浙教版八下数学第2章《一元二次方程》配方法问题专题测试
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列方程配方正确的是（? ?）
A.??????????????????????????????????????? B.? C.?????????????????????????????????????? D.?
2.用配方法解一元一次方程x2-6x-3=0，经配方后得到的方程是（?? ）
A.??????????????????? B.?????????????????? C.?????????????????? D.?
3.已知代数式x2+y2+4x-6y+17的值是(??? )
A.?负数????????????????????????????????? B.?非正数????????????????????????????????? C.?非负数???????????????????????????????? D.?正数
4.将一元二次方程 -6x-5=0化成 =b的形式，则b等于（?? ）
A.?4??????????????????????????????????????? B.?-4???????????????????????????????????????? C.?14???????????????????????????????????????? D.?-14
5.已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 （?? ）
A.?﹣12??????????????????????????????????? B.?﹣1??????????????????????????????????? C.?4?????????????????????????????????? D.?无法确定
6.一元二次方程式x2﹣8x=48可表示成（x﹣a）2=48+b的形式，其中a、b为整数，求a+b之值为何（?? ）
A.?20???????????????????????????????????? B.?12???????????????????????????????????? C.?﹣12????????????????????????????????????? D.?﹣20
7.如果x2+2（1－2m）x+9=0（m≠0）的左边是一个关于x的完全平方公式，则m等于（? ）.
A.?1??????????????????????????????????? B.?-1??????????????????????????????????? C.?－1或1?????????????????????????????????? D.?－1或2
8.若M=2 -12x+15，N= -8x+11，则M与N的大小关系为（??? ）
A.?M≥N??????????????????????????????????B.?M＞N??????????????????????????????????C.?M≤N??????????????????????????????????D.?M＜N
9.不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值是（?? ）
A.?总是正数??????????????????? B.?总是负数?????????????????? C.?可以是零?????????????????? D.?可以是正数也可以是负数
10.△ABC三边a，b，c满足a2+b+| ﹣2|=10a+2 ﹣22，△ABC为（? ）
A.?等腰三角形????????????????? B.?等边三角形?????????????????? C.?直角三角形??????????????????? D.?等腰直角三角形
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.已知 ，则 的值是________?.
12.已知x2+y2-2x-4y+5=0，分式 的值为________．
13.已知3x﹣y=3a2﹣6a+9，x+y=a2+6a﹣9，若x≤y，则实数a的值为________．
14.已知： ，则 ________．
15.若a为实数，则代数式 的最小值为________．
16.若一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根，则a2﹣b2+5的最小值为________．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（5分）已知 ， ，求 的值．
18.（5分）知△ABC的三边a、b、c满足a2+b2+c2－ab－bc－ac＝0，试判断△ABC的形状
19.（5分）已知a2+4a+b2﹣6b+13=0，求ba的值．
20.（5分）如果x2-4x+y2+6y+ +13=0，求 的值．
21.（10分）阅读材料：为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则 ，原方程化为 ????? ①
解得 ，
当 时， ， ， ；
当 时， ， ， ；
原方程的解为 ， ， ，
解答问题：
填空：在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了降次的目的，体现了________的数学思想．
（2）解方程 ．
22.（12分）根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知x2+4x+4+y2-8y+16=0，求 的值；
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a2+b2-8b-10a+41=0，求△ABC中最大边c的取值范围；
（3）试说明不论x，y取什么有理数时，多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数．
23.（12分）阅读材料：若m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，求m、n的值．
解：∵m2﹣2mn+2n2﹣8n+16=0，∴（m2﹣2mn+n2）+（n2﹣8n+16）=0
∴（m﹣n）2+（n﹣4）2=0，∴（m﹣n）2=0，（n﹣4）2=0，∴n=4，m=4．
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知a2+6ab+10b2+2b+1=0，求a﹣b的值；
（2）已知等腰△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，求△ABC的周长；
（3）已知x+y=2，xy﹣z2﹣4z=5，求xyz的值．
24（12分）.先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：
例题：求代数式y2+4y+8的最小值．
解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+4
∵（y+2）2≥0
∴（y+2）2+4≥4
∴y2+4y+8的最小值是4．
（1）求代数式m2+m+4的最小值；
（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；
（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB=x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？
浙教版八下数学第2章《一元二次方程》配方法问题专题测试
答案版
一、单选题
1.【答案】 D
2.【答案】 A
3.【答案】 D
4.【答案】 C
5.【答案】 C
6.【答案】A
7.【答案】 D
8.【答案】 A
9.【答案】A
10.【答案】A
二、填空题
11.【答案】7
12.【答案】2020
13.【答案】3
14.【答案】3
15.【答案】3
16.【答案】1
三、解答题
17.【答案】解：∵ ， ，
∴ ．
即 的值是 ．
18.【答案】解：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 ，
即（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）=0 ，
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
即a=b=c，
∴△ABC是等边三角形
19.【答案】解：∵a2+4a+b2﹣6b+13=（a+2）2+（b﹣3）2=0， ∴a=﹣2，b=3， ∴原式= ．
20.【答案】解： ， 因为 且和为0，所以 ，则 ，即 .
21.【答案】（1）换元；整体
（2）解：令 y=x2，原方程化为 y2-y-6=0 ，
解得 =3, =-2 ，
又因为 y≥0 ，
所以 y=，
22.【答案】（1）解：∵x2+4x+4+y2-8y+16=0
∴（x+2）2+（y-4）2=0，
∴（x+2）2=0，（y-4）2=0，
∴x=-2，y=4
∴ =-
（2）解：∵a2+b2-8b-10a+41=0，
∴（a-5）2+（b-4）2=0，
∴（a-5）2=0，（b-4）2=0，
∴a=5，b=4
△ABC中最大边5＜c＜9
（3）解：∵x2+y2-2x+2y+3=（x-1）2+（y+1）2+1，
且（x-1）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x=1，y=-1
∴（x-1）2+（y+1）2+1＞0，
∴多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数
23.【答案】（1）解：∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，
∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，
∴（a+3b）2+（b+1）2=0，
∴a+3b=0，b+1=0，
解得b=﹣1，a=3，
则a﹣b=4
（2）解：∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，
∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，
则a﹣1=0，b﹣3=0，
解得，a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3=7
（3）解：∵x+y=2，
∴y=2﹣x，
则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，
∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，
∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，
则x﹣1=0，z+2=0，
解得x=1，y=1，z=﹣2，
∴xyz=2
24.【答案】（1）解： m2+m+4=（m+ ）2+ ，
∵（m+ ）2≥0，
∴（m+ ）2+ ≥ ，
则m2+m+4的最小值是 ；
（2）解：4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）解：由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
浙教版八下数学第2章《一元二次方程》配方法问题专题测试
解析版
一、单选题
1.【答案】 D
【考点】配方法的应用
【解析】【解答】A、x2-2x-1=（x-1）2-2，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 y2-2y-2=（y-1）2-3，故不符合题意；
D、 y2-6y+1=（y-3）2-8，故符合题意．
故答案为：D．
【分析】观察各选项，x或y的二次项的系数都为1，因此分别加上一次项系数一半的平方，再减去一次项系数一半的平方，再写成完全平方式，即可得出配方正确的选项。
2.【答案】 A
【考点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x=3，
x2-6x+9=12，
所以（x-3）2=12．
故答案为：A
【分析】通过配方法，可得出一元一次方程的完全平方的形式。
3.【答案】 D
【考点】偶次幂的非负性，配方法的应用
【解析】【解答】x2+y2+4x-6y+17，
=x2+4x+4+y2-6y+9+4，
=（x+2）2+（y-3）2+4，
∵（x+2）2≥0，（y-3）2≥0，
∴（x+2）2+（y-3）2+4≥4，
故x2+y2+4x-6y+17的值一定是正数．
故答案为：D．
【分析】将x2+y2+4x-6y+17转化为（x+2）2+（y-3）2+4，利用平方的非负数，可得出此代数式的值一定是正数。
4.【答案】 C
【考点】配方法的应用
【解析】【解答】解：方程 -6x-5=0， 移项得： -6x=5，配方得： -6x+9=14， 即 =14，则b=14， 故答案为：C
【分析】将方程配方转化为( x ? 3 )2 =14，就可得出b的值。
5.【答案】 C
【考点】偶次幂的非负性，配方法的应用
【解析】【解答】解：∵m﹣n2=1，
∴n2=m﹣1，
m≥1，
∴m2+2n2+4m﹣1
=m2+2m﹣2+4m﹣1
=m2+6m﹣3
=（m+3）2﹣12，
∵（m+3）2≥16，
∴（m+3）2﹣12≥4．
故答案为：C
【分析】将m﹣n2=1转化为n2=m﹣1，可得出m的取值范围，再将m2+2n2+4m﹣1转化为（m+3）2﹣12，然后根据m≥1，可得出答案。
6.【答案】A
【考点】完全平方公式及运用，配方法的应用
【解析】【解答】∵x2﹣8x=48，
∴x2﹣8x+16=48+16，
∴（x﹣4）2=48+16，
∴a=4，b=16，
∴a+b=20．
故答案为：A．
【分析】根据配方法的原则：加上一次项系数一半的平方；再根据完全平方差公式得出a和b的值，从而求出a+b的值.
7.【答案】 D
【考点】完全平方公式及运用，配方法的应用
【解析】【解答】易得 ，所以 .
【分析】此题考查根据完全平方公式，中间项的符号注意，两种情况.
8.【答案】 A
【考点】配方法的应用
【解析】【解答】解：M-N=（2 -12x+15）-（ -8x+11）= -4x+4= ． ∵ ≥0，∴M≥N． 故答案为：A
【分析】先计算M-N的值，再将M-N的值转化为完全平方形式，确定其符合，即可解答。
9.【答案】A
【考点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵（a﹣1）2≥0，（b﹣2）2≥0，
∴原式=（a2﹣2a+1）+（b2﹣4b+4）+2=（a﹣1）2+（b﹣2）2+2≥2＞0，
则不论a，b为何实数，a2+b2﹣2a﹣4b+7的值总是正数，
故选A
【分析】原式配方后，利用非负数的性质判断即可得到结果．
10.【答案】A
【考点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2+b+| ﹣2|=10a+2 ﹣22，
∴a2﹣10a+25+b﹣4﹣2 +1+| ﹣2|=0，
即（a﹣5）2+（ ﹣1）2+| ﹣2|=0，
根据几个非负数的和为0，则这几个非负数同时为0，得a=5，b=5，c=6．
故该三角形是等腰三角形．
故选A．
【分析】由于a2+b+| ﹣2|=10a+2 ﹣22，等式可以变形为a2﹣10a+25+b﹣4﹣2 +1+| ﹣2|=0，然后根据非负数的和是0，这几个非负数就都是0，就可以求解．
二、填空题
11.【答案】7
【考点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵a2+ （a+ ）2-2；又∵a+ =3， ∴a2+ 32-2=7，故答案为：7.【分析】解本题的关键步骤是：.
12.【答案】2020
【考点】配方法的应用，非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵x2+y2-2x-4y+5=0，∴x2-2x+1+y2-4y+4=0， （x-1）2+（y-2）2=0， ∴x=1，y=2， ∴ =2- =1.5； 故答案为：1.5 【分析】将方程的左边配方转化为（x-1）2+（y-2）2=0，再根据非负数和的性质求出x、y的值，然后代入分式计算即可。
13.【答案】3
【考点】配方法的应用
【解析】【解答】解：依题意得： ，解得 ∵x≤y， ∴a2≤6a﹣9， 整理，得（a﹣3）2≤0， 故a﹣3=0， 解得a=3． 故答案是：3 【分析】将两方程看成是关于x、y的二元一次方程组，求出x、y的值，再根据x≤y，得出（a﹣3）2≤0，根据任意数的平方都是非负数，可得出a﹣3=0，解方程求出a的值。
14.【答案】3
【考点】因式分解法解一元二次方程，配方法的应用
【解析】【解答】∵ , ∴(x+ )2-2-2( )-1=0, ∴(x+ )2-2( )-3=0, ∴(x+ -3) (x+ +1)=0, ∴x+ =3, x+ +1=0, ∵x+ +1=0的方程无解，则x+ =3,故答案为：3.
【分析】将原方程通过配方转化为，再利用因式分解法解方程，就可求出的值。
15.【答案】3
【考点】配方法的应用
【解析】【解答】解：∵ ?= = ≥3， ∴代数式 的最小值为3， 故答案为：3 【分析】先将根式内的代数式化为二次项系数为1，再进行配方即可求得代数式的值不小于9，从而可求得所给的二次根式的最小值为3.
16.【答案】1
【考点】根的判别式，配方法的应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+1=0有两个相同的实数根， ∴△=b2﹣4a=0， ∴b2=4a， ∴a2﹣b2+5=a2﹣4a+5=（a﹣2）2+1≥1． 故答案为：1． 【分析】由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出△=b2﹣4a=0，即b2=4a，将其代入a2﹣b2+5中，利用配方法即可得出a2﹣b2+5的最小值．
三、解答题
17.【答案】解：∵ ， ，
∴ ．
即 的值是 ．
【考点】完全平方公式及运用，配方法的应用
【解析】【分析】将代数式转化为（m+n)2?3mn，再整体代入求值。
18.【答案】解：∵a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，
∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0 ，
即（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（a2-2ac+c2）=0 ，
∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0,
∴a-b=0，b-c=0，c-a=0，
即a=b=c，
∴△ABC是等边三角形
【考点】等式的性质，等边三角形的判定，非负数的性质：算术平方根，配方法的应用
【解析】【分析】根据等式的基本性质和配方法进行变形，再利用非负数的性质求出a-b=0，b-c=0，c-a=0，即可判断出△ABC的形状。
19.【答案】解：∵a2+4a+b2﹣6b+13=（a+2）2+（b﹣3）2=0， ∴a=﹣2，b=3， ∴原式= ．
【考点】配方法的应用
【解析】【分析】先将a2+b2+4a﹣6b+13=0，整理成平方和的形式，再根据非负数的性质可求出a、b的值，进而可求出ba的值．
20.【答案】解： ， 因为 且和为0，所以 ，则 ，即 .
【考点】负整数指数幂，偶次幂的非负性，配方法的应用
【解析】【分析】此题考查运用配方法配方，再根据平方的非负性、二次根式非负性以及和为0，得出各项为0.
21.【答案】（1）换元
；整体
（2）解：令 y=x2，原方程化为 y2-y-6=0 ，
解得 =3, =-2 ，
又因为 y≥0 ，
所以 y=，
【考点】配方法的应用
【解析】【分析】此题考查运用整体思想，换元，本题关键是学生根据题目的信息阅读出方法.
22.【答案】（1）解：∵x2+4x+4+y2-8y+16=0
∴（x+2）2+（y-4）2=0，
∴（x+2）2=0，（y-4）2=0，
∴x=-2，y=4
∴ =-
（2）解：∵a2+b2-8b-10a+41=0，
∴（a-5）2+（b-4）2=0，
∴（a-5）2=0，（b-4）2=0，
∴a=5，b=4
△ABC中最大边5＜c＜9
（3）解：∵x2+y2-2x+2y+3=（x-1）2+（y+1）2+1，
且（x-1）2≥0，（y+1）2≥0，
∴x=1，y=-1
∴（x-1）2+（y+1）2+1＞0，
∴多项式x2+y2-2x+2y+3的值总是正数
【考点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：右边为0，左边利用配方法可转化为（x+2）2+（y-4）2 ， 再根据几个非负数之和为0的性质，建立过一次x、y的方程，求出x、y的值，即可解答。 （2）将方程左边利用配方法转化为（a-5）2+（b-4）2 ， 再根据几个非负数之和为0的性质，可求出a、b的值，再根据三角形的三边关系定理，可求出△ABC中最大边c的取值范围。 （3）将原多项式配方可转化为（x-1）2+（y+1）2+1，根据平方的非负性可得出答案。
23.【答案】（1）解：∵a2+6ab+10b2+2b+1=0，
∴a2+6ab+9b2+b2+2b+1=0，
∴（a+3b）2+（b+1）2=0，
∴a+3b=0，b+1=0，
解得b=﹣1，a=3，
则a﹣b=4
（2）解：∵2a2+b2﹣4a﹣6b+11=0，
∴2a2﹣4a++2+b2﹣6b+9=0，
∴2（a﹣1）2+（b﹣3）2=0，
则a﹣1=0，b﹣3=0，
解得，a=1，b=3，
由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3，
∴△ABC的周长为1+3+3=7
（3）解：∵x+y=2，
∴y=2﹣x，
则x（2﹣x）﹣z2﹣4z=5，
∴x2﹣2x+1+z2+4z+4=0，
∴（x﹣1）2+（z+2）2=0，
则x﹣1=0，z+2=0，
解得x=1，y=1，z=﹣2，
∴xyz=2
【考点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）参照材料可以将所给代数式分两组进行配方，配方后利用二次方的非负性可求得a，b的值，即可求得a-b的值；（2）先根据配方法求得a，b的值，再利用三角形为等腰三角形及三角形三边关系可得到三角形三边长，进而可求得三角形的周长；（3）将二元一次方程变形后代入第二个方程，再进行配方法，即可求得x，z的值，从而可求得y的值，即可求得xyz的值.
24.【答案】（1）解： m2+m+4=（m+ ）2+ ，
∵（m+ ）2≥0，
∴（m+ ）2+ ≥ ，
则m2+m+4的最小值是 ；
（2）解：4﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+5，
∵﹣（x﹣1）2≤0，
∴﹣（x﹣1）2+5≤5，
则4﹣x2+2x的最大值为5；
（3）解：由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）=﹣2x2+20x，
∵﹣2x2+20x=﹣2（x﹣5）2+50=﹣2（x﹣5）2≤0，
∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，
∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x=5，
则当x=5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2
【考点】配方法的应用
【解析】【分析】（1）先对所给代数式进行配方，结合平方的非负性即可求得所给代数式的最小值；（2）先将代数式的二次项系数化为1，再配方，即可得到一个数减去一个非负数，从而可求得代数式的最大值；（3）根据题意可用x表示出花园的面积，可知其为一个一元二次多项式，先将二次项系数化为1，再进行配方即可求得花园面积的最大值，及此时x的值.
