMA，
∵点M为CD的中点，且DC=2AD，
∴DM=AD，
∴∠DMA=∠DAM，
∴∠DAM=∠BAM，
同理∠ABM=∠CBM，
即：
∴∠AMB=180°-90°=90°．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的性质得出DC∥AB，AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAB+∠CBA=180°，∠BAM=∠DMA， 根据等腰三角形的性质得出∠DMA=∠DAM，根据等量代换得出∠DAM=∠BAM，同理∠ABM=∠CBM，所以即∠AMB=180°-90°=90°．
6.【答案】 B
【考点】线段垂直平分线的性质，平行四边形的性质
【解析】【解答】∵对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E. O，
∴AE=CE，
∵?ABCD的周长为20，
∴AD+DC=10，
∴=4，
∴△CDE的周长为CD+ED+CE=CD+AD=10，
故答案为：B.
【分析】根据平行四边形的性质得出AD+DC=10，根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，△CDE的周长为CD+ED+CE=CD+AD=10，
7.【答案】 A
【考点】垂线段最短，三角形中位线定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B=90°，
∴BC⊥AC，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴OD=OE，OA=OB，
∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC.
∴OD∥CB.
又点O是AB的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD= CB=2，
∴ED=2OD=4.
故答案为：A.
【分析】根据平行四边形对角线互相平分得出OD=OE，OA=OB，根据垂线段最短得出OD⊥BC.根据三角形的中位线得出OD= CB=2，所以得出ED=2OD=4.
8.【答案】A
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，故这个多边形的内角和可能是180°或360°或540°，而不可能是720°故答案为：A
【分析】把一张形状是矩形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，再根据多边形的内角和定理判断即可。
9.【答案】C
【考点】含30度角的直角三角形，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】如图，取AD的中点M，连接CM、AG、AC，作AN⊥BC于N．
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BCD=120°，
∴∠D=180°-∠BCD=60°，AB=CD=2，
∵AM=DM=DC=2，
∴△CDM是等边三角形，
∴∠DMC=∠MCD=60°，AM=MC，
∴∠MAC=∠MCA=30°，
∴∠ACD=90°，
∴AC=2 ，
在Rt△ACN中，∵AC=2 ，∠ACN=∠DAC=30°，
∴AN= AC= ，
∵AE=EH，GF=FH，
∴EF= AG，
易知AG的最大值为AC的长，最小值为AN的长，
∴AG的最大值为2 ，最小值为 ，
∴EF的最大值为 ，最小值为 ，
∴EF的最大值与最小值的差为 ．
【分析】添加辅助线构成等边三角形含30度的直角三角形再利用三角形中位线的定理可以求出最大值与最小值再求差
10.【答案】 D
【考点】三角形的面积，平行四边形的性质
【解析】【解答】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，
根据三角形的面积和平行四边形的面积得出 ，
即 AF×DP= CE×DQ，求出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，
则BF=a，BE=2a，BN= a，BM=a，FN= a，CM= a，
求出AF= a，CE=2 a，代入可得 a?DP=2 a?DQ，
即DP：DQ=2 ： ．
故答案为：D．
【分析】连接DE、DF，过F作FN⊥AB于N，过C作CM⊥AB于M，根据三角形的面积和平行四边形的面积得出 S △ DEC = S △ DFA =?S 平 行 四 边 形 ABCD，从而得出AF×DP=CE×DQ，设AB=3a，BC=2a，进一步表示出BF,BE,BN,BM,FN,CM,从而求出AF,CE,再代入AF×DP=CE×DQ即可得出DP：DQ的值。
二、填空题
11.【答案】 150°
【考点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∠ADC=180°-∠ADE=55°， 根据四边形的内角和为360°，可得出∠B=360°-80°-75°-55°=150°. 故答案为：150°. 【分析】根据平角为180°以及四边形的内角和为360°，可计算出∠B的度数。
12.【答案】14
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴AC=2CO，BD=2BO,AD=BC=6∵AC+BD=16∴2CO+2BO=16，即CO+BO=8∴△BOC的周长=OB+OC+BC=8+6=14故答案为：14【分析】根据平行四边形的性质，可得出AC=2CO，BD=2BO,AD=BC=6，再求出CO+BO的值，就可求出△BOC的周长。
13.【答案】18
【考点】直角三角形斜边上的中线，勾股定理的逆定理，三角形中位线定理
【解析】【解答】∵D，E分别是AB，BC的中点，∴AC=2DE=5，AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2 ， ∴∠ACB=90°，∴DC=BD=AD=6.5，∴△ACD的周长=AC+AD+CD=18，故答案为18．【分析】根据三角形中位线的定义得出AC=2DE=5，然后利用勾股定理的逆定理判断出∠ACB=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出DC=BD=AD=6.5，再根据周长的计算方法算出答案。
14.【答案】6.5
【考点】直角三角形斜边上的中线，三角形中位线定理，矩形的性质
【解析】【解答】如图，延长DA，过点C作CF⊥DA于点F，在AF上取AG=DA
则易知AE是△CDG中CG边上的中位线，且四边形ABCF为矩形
∴AF=BC=10，CF=AB=12
又∵AG=AD=5，
∴FG=5
∴在Rt△CGF中，CG=13
∴AE=0.5CG=6.5
【分析】延长DA，过点C作CF⊥DA于点F，在AF上取AG=DA，易证AE是△CDG中CG边上的中位线，且四边形ABCF为矩形，就可求出AF、CF、AG的长，再求出GF，然后利用勾股定理求出CG的长，利用三角形的中位线定理求出AE的长。
15.【答案】
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接BE，∵平行四边形ABCD∴AD∥BC，AD=BC∵AB=OB，点E时OA的中点∴BE⊥OA∵点E、点F分别是OA、OD的中点∴EF是△AOD的中位线∴ ∴∠FEN=∠BMN=90°∴∠CEF=∠ECB=45°∴△BEC是等腰直角三角形∵EM⊥BC即EM是斜边BC边上的高 ∴EF=BM在△FEN和△BMN中 ∴△FEN≌△BMN∴EN=MN即EF=2EN，BC=4EN在Rt△FEN中，EN2+EF2=FN2∴EN2+4EN2=10， 【分析】根据已知条件先证明BE⊥AC，再证EF是△AOD的中位线，根据∠CEF=45°，可证得△BEC是等腰直角三角形，可证得EF=BM，然后证明△FEN≌△BMN，证得EF=2EN，利用勾股定理求出EN的长，就可求出BC的长。
16.【答案】
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质，轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】作点O关于AB的对称点M，点O关于AD的对称点N，连接MN交AB于F交AD于E，则△OEF周长的最小，
△OEF周长的最小值=MN，
由作图得：AN=AO=AM，∠NAD=∠DAO，∠MAB=∠BAO，
∵∠DAB=45°，
∴∠MAN=90°，
过D作DP⊥AB于P，
则△ADP是等腰直角三角形，
∴AP=DP= AD，
∵AD=BC=5 ，
∴AP=DP=5，
∵OM⊥AB于Q，
∴OQ∥DP，
∵OD=OB，
∴OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，
∴AQ=6，
∴AO= = = ，
∴AM=AN=AO= ，
∴MN= AM= ，
∴△OEF周长的最小值是
【分析】根据轴对称-最短路线得出△OEF周长的最小值=MN，因为△ADP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到AP=DP= AD，求得AP=DP=5，根据三角形的中位线的性质得到OQ= DP= ，BQ= BP= （AB﹣AF）=1，根据勾股定理得到AO= = = ，然后根据等腰直角三角形的性质得到答案。
三、解答题
17.【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAC=∠DCA，
∴180°?∠BAC=180°?∠DCA，
即∠EAB=∠FCD，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴∠BEA=∠DFC=90°，
在△BEA和△DFC中,
?，
∴△BEA≌△DFC(AAS)，
∴AE=CF.
【考点】对顶角、邻补角，三角形全等的判定，平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出 AB∥CD，AB=CD， 根据两直线平行内错角相等得出∠BAC=∠DCA， 根据邻补角定义得出 180°?∠BAC=180°?∠DCA， 即 ∠EAB=∠FCD，根据三角形全等判定（AAS）得出 △BEA≌△DFC ，所以 AE=CF.
18.【答案】证明：如图，连接BD，AE， ∵FB=CE，∴BC=EF，又∵AB∥ED，AC∥FD，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA），∴AB=DE，又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AD与BE互相平分
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连接BD，AE，根据等式的性质由FB=CE，得出BC=EF，根据二直线平行，内错角相等得出∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE，然后利用ASA判断出△ABC≌△DEF，根据全等三角形对应边相等得出AB=DE，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分即可得出结论。
19.【答案】解：∵如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5， ∴BC2=AB2+AC2 ， ∴∠BAC=90°，∵△ABD，△ACE都是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAE=150°．∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴∠DBF+∠FBA=∠ABC+∠ABF=60°，∴∠DBF=∠ABC．在△ABC与△DBF中，，∴△ABC≌△DBF（SAS），∴AC=DF=AE=4，同理可证△ABC≌△EFC，∴AB=EF=AD=3，∴四边形DAEF是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）．∴∠FDA=180°﹣∠DAE=30°，∴S?AEFD=AD?（DF?sin30°）=3×（4× ）=6．答四边形AEFD的面积是6．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件易证△ABC≌△DBF，△ABC≌△EFC，就可证得AD=EF，DF=A利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，从而可判断四边形AEFD为平行四边形，再由勾股定理的逆定理判定∠BAC=90°，则∠DAE=150°，易求∠FDA=30°，然后平行四边形的面积公式即可解答。
20.【答案】证明：解法1：过E作EF⊥AC，垂足为F，连接BF，CE ∵ AE⊥AD，∠ACB = 90° ∴∠EAF+∠CAD=90°，∠D+∠CAD=90° ∴∠EAF=∠D 又∵∠AFE=∠ACB=90°，AE=AD ∴ △AFE ≌△DCA（AAS） ∴ EF=AC=BC ∵ BC⊥AC，EF⊥AC ∴ EF∥BC ∴ EF BC ∴ 四边形BCEF为平行四边形 ∴ PB = PE. 解法2：∵ AD = AE且AD⊥AE ∴ 可将△ADB绕点A逆时针旋转90°至△AEH， 由旋转性质得AH=AB且AH⊥AB ∴ △BAH为等腰直角三角形，∠ABH= 45° 又∵ △ACB中，∠ACB=90°，AC=BC ∴∠ABC=45° ∴∠ABH = ∠ABC，则B、C、H三点共线 ∴ AP垂直平分BH ∴ PH = PB ∴∠PBH =∠PHB 又由旋转性质得EH⊥BD，即EH⊥BH ∴∠PHE=90°－∠PHB，∠PEH=90°-∠PBH， ∴∠PEH=∠PHB ∴ PH=PE ∴ PB=PE.
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，图形的旋转，旋转的性质，直角三角形的性质
【解析】【分析】解法1： 过E作EF⊥AC，垂足为F，连接BF，CE ，由互余性质可知∠EAF=∠D ，再结合条件利用AAS可得△AFE ≌△DCA ，从而有EF=AC=BC ，此时易得四边形BCEF为平行四边形 ，根据平行四边形对角线互相平分即可得证；解法2：由条件可将△ADB绕点A逆时针旋转90°至△AEH， 根据旋转性质易得△BAH为等腰直角三角形，借助等腰三角形性质可知B、C、H三点共线，从而有AP垂直平分BH 、PH=PB，在Rt△BHE中利用等边对等角及互余性质又得PH=PE，据此即可得证。
四、综合题
21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=CB，∠A=∠C，AD//CB，
∴∠ADB=∠CBD，
∵ED⊥DB，FB⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°，∴∠ADE=∠CBF，
在△AED和△CFB中，∠ADE=∠CBD，AD=BC，∠A=∠C，∴△AED≌△CFB（ASA）
（2）解：作DH⊥AB，垂足为H，
在R t△ADH在，∠A=30°，∴AD=2DH，
在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH，
∵∠EDB=∠FBD=90°，∴DE//BF，又∵DC//AB，∴四边形DEBF是平行四边形，
∴FD=BE，∴DA=DF.
【考点】三角形全等的判定，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质得出AD=CB，∠A=∠C，AD//CB，进而得出∴∠ADB=∠CBD，再根据垂直的定义得出∠EDB=∠FBD=90，进而得出∠ADE=∠CBF，然后证明△AED≌△CFB.（2）作DH⊥AB，垂足为H，构造直角三角形，根据直角三角形中30°角对的直角边等于斜边的一半，得出AD=2DH，根据∠DEB=45，得出三角形DEB是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质?得出EB=2DH，根据平行四边形的对边相等即可求解。
22.【答案】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠DBE，
∵DE∥AB，
∴∠ABD=∠BDE，
∴∠DBE=∠BDE，
∴BE=DE；
∵BE=AF，
∴AF=DE；
∴四边形ADEF是平行四边形
（2）解：过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，
∵∠ABC=60°，BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠EBD=30°，
∴DG= BD= ×4=2，
∵BE=DE，
∴BH=DH=2，
∴BE= = ，
∴DE= ，
∴四边形ADEF的面积为：DE?DG= ．
【考点】平行四边形的判定，解直角三角形，平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形ADEF是平行四边形；（2）过点D作DG⊥AB于点G，过点E作EH⊥BD于点H，解直角三角形BDG可求得DG；解直角三角形BEH可求得BE，而BE=DE，则平行四边形ADEF的面积=DE?DG可求解。
23.【答案】（1）解：∵点O是BD的中点，
∴S△AOB=S△AOD ， S△BOC=S△DOC ，
∴S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC= S四边形ABCD ，
∴S四边形ABCO= S四边形ABCD ．
∴折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
设AE交OC于F．
∵OE∥AC，
∴S△AOE=S△COE ，
∴S△AOF=S△CEF ，
∵折线AOC能平分四边形ABCD的面积，
∴直线AE平分四边形ABCD的面积，即AE是四边形ABCD的一条“好线”．
（2）解：连接EF，过A作EF的平行线交CD于点G，连接FG，则GF为一条“好线”．
∵AG∥EF，
∴S△AGE=S△AFG ．
设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE ，
又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”．
（3）解：如图3，
连接CE，过点D作DF∥EC交CM于F，连接EF，即EF为所修的直路，
理由：过点D作DG⊥CE于G，过点F作FH⊥EC于H，
∵DF∥EC，∴DG=FH（夹在平行线间的距离处处相等），
∵S△CDE= EC×DG，S△CEF= EC×FH，
∴S△CDE=S△CEF ，
∴S四边形ABCDE=S四边形ABCE+S△CDE=S四边形ABCE+S△CEF=S五边形ABCFE ．
即：直路左边的土地面积与原来一样多．
【考点】平行线之间的距离
【解析】【分析】（1）首先作AH⊥BC，垂足为H．依据三角形的面积公式可得到S△ABD=BD?AH，S△ADC=DC?AH，然后结合条件BD=CD，可得到S△ABD=S△ADC ， 再判断出S四边形ABCO=S四边形ABCD ， 进而判断出S△AOE=S△COE ， 推出S△AOF=S△CEF ， 即可推出直线AE平分四边形ABCD的面积；（2）首先连接EF，FG，然后过点A作EF的平行线交CD于点G，由AG∥EF，推出S△AGE=S△AFG ． 设AE与FG的交点是O．则S△AOF=S△GOE ， 又AE为一条“好线”，所以GF为一条“好线”，（3）首先连接CE，EF，然后过点D作DF∥EC交CM于F，然后依据夹在平行线间的距离处处相等得出DG=FH，于是可得到S△CDE=S△CEF.