阶 段 性 测 试(三)
[考查范围：第2章 2.1～2.2 总分：100分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( C )
A．x2＋＝0 B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝0
2．方程x2＝3x的根是( D )
A．x＝3 B．x＝0
C．x1＝－3, x2＝0 D．x1＝3, x2＝0
3．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( A )
A．b＝－1 B．b＝－2
C．b＝0 D．b＝2
4．一元二次方程x2－2x－1＝0的解是( C )
A．x1＝x2＝1
B．x1＝1＋，x2＝－1－
C．x1＝1＋，x2＝1－
D．x1＝－1＋，x2＝－1－
5．若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值是( B )
A．1 B．－1
C．1或－1 D.
6．若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中，a，b，c满足4a＋2b＋c＝0和4a－2b＋c＝0，则方程的根是( D )
A．1，0 B．－1，0
C．1，－1 D．2，－2
二、填空题(每小题5分，共30分)
7．将一元二次方程(3x－1)(2x＋4)＝1化为一般形式为__6x2＋10x－5＝0__．
8．解一元二次方程x2＋2x－3＝0时，可转化为两个一元一次方程： x＋3＝0，x－1＝0 ．
9．关于x的一元二次方程x2＋a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是__a＞0__．
10．设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且(a2＋b2)(a2＋b2＋1)＝12，则这个直角三角形的斜边长为____．
11．已知x＝1是方程 x2＋mx－n＝0 的一个根，则m2－2mn＋n2＝__1__．
12．我们已经知道方程x2＋bx＋c＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x－3)2＋b(2x－3)＋c＝0，它的解是 x1＝2，x2＝0 ．
三、解答题(共40分)
13．(12分)选用适当的方法解下列方程：
(1)3x2－27＝0；
(2)x2＋13x＋42＝0；
(3)(1－x)2＝1－x2；
(4)(x－2)2－9(x＋1)2＝0.
【答案】 (1)x1＝3，x2＝－3
(2)x1＝－6，x2＝－7
(3)x1＝0，x2＝1 (4)x1＝－，x2＝－
14．(8分)(1)若＝1－x，则x的取值范围是________；
(2)在(1)的条件下，试求方程x2＋|x－1|－3＝0的解．
解：(1)∵＝|x－1|＝1－x，
∴x－1≤0，即x≤1.故答案为x≤1.
(2)由x≤1，方程化为：x2－x－2＝0，
则(x－2)(x＋1)＝0，∴x－2＝0或x＋1＝0，
∴x1＝2，x2＝－1.又∵x≤1，∴x1＝－1，x2＝2(舍去)．
15．(10分)已知关于x的方程2x2－(2m＋4)x＋4m＝0.
(1)求证：不论m取何实数，方程总有两个实数根；
(2)等腰△ABC的一边长b＝3，另两边长a，c恰好是此方程的两个根，求△ABC的周长．
解：∵Δ＝[－(2m＋4)]2－4×2×4m
＝4m2＋16m＋16－32m＝4m2－16m＋16＝4(m－2)2≥0，
∴不论m取何实数，方程总有两个实数根；
(2)①当a＝c时，则Δ＝0，
即(m－2)2＝0，∴m＝2，
方程可化为x2－4x＋4＝0，
∴x1＝x2＝2，即a＝c＝2，经检验，符合三角形三边关系，
∴△ABC的周长＝a＋b＋c＝3＋2＋2＝7；
②若b＝3是等腰三角形的一腰长，
即b＝a＝3时，
∵2x2－(2m＋4)x＋4m＝0.
∴2(x－2)(x－m)＝0，
∴x＝2或x＝m.
∵另两边长a，c恰好是这个方程的两个根，
∴m＝a＝3，∴c＝2，经检验，符合三角形三边关系，
∴△ABC的周长＝a＋b＋c＝3＋3＋2＝8.
综上所述，△ABC的周长为7或8.
16．(10分)阅读材料：
为解方程(x2－1)2－5(x2－1)＋4＝0，我们可以将x2－1看作一个整体，设x2－1＝y，那么原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2－1＝1，∴x2＝2，∴x＝±；当y＝4时，x2－1＝4，∴x2＝5，∴x＝±，故原方程的解为x1＝，x2＝－，x3＝，x4＝－.
请你仿照上述方法解方程：
(1)x4－x2－6＝0；
(2)(x2＋x)2＋(x2＋x)＝6.
解：(1)设x2＝y，则原方程可化为y2－y－6＝0，解得y1＝3，y2＝－2(舍去)，当y＝3时，x2＝3，
∴x＝±，∴原方程的解为x＝±.
(2)设x2＋x＝y，则原方程可化为
y2＋y＝6，解得y1＝－3，y2＝2，当y＝－3时，x2＋x＝－3，此方程无解；当y＝2时，x2＋x＝2，解得x1＝－2，x2＝1，
所以原方程的解为x1＝－2，x2＝1.
阶 段 性 测 试(四)
[考查范围：第2章 2.1～2.4 总分：100分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设α，β是一元二次方程x2＋2x－1＝0的两个根，则αβ的值是( D )
A．2 B．1
C．－2 D．－1
2．若x＝－2是关于x的一元二次方程x2＋ax－a2＝0的一个根，则a的值为( C )
A．－1或4 B．－1或－4
C．1或－4 D．1或4
3．某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂五、六月份平均每月生产零件个数的增长率为x，那么x满足的方程是( B )
A．50(1＋x)2＝182
B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182
C．50(1＋2x)＝182
D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝182
4．a，b，c为常数，且ac<0，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( B )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．有一根为0
5．若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( B )
A．k＜5 B．k＜5，且k≠1
C．k≤5，且k≠1 D．k＞5
6．股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是( B )
A．(1＋x)2＝ B．(1＋x)2＝
C．1＋2x＝ D．1＋2x＝
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为__60(1＋x)2＝100__．
8．已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝__6__．
9．如图，小明家有一块长150 cm、宽100 cm的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍．若设花色地毯的宽为x cm，则根据题意列方程为__x2＋125x－3_750＝0__．(化简为一般式)
【解析】 设花色地毯的宽为x cm，那么镶完后地毯的面积＝(150＋2x)(100＋2x)．因为镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，所以，可得出(150＋2x)(100＋2x)＝2×150×100，即x2＋125x－3 750＝0.
10．若对于实数a，b，规定a*b＝例如：2*3，因2＜3，所以2*3＝2×3－22＝2.若x1 , x2是方程x2－2x－3＝0的两根，则x1*x2＝__12或－4__．
三、解答题(共50分)
11．(12分)选择适当的方法解一元二次方程．
(1)25(x－2)2＝49；
(2)x2－2x－2＝0；
(3)4x2－5x－7＝0；
(4)(x－)2＝5(－x)．
解：(1)(x－2)2＝，
(x－2)＝±，
所以x1＝，x2＝；
(2)x2－2x＝2，
x2－2x＋1＝3，
(x－1)2＝3，
x－1＝±，
所以x1＝1＋，x2＝1－；
(3)Δ＝(－5)2－4×4×(－7)＝137，
x＝，
所以x1＝，x2＝；
(4)(x－)2＋5(x－)＝0，
(x－)(x－＋5)＝0，
x－＝0或x－＋5＝0，
所以x1＝，x2＝－5.
12．(10分)已知关于x的方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根x1，x2.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若x1－x2＝2，求实数m的值．
解：(1)由题意，得Δ＝(－2)2－4×1×m＝4－4m＞0，
解，得m＜1，
即实数m的取值范围是m＜1；
(2)由根与系数的关系，得x1＋x2＝2，
即
解，得x1＝2，x2＝0，
由根与系数的关系，得m＝2×0＝0.
m＝0与m<1相符．
13．(8分)关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0.
(1)当b＝a＋2时，利用根的判别式判断方程根的情况；
(2)若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时方程的根．
解：(1)a≠0，
Δ＝b2－4a＝(a＋2)2－4a＝a2＋4a＋4－4a＝a2＋4，
∵a2＞0，
∴Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
(2)∵方程有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2－4a＝0.
若b＝2，a＝1，则方程变形为x2＋2x＋1＝0，解得x1＝x2＝－1.
14．(10分)把一边长为40 cm的正方形硬纸板，四角各剪去一个同样大小的正方形，剩余部分可折成一个底面积为484 cm2的无盖长方体盒子，那么剪掉的正方形的边长为多少(纸板的厚度忽略不计)?
【答案】 剪掉的正方形的边长为9 cm.
15．(10分)某商店经销一种成本为每千克20元的水产品，据市场分析，若按每千克30元销售，一个月能售出500 kg，销售单价每涨1元，月销售量就减少10 kg，解答以下问题．
(1)当销售单价定为每千克35元时，计算销售量和月销售利润；
(2)商店想在月销售成本不超过6 000元的情况下，使得月销售利润达到8 000元，销售单价应为多少？
解：(1)销售量：500－(35－30)×10＝450(kg)．
销售利润：450×(35－20)＝450×15＝6750(元)．
(2)销售单价应为每千克60元．
