4.1多边形 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．下列四边形中，对角线一定相等的是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．梯形
2．不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条
3．从多边形一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．一个多边形的内角和是540°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5
C．6 D．以上都不可能
5．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．140° B．180° C．220° D．320°
6．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．正六边形 D．正七边形
7．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
8．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
二．填空题（共6小题）
9．一个凸多边形的内角中，最多有 个锐角．
10．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 个三角形．
11．八边形中过其中一个顶点有 条对角线．
12．某n边形的每个外角都等于它相邻内角的，则n＝ ．
13．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为 ．
14．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m块正三角形，n块正六边形，则m+n＝
三．解答题（共4小题）
15．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．
16．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的每个顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma+nb﹣1，其中m，n为常数．
（1）在下面的两张方格纸中各有一个格点多边形，依次为△ABC、正方形DEFG．认真数一数：△ABC内的格点数是 ，正方形DEFG边界上的格点数是 ；
（2）利用（1）中的两个格点多边形确定m，n的值；
（3）现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S＝40，若该格点多边形外的格点数为c，求c﹣a的值．
17．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：
①如图2，多边形A1A2A3A4A5…An．中，过顶点A1可以画 条对角线，过顶点A2可以画 条对角线，过顶点A3可以画 条对角线（用含n的代数式表示）
②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？
③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？ （用含n的代数式表示）
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，若∠AEB＝105°，求∠C+∠D的度数．
4.1多边形 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．下列四边形中，对角线一定相等的是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．梯形
解：菱形的对角线不一定相等，A错误；
矩形的对角线一定相等，B正确；
平行四边形的对角线不一定相等，C错误；
梯形的对角线不一定相等，D错误；
故选：B．
2．不是利用三角形稳定性的是（ ）
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条
解：照相机的三角架不是利用其稳定性，A、B、D都是利用了三角形的稳定性，
故选：C．
3．从多边形一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：设这个多边形的边数是n，
由题意得，n﹣2＝6，
解得，n＝8．
故选：C．
4．一个多边形的内角和是540°，这个多边形的边数是（ ）
A．4 B．5
C．6 D．以上都不可能
解：设这个多边形的边数是n，
则（n﹣2）?180°＝540°，
解得n＝5．
故选：B．
5．如图，∠1，∠2，∠3是五边形ABCDE的3个外角，若∠A+∠B＝220°，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．140° B．180° C．220° D．320°
解：根据∠A+∠B＝220°，可知∠A的一个邻补角与∠B的一个邻补角的和为360°﹣220°＝140°．
根据多边形外角和为360°，可知∠1+∠2+∠3＝360°﹣140°＝220°．
故选：C．
6．用一些形状大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．三角形 B．菱形 C．正六边形 D．正七边形
解：A、三角形的内角和是180°，6个能密铺；
B、菱形的内角和是360°，4个能密铺；
C、正六边形每个内角为120度，能找出360度，能密铺；
D、正七边形每个内角是：180°﹣360°÷7＝128.6°，不能整除360°，不能密铺．
故选：D．
7．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（ ）
A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形
解：一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能是五边形，
故选：A．
8．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（ ）个三角形．
A．6 B．5 C．8 D．7
解：从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成7﹣2＝5个三角形．
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．一个凸多边形的内角中，最多有 3 个锐角．
解：一个凸多边形的内角中，最多有3个锐角．
10．如图所示，将多边形分割成三角形、图（1）中可分割出2个三角形；图（2）中可分割出3个三角形；图（3）中可分割出4个三角形；由此你能猜测出，n边形可以分割出 （n﹣1） 个三角形．
解：n边形可以分割出（n﹣1）个三角形．
11．八边形中过其中一个顶点有 5 条对角线．
解：∵一个八边形过一个顶点有5条对角线，
故答案为：5．
12．某n边形的每个外角都等于它相邻内角的，则n＝ 10 ．
解：因为多边形的每个外角和它相邻内角的和为180°，
又因为每个外角都等于它相邻内角的，
所以外角度数为180°×＝36°．
∵多边形的外角和为360°，
所以n＝360÷36＝10．
故答案为10．
13．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为 40° ．
解：向左转的次数45÷5＝9（次），
则左转的角度是360°÷9＝40°．
故答案是：40°．
14．用边长相等的正三角形和正六边形铺满地面，一个结点周围有m块正三角形，n块正六边形，则m+n＝ 4或5
解：∵正三边形和正六边形内角分别为60°、120°，
又∵60×4+120＝360，或60×2+120×2＝360，
∴m＝4，n＝1或m＝2，n＝2，
①当m＝4，n＝1时，m+n＝5；
②当m＝2，n＝2时，m+n＝4．
故答案为：4或5
三．解答题（共4小题）
15．如果多边形的每个内角都比它相邻的外角的4倍多30°，求这个多边形的内角和及对角线的总条数．
解：设外角为x°，
x+4x+30＝180，
解得：x＝30，
360°÷30°＝12，
∴（12﹣2）×180＝1800°，
∴这个多边形的内角和是1800°，
对角线的总条数＝＝54，
答：这个多边形的内角和是1800°，对角线的总条数是54条．
16．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的每个顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形．记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma+nb﹣1，其中m，n为常数．
（1）在下面的两张方格纸中各有一个格点多边形，依次为△ABC、正方形DEFG．认真数一数：△ABC内的格点数是 3 ，正方形DEFG边界上的格点数是 12 ；
（2）利用（1）中的两个格点多边形确定m，n的值；
（3）现有一张方格纸共有200个格点，画有一个格点多边形，它的面积S＝40，若该格点多边形外的格点数为c，求c﹣a的值．
解：（1）△ABC内的格点数是 3，正方形DEFG边界上的格点数是 12；
故答案为：3，12；
（2）∵格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为S＝ma+nb﹣1，其中m，n为常数，
∴三角形：S＝3m+8n﹣1＝6，正方形：S＝4m+12n﹣1＝9，
则，
解得：；
（3）由（2）m＝1，n＝，
∴S＝ma+nb﹣1＝a+b﹣1
∵格点多边形的面积为40，
∴2a+b﹣2＝80，
∴b＝82﹣2a
∴边界上的格点数与多边形内的格点数的和为b+a＝82﹣2a+a＝82﹣a，
∵总格点数为200，
∴多边形外的格点数c＝200﹣（82﹣a）＝118+a，
∴c﹣a＝118+a﹣a＝118．
17．连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线，思考下列问题：
①如图2，多边形A1A2A3A4A5…An．中，过顶点A1可以画 （n﹣3） 条对角线，过顶点A2可以画 （n﹣3） 条对角线，过顶点A3可以画 （n﹣3） 条对角线（用含n的代数式表示）
②过顶点A1的对角线与过顶点A3的对角线中有重复吗？ 有重复
③在此基础上，你能发现n边形的对角线总条数的规律吗？ （用含n的代数式表示）
解：故答案：（1）（n﹣3）；（n﹣3）；（n﹣3）
（2）有重复
（3）
18．如图，在四边形ABCD中，∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，若∠AEB＝105°，求∠C+∠D的度数．
解：∵∠DAB，∠CBA的平分线交于点E，
∴∠DAB＝2∠EAB，∠CBA＝2∠EBA，
在△EAB中，∠EAB+∠EBA＝180°﹣∠AEB＝180°﹣105°＝75°，
∴∠DAB+∠CBA＝2（∠EAB+∠EBA）＝150°，
∴∠C+∠D＝360°﹣（∠DAB+∠CBA）＝360°﹣150°＝210°．
