第四章 平行四边形单元测试卷（含解析）

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浙教新版八年级下学期《第4章 平行四边形》单元测试卷
一．选择题（共10小题，3*10=30）
1．下列四种图案中，不是中心对称图形的为（　　）
A．　　 中国移动 B．　　　中国联通
C．　 中国网通 D．　　中国电信
2．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（　　）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
3．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝118°，则∠BCE＝（　　）

A．28° B．38° C．62° D．72°
4．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．140° B．180° C．220° D．320°
5．一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是（　　）
A．60° B．90° C．180° D．360°
6．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（　　）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC＝2，CD＝，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
8．已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，从下列条件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中两个，以下组合能够判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
9．?ABCD中，AD＝8，∠BAD的平分线交BC于E，∠ADC的平分线交BC于F，且EF＝2，则AB的长是（　　）
A．5 B．3 C．3或5 D．2或3
10．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3，?ABCD的周长为20，则?ABCD的面积为（　　）

A．24 B．16 C．8 D．12
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF＝50°，则∠C的度数是　 　．

12．△ABC与?DEFG按如图方式放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F分别在边BC上，若BE＝DE，CF＝FG，则∠A的大小为　 　度．

13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝3，则AE的边长为　 　．

14．如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝6cm，AC＝5cm，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长等于　 　cm．

15．如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为　 　．

16．如图是由相同的花盆按一定的规律组成的正多边形图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…，则第n个图形中花盆的个数为　 　．

17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝　 　

18．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，G，H为BC上的点连接DH，EG．若AB＝5cm，BC＝6cm，GH＝3cm，则图中阴影部分的面积为　 　．

三．解答题（共7小题，66分）
19．（8分）用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1　 　l2
证明：假设l1　 　l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P　 　180°　 　
所以∠1+∠2　 　180°，这与　 　矛盾，故　 　不成立．
所以　 　．

20．（8分）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．

21．（8分）知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　 　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．

22．（10分2）已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH．
（1）若AC＝6，BD＝8，试求AD的取值范围；
（2）若AC＝AD，∠CAD＝50°，试求∠ABC的度数；
（3）求证：四边形EHFG是平行四边形．

23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

24．（10分）小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．
（1）求MA的长度；
（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；
（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）

25．（12分）在平行四边形ABCD中，∠ABE＝45°，点E在对角线AC上，BE的延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G，过点C作CH⊥AB于点H，交BF于点M．
（1）若BE＝3，AE＝，求△ABE的面积；
（2）若∠ABC＝3∠EBC．CA＝CB，求证：CM＝FG．



参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．下列四种图案中，不是中心对称图形的为（　　）
A．　　 中国移动 B．　　　中国联通
C．　 中国网通 D．　　中国电信
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故A选项错误；
B、是中心对称图形，故B选项错误；
C、是中心对称图形，故C选项错误；
D、不是中心对称图形，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后重合．
2．利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45°”，应先假设（　　）
A．直角三角形的每个锐角都小于45°
B．直角三角形有一个锐角大于45°
C．直角三角形的每个锐角都大于45°
D．直角三角形有一个锐角小于45°
【分析】熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接得出答案即可．
【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45°”时，应先假设直角三角形的每个锐角都小于45°．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
3．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝118°，则∠BCE＝（　　）

A．28° B．38° C．62° D．72°
【分析】由在平行四边形ABCD中，∠A＝118°，可求得∠B的度数，又由CE⊥AB，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣118°＝62°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝28°．
故选：A．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及直角三角形的性质．注意平行四边形的邻角互补．
4．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（　　）

A．140° B．180° C．220° D．320°
【分析】根据∠A+∠B＝220°，可求∠A、∠B的外角和，再根据多边形外角和360°，可求∠1+∠2+∠3的值．
【解答】解：根据∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°．
根据多边形外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3＝360°﹣140°＝220°．
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形的外角和公式，内外角的转化是解题的关键．
5．一个多边形的边数增加1，则内角和与外角和增加的度数之和是（　　）
A．60° B．90° C．180° D．360°
【分析】任意多边形的外角和为360°，多边形的内角和公式为（n﹣2）×180°．依此即可求解．
【解答】解：由多边形的内角和公式可知：一个多边形边数增加1，则这个多边形内角增加180°；
由任意多边形的外角和是360°可知，外角和增加0°，
则内角和与外角和增加的度数之和是180°．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是多边形的内角和、外角和定理，掌握多边形的内角和、外角和定理是解题的关键．
6．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（　　）
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
【分析】从一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
【解答】解：对角线的数量＝6﹣3＝3条；
分成的三角形的数量为n﹣2＝4个．
故选：C．
【点评】本题考查多边形的对角线及分割成三角形个数的问题，解答此类题目可以直接记忆：一个n边形一个顶点出发，可以连的对角线的条数是n﹣3，分成的三角形数是n﹣2．
7．如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，E、F分别为AB、AD的中点，BC＝2，CD＝，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】连接BD，利用勾股定理列式求出BD，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答．
【解答】解：连接BD，
∵BC＝2，CD＝，∠C＝90°，
∴BD＝＝，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴BD＝EF＝，
故选：D．

【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记定理是解题的关键，难点在于作辅助线构造出三角形．
8．已知四边形ABCD，对角线AC与BD交于点O，从下列条件中：①AB∥CD；②AD＝BC；③∠ABC＝∠ADC；④OA＝OC，任取其中两个，以下组合能够判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【分析】以①④作为条件能够判定四边形ABCD是平行四边形，根据平行得出全等三角形，即可求出OB＝OD，根据平行四边形的判定推出即可；
【解答】解：以①④作为条件，能够判定四边形ABCD是平行四边形．
理由：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD，
在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD（ASA），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故选：D．

【点评】本题考查了平行四边形的判定，相似三角形的性质和判定，等腰梯形的判定等知识点的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．
9．?ABCD中，AD＝8，∠BAD的平分线交BC于E，∠ADC的平分线交BC于F，且EF＝2，则AB的长是（　　）
A．5 B．3 C．3或5 D．2或3
【分析】根据平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF＝∠CDF，等量代换得到∠DFC＝∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论．
【解答】解：①如图1，在?ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝8，
∴AB＝5；
②在?ABCD中，∵BC＝AD＝8，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，
∴∠BAE＝∠DAE，∠ADF＝∠CDF，
∴∠BAE＝∠AEB，∠CFD＝∠CDF，
∴AB＝BE，CF＝CD，
∵EF＝2，
∴BC＝BE+CF＝2AB+EF＝8，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为3或5．
故选：C．


【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA＝BE＝CF＝CD．
10．如图，在?ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3，?ABCD的周长为20，则?ABCD的面积为（　　）

A．24 B．16 C．8 D．12
【分析】设BC＝x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．
【解答】解：设BC＝x，
∵?ABCD的周长为20，
∴CD＝10﹣x，
∵?ABCD的面积＝BC?AE＝CD?AF，
∴2x＝3（10﹣x），
解得x＝6，
∴?ABCD的面积＝BC?AE＝2×6＝12．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解，根据面积的表示出列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键．
二．填空题（共8小题）
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于E，AF⊥DE，垂足为F，已知∠DAF＝50°，则∠C的度数是　100°　．

【分析】根据直角三角形两锐角互余，平行四边形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∵∠DAF＝50°，
∴∠ADF＝90°﹣50°＝40°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠ADF＝80°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠C+∠ADC＝180°，
∴∠C＝100°
故答案为100°
【点评】本题考查平行四边形的性质、直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．△ABC与?DEFG按如图方式放置，点D、G分别在边AB、AC上，点E、F分别在边BC上，若BE＝DE，CF＝FG，则∠A的大小为　90　度．

【分析】由题中条件可得∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，进而再利用外角的性质及平行四边形邻角互补，即可得出结论．
【解答】解：∵BE＝DE，CF＝FG，
∴∠B＝∠BDE，∠C＝∠CGF，
∠DEF＝∠B+∠BDE＝2∠B，则∠EFG＝2∠C，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴∠DEF+∠EFG＝180°，
∴（∠DEF+∠EFG）＝∠B+∠C＝90°，
∴∠A＝90°．
故答案为：90．
【点评】本题考查了平行四边形的性质以及三角形的内角和定理，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键，应熟练掌握．
13．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝8，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝3，则AE的边长为　4　．

【分析】由平行四边形的性质和角平分线证出AD＝DF，由F为DC中点，AB＝CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由AAS证明ADF≌△ECF全等，得出AF＝EF，即可求出AE的长．
【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵DC∥AB，
∴∠BAE＝∠DFA，
∴∠DAE＝∠DFA，
∴AD＝FD，
又F为DC的中点，
∴DF＝CF，
∴AD＝DF＝DC＝AB＝4，
在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG＝，
则AF＝2AG＝2，
∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中，，
∴△ADF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
则AE＝2AF＝2×2＝4，
故答案为：4
【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解本题的关键．
14．如图，△ABC中，AB＝7cm，BC＝6cm，AC＝5cm，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则四边形ADEF的周长等于　12　cm．

【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥AC，DE＝AC，EF∥AB，EF＝AB，得到四边形ADEF是平行四边形，计算即可．
【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE∥AC，DE＝AC＝2.5cm，
同理，EF∥AB，EF＝AB＝3.5cm，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∴四边形ADEF的周长＝2×（2.5+3.5）＝12（cm），
故答案为：12．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
15．如图，点O是?ABCD的对称中心，AD＞AB，点E、F在边AB上，且AB＝2EF，点G、H在边BC边上，且BC＝3GH，则△EOF和△GOH的面积比为　3：2　．

【分析】连接AC、BD，根据平行四边形的性质得到S△AOB＝S△BOC，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：连接AC、BD，
∵点O是?ABCD的对称中心，
∴AC、BD交于点O，
∴S△AOB＝S△BOC，
∵AB＝2EF，
∴S△EOF＝S△AOB，
∵BC＝3GH，
∴S△GOH＝S△BOC，
∴S△EOF：S△GOH＝3：2，
故答案为：3：2．

【点评】本题考查的是中心对称的性质、平行四边形的性质，掌握平行四边形是中心对称图形以及三角形的面积公式是解题的关键．
16．如图是由相同的花盆按一定的规律组成的正多边形图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…，则第n个图形中花盆的个数为　（n+1）（n+2）　．

【分析】由题意可知，三角形每条边上有3盆花，共计3×3﹣3盆花，正四边形每条边上有4盆花，共计4×4﹣4盆花，正五边形每条边上有5盆花，共计5×5﹣5盆花，…则正n变形每条边上有n盆花，共计n×n﹣n盆花，结合图形的个数解决问题．
【解答】解：∵第一个图形：三角形每条边上有3盆花，共计32﹣3盆花，
第二个图形：正四边形每条边上有4盆花，共计42﹣4盆花，
第三个图形：正五边形每条边上有5盆花，共计52﹣5盆花，
…
第n个图形：正n+2边形每条边上有n盆花，共计（n+2）2﹣（n+2）＝（n+1）（n+2）盆花，
故答案为：（n+1）（n+2）．
【点评】本题主要考查归纳与总结的能力，关键在于根据题意总结归纳出花盆总数的变化规律．
17．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝8cm，BC＝12cm，M是BC上一点，且BM＝9cm，点E从点A出发以1cm/s的速度向点D运动，点F从点C出发，以3cm/s的速度向点B运动，当其中一点到达终点，另一点也随之停止，设运动时间为t，则当以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t＝　或　

【分析】分两种情形列出方程即可解决问题；
【解答】解：①当点F在线段BM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝9+3t﹣12，解得t＝，
②当F在线段CM上，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
则有t＝12﹣9﹣3t，解得t＝，
综上所述，t＝或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形．
故答案为：或
【点评】本题考查平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
18．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是AB，AC的中点，G，H为BC上的点连接DH，EG．若AB＝5cm，BC＝6cm，GH＝3cm，则图中阴影部分的面积为　6cm2　．

【分析】连接DE，作AF⊥BC于F，根据三角形中位线定理求出DE，根据勾股定理求出AF，根据相似三角形的判定定理和性质定理计算即可．
【解答】解：连接DE，作AF⊥BC于F，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE＝BC＝3，DE∥BC，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴BF＝BC＝3，
在Rt△ABF中，AF＝＝4，
∴△ABC的面积＝×6×4＝12，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的面积＝12×＝3，
∴四边形DBCE的面积＝12﹣3＝9，
△DOE的面积+△HOG的面积＝×3×2＝3，
∴图中阴影部分的面积＝9﹣3＝6（cm2），
故答案为：6cm2．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
19．用反证法证明（填空）：
两条直线被第三条直线所截．如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1+∠2＝180°．
求证：l1　∥　l2
证明：假设l1　不平行　l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P　＝　180°　（三角形内角和定理）　
所以∠1+∠2　＜　180°，这与　已知　矛盾，故　假设　不成立．
所以　l1∥l2　．

【分析】用反证法证明问题，先假设结论不成立，即l1不平行l2，根据三角形内角和定理，可得∠1+∠2+∠P＝180°，与已知相矛盾，从而证得l1与l2平行．
【解答】证明：假设l1不平行l2，即l1与l2交与相交于一点P．
则∠1+∠2+∠P＝180°（三角形内角和定理），
所以∠1+∠2＜180°，
这与∠1+∠2＝180°矛盾，故假设不成立．
所以结论成立，l1∥l2．

【点评】此题主要考查了反证法的证明，反证法证明问题，是常见的证明方法，关键是找出与已知相矛盾的条件．
20．如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE＝BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C＝45°，BD＝2时，求D，F两点间的距离．

【分析】（1）由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠C，证出∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG＝∠C，证出∠F＝∠DEG，得出BF∥DE，即可得出结论；
（2）证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由勾股定理得出BF＝BE＝BD＝，作FM⊥BD于M，连接DF，则△BFM是等腰直角三角形，由勾股定理得出FM＝BM＝BF＝1，得出DM＝3，在Rt△DFM中，由勾股定理求出DF即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC＝∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG＝∠ABC＝∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG＝∠C，
∵BE＝BF，
∴∠BFE＝∠BEF＝∠AEG＝∠ABC，
∴∠F＝∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C＝45°，
∴∠ABC＝∠BFE＝∠BEF＝45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF＝BE＝BD＝，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM＝BM＝BF＝1，
∴DM＝3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF＝＝，
即D，F两点间的距离为．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质和勾股定理是解决问题的关键．
21．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分．
（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB　＝　S四边形DEFC（填“＞”“＜”“＝”）；
（2）如图②，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分；
（3）八个大小相同的正方形如图③所示摆放，求作直线将整个图形分成面积相等的两部分（用三种方法分分割）．

【分析】（1）根据知识背景即可求解；
（2）先找到两个矩形的中心，然后过中心作直线即可；
（3）先分成两个矩形，找到中心，然后过中心作直线即可．
【解答】解：（1）如图①，直线m经过平行四边形ABCD对角线的交点O，则S四边形AEFB＝S四边形DEFC；
（2）如图所示：
（3）如图所示：

故答案为：＝．
【点评】本题考查中心对称及矩形的性质，有一定难度，注意掌握中心与中心对称点之间的关系．
22．已知：如图，在?ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，点G，H在BD上，且AE＝CF，BG＝DH．
（1）若AC＝6，BD＝8，试求AD的取值范围；
（2）若AC＝AD，∠CAD＝50°，试求∠ABC的度数；
（3）求证：四边形EHFG是平行四边形．

【分析】（1）在△AOD中求出OA、OD，即可利用三边关系确定AD的范围；
（2）由四边形ABCD是平行四边形，可知∠ABC＝∠ADC，求出∠ADC即可；
（3）只要证明OE＝OF，OG＝OG即可解决问题；
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝AC＝3，OD＝BD＝4，
∴1＜AD＜7．

（2）∵CA＝AD，∠CAD＝50°，
∴∠ADC＝∠ACD＝（180°﹣50°）＝65°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC＝65°．

（3）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∴AE＝CF，BG＝DH，
∴OE＝OF，OG＝OH，
∴四边形EHFG是平行四边形．

【点评】本题考查平行四边形的性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
23．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/s的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠C＝30°，根据直角三角形的性质求出DF，得到DF＝AE，根据平行四边形的判定定理证明；
（2）分∠EDF＝90°、∠DEF＝90°两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可．
【解答】（1）证明：∵∠B＝90°，∠A＝60°，
∴∠C＝30°，
∴AB＝AC＝30，
由题意得，CD＝4t，AE＝2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝2t，
∴DF＝AE，
∵DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）当∠EDF＝90°时，如图①，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠C＝30°，
∴AD＝2AE，即60﹣4t＝2t×2，
解得，t＝，
当∠DEF＝90°时，如图②，
∵AD∥EF，
∴DE⊥AC，
∴AE＝2AD，即2t＝2×（60﹣4t），
解得，t＝12，
综上所述，当t＝或12时，△DEF为直角三角形．


【点评】本题考查的是平行四边形的判定、直角三角形的性质，掌握平行四边形的判定定理、含30°的直角三角形的性质是解题的关键．
24．小明家准备装修厨房，打算铺设如图1的正方形地砖，该地砖既是轴对称图形也是中心对称图形，铺设效果如图2所示．经测量图1发现，砖面上四个小正方形的边长都是4cm，AB＝JN＝2cm，中间的多边形CDEFGHIK是正八边形．
（1）求MA的长度；
（2）求正八边形CDEFGHIK的面积；
（3）已知小明家厨房的地面是边长为3.14米的正方形，用该地砖铺设完毕后，最多形成多少个正八边形？（地砖间缝隙的宽度忽略不计）

【分析】（1）连接BK和NC，两线的交点为O，根据正方形的性质和勾股定理求出ON，即可求出答案；
（2）作辅助线得出正方形和直角三角形，分别求出正方形和直角三角形的面积，即可得出答案；
（3）求出正方形地砖的边长，求出其面积，再求出小明家厨房的地面的面积，即可得出答案．
【解答】解：（1）连接BK和NC，两线的交点为O，
∵四边形BCKN是正方形，
∴∠NOB＝90°，OB＝ON，
∵BN＝4cm，
∴由勾股定理得：BO＝ON＝2cm，
∵JN＝2cm，
∴AM＝JO＝（2+2）cm；

（2）如图，作小正方形的对角线，组成正方形ORZQ，
则正方形的边长为（2+4+2）cm，即为（4+4）cm，
所以正八边形CDEFGHIK的面积为S正方形OQZR﹣4S△BOC＝（4+4）2﹣4××2×2＝（32+32）cm2；

（3）正方形地砖的边长为：2×（2+2）cm+（4+4）cm＝（8+8）cm，
∵3.14米＝314cm，
∴3142÷（8+8）2≈264（块）．
答：用该地砖铺设完毕后，最多形成264个正八边形．
【点评】本题考查了平面镶嵌问题的应用，能构造特殊图形是解此题的关键，本题难度较大，同时还考查了正方形和正八边形的性质及勾股定理．
25．在平行四边形ABCD中，∠ABE＝45°，点E在对角线AC上，BE的延长线交CD于点F，交AD的延长线于点G，过点C作CH⊥AB于点H，交BF于点M．
（1）若BE＝3，AE＝，求△ABE的面积；
（2）若∠ABC＝3∠EBC．CA＝CB，求证：CM＝FG．

【分析】（1）过E作EN⊥AB于N，推出△BEN是等腰直角三角形，解直角三角形得到AN＝＝1，求得AB＝4，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）根据已知条件得到∠ABC＝67.5°，求得∠CEM＝112.5°，根据平行四边形的性质得到CD∥AB，推出CM＝BM，得到BE＝CD，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）过E作EN⊥AB于N，
∵∠ABE＝45°，
∴△BEN是等腰直角三角形，
∴BN＝EN＝BE＝3，
∵AE＝，
∴AN＝＝1，
∴AB＝4，
∴△ABE的面积＝×4×3＝6；
（2）∵∠ABE＝45°，∠ABC＝3∠EBC，
∴∠ABC＝67.5°，
∵CA＝CB，CH⊥AB，
∴∠CAB＝∠CBA＝67.5°，∠BCH＝∠ACH＝22.5°，
∴∠CME＝∠BMH＝∠MBH＝45°，
∴∠CEM＝112.5°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠FDG＝∠BAD＝112.5°，∠GFD＝∠EBA＝45°，
∴∠GFD＝∠CME，∠FDG＝∠MEC，
∵∠BCM＝∠CBM＝22.5°，
∴CM＝BM，
∵∠BEA＝∠EAB＝67.5°，
∴BE＝AB，
∴BE＝CD，
在等腰直角三角形CMF中，
∵∠CMF＝∠AFM＝45°，
∴CM＝CF，
∴BM＝CF，
∴EM＝DF，
在△MEC与△FDG中，，
∴△MEC≌△FDG（ASA），
∴CM＝FG．

【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
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