3.3 方差和标准差（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第3章数据分析初步
3.3 方差和标准差
【知识清单】
在评价数据的稳定性时，我们通常将各数据偏离平均数的波动程度作为指标.
一、方差：
一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这组数据的方差.
方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.
二、标准差:
一组数据的方差的算术平方根称为这组数据的标准差.
【经典例题】
例题1、如果样本方差，那么这个样本的平均数为________，样本容量为________．
【考点】方差.
【分析】先根据方差公式中所以字母所代表的意义，n是样本容量，是样本中的平均数进行解答即可．
【解答】解：∵在公式中，平均数是，样本容量是n，
∴在中，
这个样本的平均数为3，样本容量为12.
【点评】此题考查了样本方差意义，解题的关键是根据方差的定义以及公式中各个字母所表示的意义进行解答．
例题2、已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是5，方差是，那么另一组数据2x14，2x24，2x34，2x44，2x54，2x64的平均数是 ，方差是 .
? 【考点】方差．
【分析】根据平均数公式与方差公式即可求解．
【解答】∵据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是5，
∴=5
∵数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的平均数是5，方差是，
∴ [(x15)2+(x25)2+(x35)2+(x45)2+(x55)2+(x65)2]= ①；
∴2x14，2x24，2x34，2x44，2x54，2x64的平均数是

=2×4=6.
∴ [(2x146)2+(2x246)2+(2x346)2+(2x446)2+(2x546)2+(2x646)2]
= [4(x15)2+4(x25)2+4(x35)2+4(x45)2+4(x55)2+4(x65)2]
=4× [(x15)2+(x25)2+[(x35)2+(x45)2+(x55)2+(x65)2]②
把①代入②得，方差是：×4=1．
故答案为：6，1．
【点评】本题考查了平均数的计算公式和方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为，则，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动越大.
【夯实基础】
1、要判断某位同学的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近几次数学考试成绩的(　　)
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
2、对一组数据，有如下的判断：，①如果一组数据的标准差等于零，则这组中的每个数据都相等；②分别用一组数据中的每一个数减去平均数，再将所得的差相加．若和为零，则标准差为零；③在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的平均数不变；④在一组数据中去掉一个等于平均数的数，这组数据的标准差不变，其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3、一组数据， 如果每个数据都扩大到原来的5倍，那么这组数据的平均数，方差，标准差的变化是( )
A．依次为5倍、25倍、5倍 B．依次为5倍、10倍、5倍
C．依次为5倍、5倍、25倍 D．依次为5倍、5倍、倍
4、数据2，2，x，4，4有唯一的众数，则其中位数和方差分别为(　　)
A、3或4和4.8 B、2或4和4.8或5.6
C、2或4和4.8 D、3或4和4.8或5.6
5、样本3，4，0，1，2的方差是______，标准差是______．
6、一组数据的方差为0，其中一个数据为a，则它们的中位数和众数为____________．
7、A，B两所学校各派一个由10名学生组成的代表队参加环保知识比赛，共10道题，答对8题(含8题)以上为优秀，答对题数统计如下：
答对题数
5
6
7
8
9
10
平均数
中位数
众数
方差
优秀率
甲组
1
0
1
5
2
1
8
8
8
1.6
80%
乙组
0
0
4
3
2
1
(1)请你完成上表；(2)根据所学的统计知识，从不同方面评价甲、乙两组选手的成绩.
8、甲、乙两人参加射击选拔赛，五次射击得分情况(单位：环)如图所示：
(1)分别求出两人得分的平均环数与方差；
(2)根据图示(如图)和上面算的结果，
对两人的射击成绩作出评价．
(3)要从两人中选一人参加集训队，
你认为选哪位较合适？
【提优特训】
9、已知一组数据6，4，4，8，6，3，5，6，则这组数据的极差和众数为( )
A. 5和4 B. 3和6 C. 5和6 D. 4和6
10、已知一组数据2，x，0，2，3的平均数是0，那么这组数据的方差是( )
A． B．0 C．26 D．10
11、甲、乙是个数相同的两组数据，且它们的平均数相同，甲、乙两组数据的方差分别为3.5和5.5， 若将甲乙两组数据合成一组数据，则合成后的数据的标准差为( )
A．3.5 B．5.5 C．4 D．2
12、某篮球队5名场上队员的身高(单位：)是：188，190，192，194，195.现用一名身高为189cm的队员换下场上身高为194cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大
C. 平均数变大，方差变小 D. 平均数变大，方差变大
13、若数据a，b，c，d的平均数为e，方差为2.5，则数据a，b，c，d，e的方差为 .
14、已知样本x1，x2，x3，…，xn的平均数为2，方差是，那么样本5x13，5x23，5x33，…，5xn3的平均数为 ，方差为 .
15、如果一组数据从小到大顺序排列为4、6、7、x、9、11，且其平均数与中位数相同，那么这组数据的方差 ，标准差约为 .
16、从甲、乙两种棉花苗中各抽10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲：15，18，15，17，19，20，19，16，15，18；
乙：16，16，15，17，17，18，19，20，21，17.
(1)哪种棉花苗长得高些？(2)哪种棉花苗长得整齐？
17、随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高，外出旅游已成为时尚．某社区为了了解家庭旅游消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调査，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调査的家庭有　 　户，表中 a=　 　；
(2)本次调查数据的中位数出现在　B　组．扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角是　 　度；
(3)若这个社区有2700户家庭，请你估计家庭年旅游消费8000元以上的家庭有多少户？
组别
家庭年旅游消费金额x(元)
户数
A
x≤4000
27
B
4000< x≤8000
a
C
8000< x≤12000
24
D
12000< x≤16000
14
E
x>16000
6
18、某次测验后，数学老师对所带的八年级(1)班和(2)班学生的成绩统计如下表所示：
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
八年级(1)班
1
6
10
13
15
5
八年级(2)班
2
6
11
11
11
9
请你根据你所学过的知识，对这两个班的数学成绩的优劣进行判断，并说明理由．
【中考链接】
19、 (2018?河北)9．(3.00分)为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机
抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为：==13，==15：==3.6，
==6.3．则麦苗又高又整齐的是(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
20、(2018?河南) 5．(3分)河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分
别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正确的是(　　)
A．中位数是12.7% B．众数是15.3%
C．平均数是15.98% D．方差是0
21、(2018?潍坊) 某篮球队10名队员的年龄结构如下表，已知该队队员年龄的中位数为21.5，则众数与方差分别为( )
年龄
19
20
21
22
24
26
人数
1
1
x
y
2
1
A. 22，3 B. 22，4 C. 21，3 D. 21，4
22、(2018?浙江舟山)20．(8分)某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况(尺寸范围为176mm～185mm的产品为合格)，随机各抽取了20个样品进行检测，过程如下：收集数据(单位：mm)
甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180．
乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183．
整理数据：
组别
频数
165.5～170.5
170.5～175.5
175.5～180.5
180.5～185.5
185.5～190.5
190.5～195.5
甲车间
2
4
5
6
2
1
乙车间
1
2
a
b
2
0
分析数据：
车间
平均数
众数
中位数
方差
甲车间
180
185
180
43.1
乙车间
180
180
180
22.6
应用数据：
(1)计算甲车间样品的合格率．
(2)估计乙车间生产的1000个该款新产品中合格产品有多少个？
(3)结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的新产品更好，并说明理由．
参考答案
1、D 2、B 3、A 4、C 5、30， 6、a和a 9、C 10、C 11、D 12、A
13、2 14、7，5 19、D 20、B 21、D
7、A，B两所学校各派一个由10名学生组成的代表队参加环保知识比赛，共10道题，答对8题(含8题)以上为优秀，答对题数统计如下：
答对题数
5
6
7
8
9
10
平均数
中位数
众数
方差
优秀率
甲组
1
0
1
5
2
1
8
8
8
1.6
80%
乙组
0
0
4
3
2
1
(1)请你完成上表；(2)根据所学的统计知识，从不同方面评价甲、乙两组选手的成绩.
解：(1)表格如下：
平均数
中位数
众数
方差
优秀率
8
8
8
1.6
80%
8
8
7
1.0
60%
(2)从平均数、中位数看：都是8题，成绩相等；
从众数看：甲组8题，乙组7题，甲比乙好；
从方差看：甲成绩差距大，乙相对稳定；
从优秀率看：甲比乙好。
8、甲、乙两人参加射击选拔赛，五次射击得分情况(单位：环)如图所示：
(1)分别求出两人得分的平均环数与方差；
(2)根据图示(如图)和上面算的结果，对两人的射击成绩作出评价．
(3)要从两人中选一人参加集训队，你认为选哪位较合适？
(1)甲的平均环数为：=(8+7+9+8+10)=8.4(环)，
乙的平均环数为：=(9+7+7+9+10)=8.4(环)，
?=1.04，=1.44.
(2)甲的平均环数=乙的平均环数，
<，
甲、乙两人五次射击的平均环数相同，但甲的方差比乙的方差小，因此甲的成绩比乙的稳定．
(3)尽管甲乙两人五次射击的平均成绩相同，但甲的成绩比乙的稳定，因此选甲参加比较稳定；但从折线图上看乙打出9环以上的比甲的多，因此选乙参加比赛有破纪录的可能.
16、从甲、乙两种棉花苗中各抽10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲：15，18，15，17，19，20，19，16，15，18；
乙：16，16，15，17，17，18，19，20，21，17.
(1)哪种棉花苗长得高些？(2)哪种棉花苗长得整齐？
解：(1)=(15+18+15+17+19+20+19+16+15+18)=17.2，
=(16+16+15+17+17+18+19+20+21+17)=17.6，
∵<，∴乙种棉花苗长得高些；
(2)=［(1517.2)2+(1817.2)2+(1517.2)2+(1717.2)2+(1917.2)2+(2017.2)2
+(1917.2)2+(1617.2)2+(1517.2)2 +(1817.2)2］=2.86
=［(1617.6)2+(1617. 6)2+(1517. 6)2+(1717. 6)2+(1717. 6)2+(1817. 6)2
+(1917. 6)2+(2017. 6)2+(2117. 6)2 +(1717. 6)2］=3.24
∵<，∴甲种棉花苗长得整齐.
17、随着我国经济社会的发展，人民对于美好生活的追求越来越高，外出旅游已成为时尚．某社区为了了解家庭旅游消费情况，随机抽取部分家庭，对每户家庭的年旅游消费金额进行问卷调査，根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图表．请你根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
(1)本次被调査的家庭有　90　户，表中 a=　19　；
(2)本次调查数据的中位数出现在　B　组．扇形统计图中，E组所在扇形的圆心角是　24　度；
(3)若这个社区有2700户家庭，请你估计家庭年旅游消费8000元以上的家庭有多少户？
组别
家庭年旅游消费金额x(元)
户数
A
x≤4000
27
B
4000< x≤8000
a
C
8000< x≤12000
24
D
12000< x≤16000
14
E
x>16000
6
解：(1)样本容量为：27÷30%=90，
a=902724146=19，
故答案为：90，19；
(2)中位数为第45和46个数据的平均数，而27+19=46，
∴中位数落在B组，
D组所在扇形的圆心角为360°×=24°，
故答案为：B，24；
(3)家庭年年旅游消费8000元以上的家庭有2700×=1320(户)．
18、某次测验后，数学老师对所带的八年级(1)班和(2)班学生的成绩统计如下表所示：
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
八年级(1)班
1
6
10
13
15
5
八年级(2)班
2
6
11
11
11
9
请你根据你所学过的知识，对这两个班的数学成绩的优劣进行判断，并说明理由．
八年级(1)班的平均分为=(分)，
八年级(2)班的平均分为(分)，
八年级(1)班的方差为
，
八年级(2)班的方差为
.
八年级(1)班的平均分数等于八年级(2)班的平均分数，但甲组的方差小于乙组的方差，
所以甲组的分数更优秀一些．
22、(2018?浙江舟山)20．(8分)某厂为了检验甲、乙两车间生产的同一款新产品的合格情况(尺寸范围为176mm～185mm的产品为合格)，随机各抽取了20个样品进行检测，过程如下：收集数据(单位：mm)
甲车间：168，175，180，185，172，189，185，182，185，174，192，180，185，178，173，185，169，187，176，180．
乙车间：186，180，189，183，176，173，178，167，180，175，178，182，180，179，185，180，184，182，180，183．
整理数据：
组别
频数
165.5～170.5
170.5～175.5
175.5～180.5
180.5～185.5
185.5～190.5
190.5～195.5
甲车间
2
4
5
6
2
1
乙车间
1
2
a
b
2
0
分析数据：
车间
平均数
众数
中位数
方差
甲车间
180
185
180
43.1
乙车间
180
180
180
22.6
应用数据：
(1)计算甲车间样品的合格率．
(2)估计乙车间生产的1000个该款新产品中合格产品有多少个？
(3)结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的新产品更好，并说明理由．
【分析】(1)利用所列举的数据得出甲车间样品的合格率；
(2)得出乙车间样品的合格产品数进而得出乙车间样品的合格率进而得出答案；
(3)利用平均数、方差的意义分别分析得出答案．
【解答】解：(1)甲车间样品的合格率为：×100%=55%；
(2)∵乙车间样品的合格产品数为：20(1+2+2)=15(个)，
∴乙车间样品的合格率为：×100%=75%，
∴乙车间的合格产品数为：1000×75%=750(个)；
(3)①乙车间合格率比甲车间高，所以乙车间生产的新产品更好；
②甲、乙平均数相等，且均在合格范围内，而乙的方差小于甲的方差，说明乙比较稳定，所以乙车间生产的新产品更好．
【点评】此题主要考查了方差以及利用样本估计总体等知识，正确利用已知数据获取正确信息是解题关键．