2.3 一元二次方程的应用(1)
A 练就好基础 基础达标
1．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长，若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是( B )
A．100(1＋x) B．100(1＋x)2
C．100(1＋x2) D．100(1＋2x)
2．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程( D )
A．48(1－x)2 ＝36 B．48(1＋x)2 ＝36
C．36(1－x)2 ＝48 D．36(1＋x)2 ＝48
3．2018·绵阳在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( C )
A．9 B．10
C．11 D．12
【解析】 设参加酒会的人数为x，
根据题意，得x(x－1)＝55，
整理，得x2－x－110＝0，
解，得x1＝11，x2＝－10(不合题意，舍去)．
所以参加酒会的人数为11.
4．每个花盆植3株花卉，则每株盈利4元；每个花盆增加1株花卉，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆盈利为15元，设每盆多植x株，则x满足方程( A )
A．(3＋x)(4－0.5x)＝15
B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15
D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
5．2018·眉山我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4 860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( C )
A．8% B．9%
C．10% D．11%
【解析】 设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6 000(1－x)2＝4860，
解，得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去)．
所以平均每次下调的百分率为10%.
6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为__x(x－1)＝2_070__．
7．某工厂一月份产值是5万元，二、三月份的月平均增长率为x.
(1)若三月份的产值是11.25万元， 则可列方程__5(1＋x)2＝11.25__；
(2)若前三月份的总产值是11.25万元， 则可列方程：__5＋5(1＋x)＋5(1＋x)2＝11.25__．
8．某镇2015年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2017年达到82.8公顷．
(1)求该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率；
(2)若年增长率保持不变，2018年该镇绿地面积能否达到100公顷？
【答案】 (1)20% (2)不能
【解析】 (1)设年平均增长率为x.
57．5(1＋x)2＝82.8，
(1＋x)2＝1.44
x＋1＝±1.2
∴x1＝0.2＝20%
x2＝－2.2(舍去)
答：年平均增长率为20%.
(2)82.8×(1＋20%)＝99.36<100，
故2018年该镇绿地面积不能达到100公顷．
B 更上一层楼 能力提升
9．小芳家今年添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据去年5至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时．假设今年5至6月用电量月增长率是6至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时？
【答案】 180千瓦时
【解析】 设今年6月至7月用电量月增长率为x，则今年5月至6月用电量月增长率为1.5x，得
120(1＋x)(1＋1.5x)＝240，
∴3x2＋5x－2＝0，
∴x1＝，x2＝－2(不合题意，舍去)，
∴小芳家6月份的用电量：
120×(1＋1.5x)＝120×
＝180(千瓦时)．
答：小芳家6月份用电量为180千瓦时．
10．2018·德州为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
解：(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(40，600)，(45，550)代入y＝kx＋b，得
解，得
∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为
y＝－10x＋1 000.
(2)设此设备的销售单价为x万元，则每台设备的利润为(x－30)万元，销售数量为
(－10x＋1 000)台，
根据题意，得
(x－30)(－10x＋1 000)＝10 000，
整理，得x2－130x＋4 000＝0，
解，得x1＝50，x2＝80.
∵此设备的销售单价不得高于70万元，
∴x＝50.
答：该设备的销售单价应是50万元．
C 开拓新思路 拓展创新
11．某汽车销售公司4月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．
(1)若该公司当月售出5辆汽车，则每辆汽车的进价为__29.6__万元；
(2)如果汽车的售价为31万/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利＝销售利润＋返利)
【答案】 需要售出6辆汽车．
【解析】 设需售出a辆汽车，则
a[31－(30－(a－1)×0.1)]＋0.5a＝12，
整理，得(a＋7)2＝169，
解得a1＝6，a2＝－20(舍去)，
∴需售出6辆．
12．某草莓园的采摘套票售价为100元/人，成本为60元/人，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，现在草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票便可多售出2张．已知草莓园降价后，平均每天多销售了 1 000 元．
(1)降价后，草莓园平均每天的总销售价为多少元？
(2)草莓园采摘套票降价了多少元？
【答案】 (1)总销售价为 8 000＋1 000＝
9 000(元)． (2)10元
【解析】 (1)∵原来的售价为80×100＝
8 000元，
增加了1 000元，
∴总销售价为8 000＋1 000＝9 000元；
(2)设草莓园采摘套票降价了x元，则
(100－x)(80＋2x)＝9 000.
整理，得x2－60x＋500＝0.
解得x1＝10，x2＝50，
经检验，x2＝50不合题意，舍去，因为此时票价为50，小于成本，降价措施不合理．
答：降价了10元．
2.3 一元二次方程的应用(1)
A 练就好基础 基础达标
1．某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长，若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是( )
A．100(1＋x) B．100(1＋x)2
C．100(1＋x2) D．100(1＋2x)
2．某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程( )
A．48(1－x)2 ＝36 B．48(1＋x)2 ＝36
C．36(1－x)2 ＝48 D．36(1＋x)2 ＝48
3．2018·绵阳在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为( )
A．9 B．10
C．11 D．12
4．每个花盆植3株花卉，则每株盈利4元；每个花盆增加1株花卉，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆盈利为15元，设每盆多植x株，则x满足方程( )
A．(3＋x)(4－0.5x)＝15
B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15
C．(x＋4)(3－0.5x)＝15
D．(x＋1)(4－0.5x)＝15
5．2018·眉山我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4 860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是( )
A．8% B．9%
C．10% D．11%
6．某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为____．
7．某工厂一月份产值是5万元，二、三月份的月平均增长率为x.
(1)若三月份的产值是11.25万元， 则可列方程____；
(2)若前三月份的总产值是11.25万元， 则可列方程：____．
8．某镇2015年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2017年达到82.8公顷．
(1)求该镇2015至2017年绿地面积的年平均增长率；
(2)若年增长率保持不变，2018年该镇绿地面积能否达到100公顷？
B 更上一层楼 能力提升
9．小芳家今年添置了新电器．已知今年5月份的用电量是120千瓦时，根据去年5至7月用电量的增长趋势，预计今年7月份的用电量将达到240千瓦时．假设今年5至6月用电量月增长率是6至7月用电量月增长率的1.5倍，预计小芳家今年6月份的用电量是多少千瓦时？
10．2018·德州为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)成一次函数关系．
(1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10 000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？
C 开拓新思路 拓展创新
11．某汽车销售公司4月份销售某厂汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该汽车的进价为30万元；每多售出1辆，所有售出汽车的进价均降低0.1万元/辆，月底厂家一次性返利给销售公司，每辆返利0.5万元．
(1)若该公司当月售出5辆汽车，则每辆汽车的进价为___万元；
(2)如果汽车的售价为31万/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少辆汽车？(盈利＝销售利润＋返利)
12．某草莓园的采摘套票售价为100元/人，成本为60元/人，每天平均有80人前来采摘．为吸引人气，打响品牌，扩大销售，现在草莓园采取了合理的降价措施．经调查发现，如果票价每下降1元，票便可多售出2张．已知草莓园降价后，平均每天多销售了 1 000 元．
(1)降价后，草莓园平均每天的总销售价为多少元？
(2)草莓园采摘套票降价了多少元？
2.3 一元二次方程的应用(2)
A 练就好基础 基础达标
1．某校准备修建一个面积为180 m2的矩形活动场地，它的长比宽多11 m，设场地的宽为x(m)，则可列方程( C )
A．x(x－11)＝180
B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180
D．2x＋2(x＋11)＝180
2．从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x尺，则下列方程中，满足题意的是( C )
A．x2＋(x－2)2＝(x－4)2
B．(x－4)2＋(x－2)2＝x
C．(x－4)2＋(x－2)2＝x2
D．x2＋(x－4)2＝(x－2)2
3．用总长10 m的铝合金型材做一个如图所示的窗框(不计损耗)，窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52 m2(材料的厚度忽略不计)．若设小正方形的边长为x m，下列方程符合题意的是( B )
A．2x(10－7x)＝3.52
B．2x·＝3.52
C．2x＝3.52
D．2x2＋2x(10－9x)＝3.52
【解析】 设小正方形的边长为x m，则小矩形的宽为2x m，长为 m，
依题意，得2x·＝3.52.
4．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为( D )
A．10 cm B．13 cm
C．14 cm D．16 cm
5．有一张长方形桌子，它的长是2 m，宽是1 m，有一块长方形台布，它的面积是桌面面积的2倍，将台布铺在桌上时，各边垂下的长相等．若设台布各边垂下的长为x(m)，依题意列出的方程是__2x2＋3x－1＝0__．(化为一般形式)
6．在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m2.
(1)求这个地面矩形的长；
(2)有规格为0.80×0.80(单位：m)和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？
【答案】 (1)12 m (2)采用规格为1.00×1.00的地板砖所需的费用较少．
7．如图，在下列n×n的正方形网格中，请按图形的规律，探索以下问题：
(1)第④个图形中阴影部分小正方形的个数为________；
(2)是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形个数的？如果存在，请求出是第几个图形；如果不存在，请说明理由．
解：(1)第①个图形阴影部分小正方形的个数为1×2＋2＝4个；
第②个图形阴影部分小正方形的个数为2×3＋2＝8个；
第③个图形阴影部分小正方形的个数为3×4＋2＝14个；
…
第n个图形阴影部分小正方形的个数为
n(n＋1)＋2＝n2＋n＋2；
当n＝4时，4×(4＋1)＋2＝22个；
(2)存在，理由是：
根据题意，得n2＋n＋2＝(n＋2)2，
整理，得2n2－19n－10＝0，
解，得n1＝－(舍去)，n2＝10.
所以，第⑩个图形阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形个数的.
B 更上一层楼 能力提升
8．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的x倍，已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击进入木板部分的铁钉长度是全钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是__＋x＋x2＝1__．(只列方程)
9．如图所示，某公司计划用32 m长的材料沿墙建造长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16 m，设长方形的宽AB为x(m)．
(1)用含x的代数式表示长方形的长BC；
(2)能否建造成面积为120 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．
(3)能否建造成面积为160 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．
解：(1)依题意，得BC＝32－2x.
(2)能，由题知x(32－2x)＝120，整理，得(x－6)(x－10)＝0，
解得x1＝6，x2＝10.
经检验，x1＝6，x2＝10都是原方程的解，但x1＝6不符合题意，舍去．
答：能建造成面积为120 m2的长方形仓库，此时长为12 m，宽为10 m.
(3)不能，由题知x(32－2x)＝160，整理，得x2－16x＋80＝0，
此时Δ＝162－4×1×80＝－64＜0，此方程无解，
所以不能建造成面积为160 m2的长方形仓库．
10．铁匠张师傅从市场上买回一块矩形铁皮，将铁皮的四个角各剪出一个边长为1 m的正方形，剩下的部分刚好能围成一个容积为15 m3的无盖长方体箱子以供出售，且此长方体箱子底面的长比宽多2 m(如图所示)．已知购买这种铁皮的价格是20元/m2，如果张师傅出售这个无盖长方体箱子要收取加工费300元，且剪下的余料不计入成本，那么他出售的价格应定多少元？
解：出售价格应定为620＋300＝920(元)．
C 开拓新思路 拓展创新
11．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2?
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm?
解：(1)设P，Q两点从出发开始到x秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2，
则PB＝(16－3x)cm，QC＝2x cm，
根据梯形的面积公式得S四边形PBCQ＝(16－3x＋2x)×6＝33，
解得x＝5.
(2)设P，Q两点从出发经过t秒时，点P，Q间的距离是10 cm，
作QE⊥AB，垂足为E，
则QE＝AD＝6，PQ＝10，
∵PA＝3t，CQ＝BE＝2t，
∴PE＝|16－5t|，
由勾股定理，得(16－5t)2＋62＝102，
解得t1＝4.8，t2＝1.6.
答：(1)P，Q两点从出发开始到5秒时四边形PBCQ的面积为33 cm2；
(2)从出发到1.6秒或4.8秒时，点P和点Q的距离是10 cm.
2.3 一元二次方程的应用(2)
A 练就好基础 基础达标
1．某校准备修建一个面积为180 m2的矩形活动场地，它的长比宽多11 m，设场地的宽为x(m)，则可列方程( )
A．x(x－11)＝180
B．2x＋2(x－11)＝180
C．x(x＋11)＝180
D．2x＋2(x＋11)＝180
2．从前，有一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都拿不进去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．另一醉汉叫他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了，你知道竹竿有多长吗？若设竹竿的长为x尺，则下列方程中，满足题意的是( )
A．x2＋(x－2)2＝(x－4)2
B．(x－4)2＋(x－2)2＝x
C．(x－4)2＋(x－2)2＝x2
D．x2＋(x－4)2＝(x－2)2
3．用总长10 m的铝合金型材做一个如图所示的窗框(不计损耗)，窗框的外围是矩形，上部是两个全等的正方形，窗框的总面积为3.52 m2(材料的厚度忽略不计)．若设小正方形的边长为x m，下列方程符合题意的是( )
A．2x(10－7x)＝3.52
B．2x·＝3.52
C．2x＝3.52
D．2x2＋2x(10－9x)＝3.52
4．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm3，则原铁皮的边长为( )
A．10 cm B．13 cm
C．14 cm D．16 cm
5．有一张长方形桌子，它的长是2 m，宽是1 m，有一块长方形台布，它的面积是桌面面积的2倍，将台布铺在桌上时，各边垂下的长相等．若设台布各边垂下的长为x(m)，依题意列出的方程是____．(化为一般形式)
6．在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96 m2.
(1)求这个地面矩形的长；
(2)有规格为0.80×0.80(单位：m)和1.00×1.00(单位：m)的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？
7．如图，在下列n×n的正方形网格中，请按图形的规律，探索以下问题：
(1)第④个图形中阴影部分小正方形的个数为________；
(2)是否存在阴影部分小正方形的个数是整个图形中小正方形个数的？如果存在，请求出是第几个图形；如果不存在，请说明理由．
B 更上一层楼 能力提升
8．用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次为前一次的x倍，已知一个钉子受击3次后恰好全部进入木板，且第一次受击进入木板部分的铁钉长度是全钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是____．(只列方程)
9．如图所示，某公司计划用32 m长的材料沿墙建造长方形仓库，仓库的一边靠墙，已知墙长16 m，设长方形的宽AB为x(m)．
(1)用含x的代数式表示长方形的长BC；
(2)能否建造成面积为120 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．
(3)能否建造成面积为160 m2的长方形仓库？若能，求出长方形仓库的长和宽；若不能，请说明理由．
10．铁匠张师傅从市场上买回一块矩形铁皮，将铁皮的四个角各剪出一个边长为1 m的正方形，剩下的部分刚好能围成一个容积为15 m3的无盖长方体箱子以供出售，且此长方体箱子底面的长比宽多2 m(如图所示)．已知购买这种铁皮的价格是20元/m2，如果张师傅出售这个无盖长方体箱子要收取加工费300元，且剪下的余料不计入成本，那么他出售的价格应定多少元？
C 开拓新思路 拓展创新
11．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，AD＝6 cm，动点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动．
(1)P，Q两点从出发开始到几秒时，四边形PBCQ的面积为33 cm2?
(2)P，Q两点从出发开始到几秒时，点P和点Q的距离是10 cm?
