阶 段 性 测 试(九)
[考查范围：第5章 5.1～5.2 总分：100分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( D )
A B C D
2．下面性质中菱形有而矩形没有的是( D )
A．邻角互补 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．菱形的两条对角线长分别为6 cm、8 cm，则它的面积为( C )
A．6 cm2 B．12 cm2
C．24 cm2 D．48 cm2
4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是( C )
A．20° B．40°
C．80° D．100°
5．我们把顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．则矩形的中点四边形是( B )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．四边形
6．如图，将边长为2 cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线l翻折得到四边形ABEF，若∠DAB＝30°，则四边形CDFE的面积为( C )
A．2 cm2 B．3 cm2
C．4 cm2 D．6 cm2
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是__6__．
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结CE，则CE的长为____．
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连结DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝____．
第9题图 第10题图
10. 如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件__AB＝BC(或BC＝2AB)__时，四边形PEMF为矩形．
三、解答题(共50分)
11．(8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠COD＝90°，CD＝BC.
∴四边形OCED是矩形，∴OE＝CD.
又∵CD＝BC，∴OE＝BC.
12．(10分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.
证明：(1)∵AB＝AC，AH⊥CB，∴BH＝HC.
∵FH＝EH，∴四边形EBFC是平行四边形．
又∵AH⊥CB，∴四边形EBFC是菱形．
(2)证明：∵四边形EBFC是菱形，
∴∠ECH＝∠HCF＝∠ECF.
∵AB＝AC，AH⊥CB，
∴∠CAH＝∠BAC.
∵∠BAC＝∠ECF，
∴∠HCF＝∠HAC
∵AH⊥CB，
∴∠HAC＋∠ACE＋∠ECH＝90°，
∴∠HCF＋∠ACE＋∠ECH＝90°.∴∠ACF＝90°.
即AC⊥CF.
13．(10分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连结各边中点得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是矩形.
解：(1)证明：
∵点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
∴EF綊AC，GH綊AC，
∴EF綊GH，同理EH綊FG.
∴四边形EFGH是平行四边形；
又∵对角线AC，BD互相垂直，
∴EF与FG垂直．
∴四边形EFGH是矩形．
14．(10分)准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，由折叠可得：
∠EBD＝∠ABD，∠FDB＝∠CDB，
∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，
∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．
(2)解：∵四边形BFDE为菱形，
∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝30°.∵∠A＝90°，AB＝2，
∴AE＝＝，BF＝BE＝2AE＝，
∴菱形BFDE的面积为×2＝.
15．(12分)已知，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)当BC＝AB时，判断四边形EFGH为何种特殊四边形，并证明．
第15题图 第15题答图
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB.
∵E，F分别是AD，OA的中点，
∴EF是△AOD的中位线，∴EF綊OD.
同理得到GH是△BOC的中位线，
则GH綊OB，
∴EF綊GH，
∴四边形EFGH为平行四边形；
(2)平行四边形EFGH为矩形．理由如下：
如图，连结EG.
∵点E，G是AD，BC的中点，四边形ABCD是矩形，
∴EG⊥BC，且点O在线段EG上，∠ABC＝90°.
∵BC＝AB，∴AC2＝AB2＋BC2＝AB2＋(AB)2＝4AB2，∴AB＝AC.
∴∠ACB＝30°，
∴OG＝OC＝OH，即OG＝OH.
又∵由(1)知，四边形EFGH为平行四边形，
∴2OG＝2OH，即EG＝FH，∴平行四边形EFGH为矩形.
阶 段 性 测 试(九)
[考查范围：第5章 5.1～5.2 总分：100分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．用矩形纸片折出直角的平分线，下列折法正确的是( )
A B C D
2．下面性质中菱形有而矩形没有的是( )
A．邻角互补 B．内角和为360°
C．对角线相等 D．对角线互相垂直
3．菱形的两条对角线长分别为6 cm、8 cm，则它的面积为( )
A．6 cm2 B．12 cm2
C．24 cm2 D．48 cm2
4．若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线相交所成的锐角是( )
A．20° B．40°
C．80° D．100°
5．我们把顺次连结四边形四条边的中点所得的四边形叫中点四边形．则矩形的中点四边形是( )
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．四边形
6．如图，将边长为2 cm的菱形ABCD沿边AB所在的直线l翻折得到四边形ABEF，若∠DAB＝30°，则四边形CDFE的面积为( )
A．2 cm2 B．3 cm2
C．4 cm2 D．6 cm2
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知菱形ABCD的边长为6，∠ABC＝60°，则对角线AC的长是____．
8．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E，F，连结CE，则CE的长为____．
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，点Q在对角线AC上，且AQ＝AD，连结DQ并延长，与边BC交于点P，则线段AP＝____．
第9题图 第10题图
10. 如图，在矩形ABCD中，M为AD边的中点，P为BC上一点，PE⊥MC，PF⊥MB，当AB，BC满足条件____时，四边形PEMF为矩形．
三、解答题(共50分)
11．(8分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD，连结OE.求证：OE＝BC.
12．(10分)如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AH⊥BC，E是AH上一点，延长AH至点F，使FH＝EH.
(1)求证：四边形EBFC是菱形；
(2)如果∠BAC＝∠ECF，求证：AC⊥CF.
13．(10分)如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，依次连结各边中点得到四边形EFGH，求证：四边形EFGH是矩形.
14．(10分)准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
15．(12分)已知，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F，G，H分别是AD，OA，BC，OC的中点．
(1)求证：四边形EFGH为平行四边形；
(2)当BC＝AB时，判断四边形EFGH为何种特殊四边形，并证明．
第15题图 第15题答图
阶 段 性 测 试(十)
[考查范围：第5章 5.1～5.3 总分：100分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是( D )
A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形
C．矩形、正方形 D．菱形、正方形
2．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为( C )
A．3 B．12 C．18 D．36
第2题图 第3题图
3．如图所示，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是( C )
A．1 B．0.5
C．0.25 D．无法确定
4．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE∥AB，交BC于点E，则OE的长一定等于( A )
A．BE B．AO C．AD D．OB
第4题图 第5题图
5．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5 dm，DF＝4 dm，那么EF的长为( A )
A．6.5 dm B．6 dm
C．5.5 dm D．4 dm
6．如图所示，在?ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是( A )
A．65° B．55° C．70° D．75°
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是__如AC⊥BD__．(写出一个即可)
第7题图 第8题图
8．如图所示，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是 (2＋，1) ．
9．如图所示，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG的面积为4，那么△GCE的面积是__－2__．
第9题图 第10题图
10．在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，
则下列三种说法：
①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形．
②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形．
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中正确的有__①②③__．
三、解答题(共50分)
11．(10分)已知，如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE＝DF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)求∠CEF的度数．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴DC＝BC，∠B＝∠ADC＝90°，
∴∠CDF＝90°＝∠B.
在△CDF和△CBE中，
∵
∴△CDF≌△CBE(ASA)．
∴CE＝CF.
(2)∵△CDF≌△CBE，
∴∠DCF＝∠BCE.
∴∠ECF＝∠DCB＝90°.
∵CF＝CE，
∴∠CEF＝∠CFE＝45°.
12．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.
求证：四边形CDEF是菱形．
证明：连结CE，交AD于点O.
∵AC＝AE，
∴△ACE为等腰三角形．
∵AO平分∠CAE，
∴AO⊥CE，且OC＝OE.
∵EF∥CD，∴∠DCE＝∠FEC.
又∵∠DOC＝∠FOE，
∴△DOC≌△FOE(ASA)．
∴OD＝OF.
即CE与DF互相垂直且平分．
∴四边形CDEF是菱形．
13．(10分)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)填空：当AB∶AD＝________时，四边形MENF是正方形，并说明理由．
解：(1)由SAS可证．
(2)1∶2.理由：∵AB∶AD＝1∶2，∴AB＝AD.∵AM＝AD，∴AB＝AM，∴∠ABM＝∠AMB.∵∠A＝90°，∴∠AMB＝45°.∵△ABM≌△DCM，∴BM＝CM，∠DMC＝∠AMB＝45°，∴∠BMC＝90°.∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，∴EN∥CM，FN∥BM，EM＝MF，∴四边形MENF是菱形，∵∠BMC＝90°，∴菱形MENF是正方形．
14．(10分)折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图1中①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形——叠加矩形．请按照上述操作过程完成下面的问题：
(1)若上述直角三角形的面积为6，则叠加矩形的面积为________；
(2)已知△ABC在正方形网格的格点上，在图2中画出△ABC的边BC上的叠加矩形EFGH(用虚线作出痕迹，实线呈现矩形，保留作图痕迹)；
(3)如图3所示的坐标系，OA＝3，点P为第一象限内的整数点，使得△OAP的叠加矩形是正方形，写出所有满足条件的P点的坐标．
解：(1)叠加矩形的面积为6÷2＝3.
答案：3；
(2)如图所示：
(3)满足条件的P点的横坐标不大于3，纵坐标等于3，有P1(1，3)；P2(2，3)；P3(3，3)．
15．(10分)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF.
(1)当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；
(2)当△FCG的面积为2时，求CG的值．
解：(1)证明：在矩形ABCD中，有∠A＝∠D＝90°，
∴∠DGH＋∠DHG＝90°.
在菱形EFGH中，EH＝GH，
∵AH＝2，DG＝2，∴AH＝DG，
∴△AEH≌△DHG.
∴∠AHE＝∠DGH.
∴∠AHE＋∠DHG＝90°.
∴∠EHG＝90°.
∴四边形EFGH是正方形．
(2)过点F作FM⊥DC于点M，则∠FMG＝90°.
∴∠A＝∠FMG＝90°.连结EG.
由矩形和菱形性质，知AB∥DC，HE∥GF，
∴∠AEG＝∠MGE，
∠HEG＝∠FGE，
∴∠AEH＝∠MGF.
∵EH＝GF，
∴△AEH≌△MGF.∴FM＝AH＝2.
∵S △FCG＝CG·FM＝×CG×2＝2，
∴CG＝2.
阶 段 性 测 试(十)
[考查范围：第5章 5.1～5.3 总分：100分]
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是( )
A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形
C．矩形、正方形 D．菱形、正方形
2．如图所示，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为( )
A．3 B．12 C．18 D．36
第2题图 第3题图
3．如图所示，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任意作一条直线分别交AD，BC于点E，F，则阴影部分的面积是( )
A．1 B．0.5
C．0.25 D．无法确定
4．如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，作OE∥AB，交BC于点E，则OE的长一定等于( )
A．BE B．AO C．AD D．OB
第4题图 第5题图
5．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE＝2.5 dm，DF＝4 dm，那么EF的长为( )
A．6.5 dm B．6 dm
C．5.5 dm D．4 dm
6．如图所示，在?ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE＝40°，∠CEF＝15°，则∠D的度数是( )
A．65° B．55° C．70° D．75°
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA＝OC，OB＝OD，添加一个条件使四边形ABCD是菱形，那么所添加的条件可以是____．(写出一个即可)
第7题图 第8题图
8．如图所示，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是 ．
9．如图所示，正方形ABCD的面积为5，正方形BEFG的面积为4，那么△GCE的面积是____．
第9题图 第10题图
10．在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，
则下列三种说法：
①如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形．
②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形．
③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．
其中正确的有____．
三、解答题(共50分)
11．(10分)已知，如图，四边形ABCD是正方形，E，F分别是AB和AD延长线上的点，且BE＝DF.
(1)求证：CE＝CF；
(2)求∠CEF的度数．
12．(10分)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，E是AB上一点，且AE＝AC，EF∥BC交AD于点F.
求证：四边形CDEF是菱形．
13．(10分)如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
(1)求证：△ABM≌△DCM；
(2)填空：当AB∶AD＝________时，四边形MENF是正方形，并说明理由．
14．(10分)折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴含许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图1中①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形——叠加矩形．请按照上述操作过程完成下面的问题：
(1)若上述直角三角形的面积为6，则叠加矩形的面积为________；
(2)已知△ABC在正方形网格的格点上，在图2中画出△ABC的边BC上的叠加矩形EFGH(用虚线作出痕迹，实线呈现矩形，保留作图痕迹)；
(3)如图3所示的坐标系，OA＝3，点P为第一象限内的整数点，使得△OAP的叠加矩形是正方形，写出所有满足条件的P点的坐标．
15．(10分)如图，在矩形ABCD中，AD＝6，CD＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF.
(1)当DG＝2时，求证：四边形EFGH是正方形；
(2)当△FCG的面积为2时，求CG的值．
