浙教版八下数学第2章《一元二次方程》根的判别式问题专题测试
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.一元二次方程 有两个相等的实数根，那么实数 的取值为（?? ）
A.?＞2?????????????????????????????????B.?≥2?????????????????????????????????C.?＝2?????????????????????????????????D.?＝
2.如果关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是(? ???)
A.????????????????????? B.?且 ???????????????????? C.????????????????????? D.?且
3.关于 ?的方程 的两个根互为相反数，则k值是（?????? ）
A.?-1??????????????????????????????????????? B.???????????????????????????????????????? C.?2???????????????????????????????????????? D.?-2
4.下列方程① ，② ，③ ，④ 没有实数根的是（???????? ）
A.?①②③④??????????????????????????????? B.?①③???????????????????????????????? C.?②④???????????????????????????????? D.?②③④
5.若关于x的方程x2＋2x＋ a ＝0不存在实数根，则 a 的取值范围是（????? ）
A.?????????????????????????????????? B.?????????????????????????????????? C.????????????????????????????????? D.?
6.若关于 的一元二次方程 有实数根，则 的非负整数值是（?? ）
A.?1????????????????????????????????????????B.?0,1????????????????????????????????????????C.?1,2????????????????????????????????????????D.?1,2,3
7.已知 的三边长为a，b，c，且满足方程a2x2-（c2-a2-b2）x+b2=0，则方程根的情况是（?? ）。
A.?有两相等实根?????????????????????? B.?有两相异实根????????????????????????C.?无实根????????????????????????D.?不能确定
8.已知a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，则关于x的一元二次方程（c+a）x2+2bx+（c-a）=0根的情况是（ ）.
A.?方程无实数根????????B.?方程有两个不相等的实数根????????C.?方程有两个相等的实数根????????D.?无法判断
9.关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（ ）.
A.?k为任何实数，方程都没有实数根 B.?k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根 C.?k为任何实数，方程都有两个相等的实数根 D.?根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种
10.已知b2-4ac是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一个实数根，则ab的取值范围为（????）
????????????????????????????????B.????????????????????????????????C.????????????????????????????????D.?
填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是________
12.若关于x的方程 有两个相等的实数根，则式子 的值为________
13.如果恰好只有一个实m数是关于x的方程 的根，则k=________．
14.如果关于x的一元二次方程2x(kx-4)-x2+6=0没有实数根，那么k的最小整数值是________.
15.若关于x的一元二次方程（m+3）x2+5x+m2+2m－3=0有一个根是0，则m=________，另一根为________。
16.在△ABC中，已知两边a=3，b=4，第三边为c．若关于x的方程 有两个相等的实数根，则该三角形的面积是________
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（12分）用公式法解下列方程.
（1）； （2）； （3）.
（4）解方程： ．有一位同学解答如下：这里， ， ， ,
∴ ,
∴ ,
∴ ， ．
请你分析以上解答有无错误,如有错误,找出错误的地方,并写出正确的结果．
18（6分）.阅读下列材料：求函数 的最大值.
解：将原函数转化成关于 的一元二次方程，得 .
当 时，∵x为实数，∴△＝
∴ 且 ；
当 时， 即为 ，方程有解（ 的值存在）；
∴ .因此， 的最大值为4.
根据材料给你的启示，求函数 的最小值.
19.（8分）已知关于 的方程 .
（1）求证：方程有两个不相等的实数根.
（2）当 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解.
20.（10分）已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
21.（10分）已知关于x的方程（a-1） +2x+a-1=0．
（1）若该方程有一根为2，求a的值及方程的另一根；
（2）当a为何值时，方程仅有一个根？求出此时a的值及方程的根．
22.（10分）已知关于x的方程
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根大于2，求 的取值范围．
23.（10分）设a，b，c是△ABC的三条边，关于x的方程 x2+ x+c- a=0有两个相等的实数根，方程3cx+2b=2a的根为x=0.
（1）试判断△ABC的形状； （2）若a，b为方程x2+mx-3m=0的两个根，求m的值.
浙教版八下数学第2章《一元二次方程》根的判别式问题专题测试
答案
一、单选题
1.【答案】 C
2.【答案】 B
3.【答案】 D
4.【答案】 C
5.【答案】 B
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】 C
9.【答案】 B
10.【答案】 C
二、填空题
11.【答案】k≤5且k≠1
12.【答案】1
13.【答案】2,-2,
14.【答案】2
15.【答案】 m=1；
16.【答案】6或
三、计算题
17.【答案】（1）解： ， ， ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，
（2）解：将方程化为一般形式 ，
∴ ， ， ,
∴ ,
∴ ，∴ ，
（3）解： ， ， ,
∴ ，
∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根
（4） 解：这位同学的解答有错误,错误在 ,而不是 ,并且导致以后的计算都发生相应的错误．
正确的解答是:
首先将方程化为一般形式 ，
∴ ， ， ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，
18.【答案】解：将原函数转化得
当 时，∵x为实数，
∴△＝ ＝ ；
∴ 且
当y=3时， 即为 ，
方程有解（ 的值存在）；
∴ .因此，y的最小值为
19.【答案】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根
（2）解：设方程的两个根为x1 ， x2 ， 由题意得：
x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，
当m=﹣2时，方程两根互为相反数，
当m=﹣2时，原方程为x2﹣5=0，
解得：x1=﹣ ，x2=
20.【答案】 （1）解：△ABC是等腰三角形；理由如下：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2 ， ∴△ABC是直角三角形
（3）解：当△ABC是等边三角形，方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0
可整理为2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
21.【答案】 （1）解：将x＝2代入方程 ?，
得 ?， 解得：
将 代入原方程得 ?， 解得： ，
∴ ?， 方程的另一根为
（2）解：①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.
②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．
当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；
当a＝0时， 原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．
综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1
22.【答案】 （1）证明：Δ＝(a－3)2－4×3×(－a)＝(a＋3)2.
∵a>0，∴(a＋3)2>0，即Δ>0，∴方程总有两个不相等的实数根
（2）解：解方程得x1＝－1，x2＝
∵方程有一个根大于2，∴
23.【答案】（1）解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴
化简得，a+b-2c=0，
又∵3cx+2b=2a的根为x=0，
∴a=b，
把a=b代入a+b-2c=0得a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形
（2）解：a，b是方程x2+mx-3m=0的两个根，
∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根，
∴△=m2-4×（-3m）=0，
即m2+12m=0，
∴m1=0，m2=-12．
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），
∴m=-12
浙教版八下数学第2章《一元二次方程》根的判别式问题专题测试
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵一元二次方程 有两个相等的实数根 ∴?=42-4×2c=0 ∴c=2 故答案为：C。 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根则?=0，代入计算即可。
2.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵ 关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴【-（2K+1）】2-4k2=0且k2≠0， ∴k＞且k≠0。 故答案为：B。 【分析】因为一元二次方程由两个不相等的实数根，所以△＞0且a≠0，代入化简即可求得。
3.【答案】 D
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程 的两个根互为相反数，
∴k2-4=0 ，解得： ，
当 时，方程为： 无实数根，
当 时，方程 ，两根为 为互为相反数，
故答案为：D
【分析】根据已知方程两根互为相反数，即可得出两个根之和为0，即k2-4=0 ，求出k的值，再利用一元二方程根的判别式确定出k的值即可。
4.【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵① ， b2-4ac=0-4×2×（-1）=8＞0， ∴方程有两个不相等的实数根； ∵② ， ∴x2=-1， ∴此方程无实数根；
∵③ ， ∴b2-4ac=25+28=53＞0 ∴方程有两个不相等的实数根； ∵④ ，? ∴b2-4ac=9-64=-55＜0 ∴方程无实数根； 故无实数根的方程是②④， 故答案为：C
【分析】先将各个方程化成一般形式，再计算b2-4ac的值，利用一元二次方程根的判别式逐一判断，即可得出答案。
5.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根， ∴ ， 解得：a ＞1 ， 故答案为：B 【分析】 由已知原方程无实数根，可得出b2-4ac＜0，建立关于a的不等式，求出不等式的解集。
6.【答案】A
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得：△=16-12k≥0，且k≠0，
解得：k≤ ，
则k的非负整数值为1或0．
∵k≠0，
∴k=1．
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程有实数根可知其根的判别式应该不为负数，且二次项的系数不能为0，从而列出不等式组，求解并找出 的非负整数值即可。
7.【答案】C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵a，b，c为△ABC的三边长，
∴a2≠0．
∴△=（c2-a2-b2）2-4a2?b2 ，
=（c2-a2-b2-2ab）（c2-a2-b2+2ab），
=[c2-（a+b）2][c2-（a-b）2]，
=（c-a-b）（c+a+b）（c+a-b）（c-a+b），
又∵三角形任意两边之和大于第三边，
所以△＜0，则原方程没有实数根．
答案为：C．
【分析】算出判别式，进行分解因式，再根据两边之和大于第三边，得出答案△＜0，则原方程没有实数根．
8.【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，勾股定理
【解析】【解答】∵a、b、c分别为Rt△ABC（∠C=90°）的三边的长，
∴a2+b2=c2 ，
∵△=4b2-4（c+a）（c-a）=4（b2-c2+a2），
∴△=0，
∴方程有两个相等的两个实数根．
选C ．
【分析】先根据勾股定理得到a2+b2=c2 ， 再计算出△=4b2-4（c+a）（c-a）=4（b2-c2+a2）=0，于是根据判别式的意义判断方程根的情况
9.【答案】 B
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】△=4k2-4（k-1）
=（2k-1）2+3，
∵（2k-1）2≥0，
∴（2k-1）2+3＞0，
即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
选B
【分析】先计算判别式的值得到△=（2k-1）2+3，根据非负数的性质得△＞0，然后根据判别式的意义进行判断
10.【答案】 C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0的解是，所以或者.以为例，设=y，则，解得。则，从而求出.
故选择C。
二、填空题
11.【答案】k≤5且k≠1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程有实根， ∴， 解得：k≤5且k≠1. 故答案为：k≤5且k≠1. 【分析】根据一元二次方程根的判别式和其定义列式，解之即可得出答案.
12.【答案】1
【考点】代数式求值，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ 关于x的方程 有两个相等的实数根， ∴△=0，即(-m)2-4m=0,解得：m1=0,m2=4,当m=0时， =1；当m=4时， =2×42-8×4+1=1，综上所述即可得出 的值为1； 故答案为：1.
【分析】根据关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根可知根的判别式等于0，从而列出方程，求解得出m的值，然后将m的值分别代入代数式，按有理数的混合运算顺序算出答案。
?
13.【答案】2,-2,
【考点】一元一次方程的解，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根，
则k2-4=0，
解得k=±2，
当原方程是一元二次方程时，
△=b2-4ac=0，
即：4（k-1）2-4（k2-4）=0
解得：k= ．
故答案为：2,-2, ．
【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论可得出答案。
14.【答案】2
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】先把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，由关于x的一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0没有实数根，所以2k﹣1≠0且△＜0，即解得k＞ ，即可得到k的最小整数值． 把方程化为一般形式：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0， ∵原方程为一元二次方程且没有实数根， ∴2k﹣1≠0且△＜0，即△=（﹣8）2﹣4×（2k﹣1）×6=88﹣48k＜0，解得k＞ ． 所以k的取值范围为：k＞ ． 则满足条件的k的最小整数值是2． 故答案为2． 【分析】首先将方程整理成一般形式，根据一元二次方程没有实数根，故根的判别式应该小于0，二次项的系数不为零，从而列出不等式组，求解即可。
15.【答案】 m=1；
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵方程（m+3）x2+5x+m2+2m-3=0有一个根为0，∴将x=0代入方程得：m2+2m-3=0，即（m-1）（m+3）=0，解得：m1=1，m2=-3，又原方程为关于x的一元二次方程，m+3≠0，即m≠-3，则m=1．
那么方程为4x2+5x=0解得x=0或 ∴另一个根是
【分析】方程有一根为0，那么将x=0代入即可得到m的一元二次方程，解方程并结合一元二次方程的定义即可求得m的值，从而求得一元二次方程，解该方程即可求得另一个根.
16.【答案】6或
【考点】根的判别式，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+(c?4)x+ =0有两个相等的实数根， ∴△=(c?4) 2?4×1× =0， 解得：c=5或3， 当c=5时， ∵a=3，b=4， ∴a2+b2=c2， ∴∠ACB=90°， ∴△ABC的面积是 ×3×4=6； 当c=3时，如图， ， AB=BC=3，过B作BD⊥AC于D， 则AD=DC=2， ∵由勾股定理得：BD= ， ∴△ABC的面积是 ×4× =2 ； 故答案为：6或2 . 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式,勾股定理,勾股定理的逆定理,三角形面积,等腰三角形性质的应用,关键是求出三角形ABC的高,题目比较好,用了分类讨论思想.
三、简答题
17.【答案】（1）解： ， ， ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，
（2）解：将方程化为一般形式 ，
∴ ， ， ,
∴ ,
∴ ，∴ ，
（3）解： ， ， ,
∴ ，
∵在实数范围内，负数不能开平方，∴此方程无实数根
【考点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】（1）先找到对应的a，b，c从而求得判别式的值，判别式大于0，所以方程有两个不相等的实数根，利用公式求解即可；（2）将方程化为一般式，找到对应的a，b，c的值，求得判别式的值，判别式大于0，利用求根公式即可求解；（3）找到对应的a，b，c的值，求得判别式的值，判别式的值小于0，所以方程没有实数根.
（4） 解：这位同学的解答有错误,错误在 ,而不是 ,并且导致以后的计算都发生相应的错误．
正确的解答是:
首先将方程化为一般形式 ，
∴ ， ， ,
∴ ,
∴ ,
∴ ，
【考点】一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【分析】在利用求根公式求一元二次方程的根时，需要先将方程化为一般式：.
18.【答案】解：将原函数转化得
当 时，∵x为实数，
∴△＝ ＝ ；
∴ 且
当y=3时， 即为 ，
方程有解（ 的值存在）；
∴ .因此，y的最小值为
【考点】一元二次方程根的判别式及应用，一元二次方程的应用
【解析】【分析】类比阅读材料给出的方法，分类探讨（当y≠3时和当y=3时）得出函数的最小值即可。
19.【答案】（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）
=m2﹣4m+8
=（m﹣2）2+4，
∵（m﹣2）2≥0，
∴（m﹣2）2+4＞0，
即△＞0，
所以方程有两个不相等的实数根
（2）解：设方程的两个根为x1 ， x2 ， 由题意得：
x1+x2=0，即m+2=0，解得m=﹣2，
当m=﹣2时，方程两根互为相反数，
当m=﹣2时，原方程为x2﹣5=0，
解得：x1=﹣ ，x2=
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）一元二次方程的根的个数与判别式有关，当0时，方程有两个不等的实数根，即=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=（m﹣2）2+40，因此，此方程有两个不等的实数根。 （2）设方程的两个根为x1 ， x2，根据题意可得x1+x2=0，即m+2=0，求得m的值，再代入方程中求解x的值即可。
20.【答案】 （1）解：△ABC是等腰三角形；理由如下：∵x＝－1是方程的根，
∴(a＋c)×(－1)2－2b＋(a－c)＝0，∴a＋c－2b＋a－c＝0，
∴a－b＝0，∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，∴(2b)2－4(a＋c)(a－c)＝0，∴4b2－4a2＋4c2＝0，
∴a2＝b2＋c2 ， ∴△ABC是直角三角形
（3）解：当△ABC是等边三角形，方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0
可整理为2ax2＋2ax＝0，∵a≠0，∴x2＋x＝0，解得x1＝0，x2＝－1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=1代入方程，化简可得出a－b＝0即a=b，据此可判断三角形的形状。 （2）由方程有两个相等的实数根，可得出b2-4ac=0，就可得出a、b、c之间的关系式，即可判断三角形的形状。 （3）由△ABC是等边三角形，则a=c=b，代入方程，求出方程的解即可。
21.【答案】 （1）解：将x＝2代入方程 ?，
得 ?， 解得：
将 代入原方程得 ?， 解得： ，
∴ ?， 方程的另一根为
（2）解：①当a＝1时，方程为2x＝0，解得：x＝0.
②当a≠1时，由b2－4ac＝0得4－4(a－1)2＝0，解得：a＝2或0．
当a＝2时， 原方程为：x2＋2x＋1＝0，解得：x1＝x2＝－1；
当a＝0时， 原方程为：－x2＋2x－1＝0，解得：x1＝x2＝1．
综上所述，当a＝1，0，2时，方程仅有一个根，分别为0，1，－1
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）将x=2代入方程求出a的值，再将a的值代入原方程求出方程的解，就可得出方程的另一个根。 （2）由已知方程只有一个根，分两种情况讨论：当a=1时；当a≠1时，分别求出a的值及方程的根即可。
22.【答案】 （1）证明：Δ＝(a－3)2－4×3×(－a)＝(a＋3)2.
∵a>0，∴(a＋3)2>0，即Δ>0，∴方程总有两个不相等的实数根
（2）解：解方程得x1＝－1，x2＝
∵方程有一个根大于2，∴
【考点】一元二次方程的根，一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）先求出b2-4ac，再将其转化为完全平方式，即可得证。 （2）解方程求出方程的两根，再根据方程的一个根大于2，建立关于a的不等式求解即可。
23.【答案】（1）解：∵方程 有两个相等的实数根，
∴
化简得，a+b-2c=0，
又∵3cx+2b=2a的根为x=0，
∴a=b，
把a=b代入a+b-2c=0得a=c，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形
（2）解：a，b是方程x2+mx-3m=0的两个根，
∴方程x2+mx-3m=0有两个相等的实数根，
∴△=m2-4×（-3m）=0，
即m2+12m=0，
∴m1=0，m2=-12．
当m=0时，原方程的解为x=0（不符合题意，舍去），
∴m=-12
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个相等的实数根，故其根的判别式应该等于0，从而得出a+b-2c=0，根据方程根的定义将x=0代入方程3cx+2b=2a即可得出a=b，将a=b代入a+b-2c=0得a=c从而得出结论：△ABC为等边三角形； （2）根据题意该方程有两个相等的实数根，故其根的判别式应该等于0，从而列出方程，求解并检验即可得出m的值。
