4.2平行四边形及其性质 同步练习
一．选择题（共8小题）
1．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是（ ）
A．2：7：2：7 B．2：2：7：7 C．2：7：7：2 D．2：3：4：5
2．已知?ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，则AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
3．在?ABCD中，∠A﹣∠B＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．40° C．110° D．150°
4．如图，在?ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
5．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则?ABCD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．18
6．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝118°，则∠BCE＝（ ）
A．28° B．38° C．62° D．72°
7．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
8．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．10和34 B．18和20 C．14和10 D．10和12
二．填空题（共6小题）
9．平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C＝ ．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝27°，则∠ACD＝ ．
11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8m，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于 厘米．
12．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣3，4），点C的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（5，3），则点A的坐标是 ．
13．如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF与CE交于点Q，若S△APD＝20cm2，S△BQC＝30cm2，则图中阴影部分的面积为 cm2．
14．在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝ ．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在?ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AF＝CE．
16．如图，明星村有一口四边形的池塘，在它的四个角A，B，C，D处均有一棵大树，村委会准备在此处挖一个较大的养鱼池，要想使建成后的池塘面积为原来池塘面积的2倍，又不能移动大树，并要求扩建成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你写出方案并画出图形；若不能，请说明理由．
17．如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？
18．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
4.2平行四边形及其性质 同步练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是（ ）
A．2：7：2：7 B．2：2：7：7 C．2：7：7：2 D．2：3：4：5
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，
∴∠A：∠B：∠C：∠D的可能情况是2：7：2：7．
故选：A．
2．已知?ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，则AC的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解：∵?ABCD的周长是22，△ABC的周长是17，
∴AB+BC＝11，AB+BC+AC＝17，
∴AC＝17﹣11＝6，
故选：B．
3．在?ABCD中，∠A﹣∠B＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．70° B．40° C．110° D．150°
解：画出图形如下所示：
则∠A+∠B＝180°，
又∵∠A﹣∠B＝40°，
∴∠A＝110°，∠B＝70°，
∴∠C＝∠A＝110°．
故选：C．
4．如图，在?ABCD中，已知AD＝5cm，AB＝3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
解：∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB＝3cm，
∵BC＝AD＝5cm，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣3＝2cm，
故选：B．
5．如图，?ABCD的对角线相交于点O，且AB≠AD，过点O作OE⊥BD交BC于点E，若△CDE的周长为10，则?ABCD的周长为（ ）
A．14 B．16 C．20 D．18
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，BC＝AD，OB＝OD，
∵OE⊥BD，
∴BE＝DE，
∵△CDE的周长为10，
∴DE+CE+CD＝BE+CE+CD＝BC+CD＝10，
∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝20；
故选：C．
6．如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足．如果∠A＝118°，则∠BCE＝（ ）
A．28° B．38° C．62° D．72°
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝180°﹣∠A＝180°﹣118°＝62°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°﹣∠B＝28°．
故选：A．
7．如图，?ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为（ ）
A．2 B． C．3 D．4
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AC：BD＝2：3，
∴OA：OB＝2：3，设OA＝2m，BO＝3m，
∵AC⊥BD，
∴∠BAO＝90°，
∴OB2＝AB2+OA2，
∴9m2＝5+2m2，
∴m＝±1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴AC＝2OA＝4．
故选：D．
8．平行四边形的一边长是12，那么这个平行四边形的两条对角线的长可以是（ ）
A．10和34 B．18和20 C．14和10 D．10和12
解：如图，作CE∥BD，交AB的延长线于点E，
∵AB＝CD，DC∥AB
∴四边形BECD是平行四边形，
∴CE＝BD，BE＝CD＝AB，
∴在△ACE中，AE＝2AB＝24＜AC+CE，
∴四个选项中只有A，B符合条件，但是10，34，24不符合三边关系，
故选：B．
二．填空题（共6小题）
9．平行四边形ABCD中，∠A比∠B小20°，那么∠C＝ 80° ．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴，
解得：，
∴∠C＝∠A＝80°．
故答案为：80°．
10．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC边上的一点，且AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝27°，则∠ACD＝ 87° ．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠EAB＝∠EAD，
∴∠EAB＝∠AEB，
∴BA＝BE，
∵AB＝AE，
∴AB＝BE＝AE，
∴∠B＝∠BAE＝∠AEB＝60°，
∴∠EAD＝∠CDA＝60°，
∵EA＝AB，CD＝AB，
∴EA＝CD，
在△AED和△DCA中
∴△AED≌△DCA（SAS），
∴∠AED＝∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC＝60°+27°＝87°，
∴∠AED＝87°．
故答案为：87°．
11．如图，在平行四边形ABCD中，已知AD＝12cm，AB＝8m，AE平分∠BAD交BC边于点E，则CE的长等于 4 厘米．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝12cm，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BEA，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB＝8cm，
∴CE＝BC﹣BE＝4cm；
故答案为：4
12．将矩形ABCD如图放置，若点B的坐标是（﹣3，4），点C的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（5，3），则点A的坐标是 （3，7） ．
解：过B作BE⊥x轴于E，过D作DF⊥x轴于F，过A作AH⊥x轴于H，过B作BG⊥AH于G，
则四边形BEHG是矩形，
∴HG＝BE，∠EBG＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝90°，
∴∠ABG＝∠EBC，
∵∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠DCF＝90°，
∴∠ABG＝∠DCF，
∵在△ABG与△DCF中，，
∴△ABG≌△DCF（AAS），
∴AG＝DF，BG＝CF，
∵点B的坐标是（﹣3，4），点C的坐标是（﹣1，0），点D的坐标是（5，3），
∴BE＝4，OC＝1，OF＝5，DF＝3，
∴CF＝6，
∴AH＝AG+GH＝3+4＝7，OH＝6﹣3＝3，
∴A（3，7），
故答案为：（3，7）．
13．如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，AF与DE交于点P，BF与CE交于点Q，若S△APD＝20cm2，S△BQC＝30cm2，则图中阴影部分的面积为 50 cm2．
解：连接E、F两点，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等，
∴S△EFC＝S△BCF，
∴S△EFQ＝S△BCQ，
同理：S△EFD＝S△ADF，
∴S△EFP＝S△ADP，
∵S△APD＝20cm2，S△BQC＝30cm2，
∴S四边形EPFQ＝50cm2，
故答案为：50．
14．在?ABCD中，AE平分∠BAD交边BC于E，DF⊥AE，交边BC于F，若AD＝10，EF＝4，则AB＝ 7或3 ．
解：①如图1，在?ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADF＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵∠ADF＝∠DFC，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝4，
∴BC＝BE+CF﹣EF＝2AB﹣EF＝2AB﹣4＝10，
∴AB＝7；
②如图2，在?ABCD中，∵BC＝AD＝10，BC∥AD，CD＝AB，CD∥AB，
∴∠DAE＝∠AEB，∠ADF＝∠DFC，
∵AE平分∠BAD交BC于点E，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠AEB，
∴AB＝BE，
∵DF⊥AE，
∴∠DAE+∠ADF＝90°，
∵∠BAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADF＝∠ADC，
∴∠ADF＝∠CDF，
∵∠ADF＝∠DFC，
∴∠DFC＝∠CDF，
∴CF＝CD，
∴AB＝BE＝CF＝CD
∵EF＝4，
∴BC＝BE++EF+CF＝2AB+EF＝2AB+4＝10，
∴AB＝3；
综上所述：AB的长为7或3．
故答案为：7或3．
三．解答题（共4小题）
15．如图，在?ABCD中，E、F分别为BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝DC，AD＝BC，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴BE＝DF
又∵AD＝BC
∴AF＝CE．
16．如图，明星村有一口四边形的池塘，在它的四个角A，B，C，D处均有一棵大树，村委会准备在此处挖一个较大的养鱼池，要想使建成后的池塘面积为原来池塘面积的2倍，又不能移动大树，并要求扩建成平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你写出方案并画出图形；若不能，请说明理由．
解：能，如图所示：
17．如图，在平行四边形中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF＝60°，BE＝2，DF＝3，求AB，BC的长及平行四边形ABCD的面积？
解：∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEC＝∠AFC＝90
∵∠EAF＝60°，∴∠C＝360﹣∠AEC﹣∠AFC﹣∠EAF＝120，
∴∠B＝60°∴∠BAE＝30°，
∴AB＝2BE＝4；cm．
∵∠D＝∠B＝60°，
∴∠DAF＝30°．
∴AD＝2DF＝6cm．
∴BC＝AD＝6cm
在Rt△ADF中，AF＝＝3（cm），
∴ABCD的面积＝CD?AF＝4×3＝12（cm2）．
18．如图，已知平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线与边CD的延长线交于点E，与AD交于点F，且AF＝DF．
①求证：AB＝DE；
②若AB＝3，BF＝5，求△BCE的周长．
解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠A＝∠FDE，∠ABF＝∠E，
∵AF＝DF，
∴△ABF≌△DEF，
∴AB＝DE；
②∵BE平分∠ABC，
∴∠ABF＝∠CBF，
∵AD∥BC，
∴∠CBF＝∠AFB，
∴∠ABF＝∠AFB，
∴AF＝AB＝3，
∴AD＝2AF＝6
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝6，CD＝AB＝3，
∵△ABF≌△DEF，
∴DE＝AB＝3，EF＝BF＝5，
∴CE＝6，BE＝EF+BF＝10，
∴△BCE的周长＝BC+CE+BE＝10+6+6＝22．
声明：试题解析
