第4章 平行四边形
4.1 多边形(1)
A 练就好基础 基础达标)
1．已知一个多边形有两条对角线，那么这个多边形是( A )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
2．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶4∶5，则∠C等于( C )
A．60° B．100° C．120° D．150°
3．在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B为( D )
A．70° B．80° C．120° D．130°
4．在四边形的内角中，直角最多可以有( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝11为边作四边形，可作( D )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
6．2017·宜昌如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( B )
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
7．已知∠1＝48°，∠2的两边分别与∠1的两边垂直，则∠2＝( D )
A．48° B．132°
C．42° D．48°或132°
8．一副三角板如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数为__80°__．
9．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
【答案】 ∠A＝70°，∠B＝90°，∠C＝140°.
10．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠ADC.
(1)求证：AB∥CD.
(2)若∠ADC－∠A＝60°，过点D作DE∥BC交AB于点E.请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由．
解：(1)证明：∵∠A＝∠B，∠C＝∠ADC，
且∠A＋∠B＋∠C＋∠ADC＝360°，
∴2∠B＋2∠C＝360°，
∴∠B＋∠C＝180°，
∴AB∥CD.
(2)△ADE 是正三角形．理由如下：
由∠ADC＋∠A＝180°和∠ADC－∠A＝60°，
得∠A＝60°.∴∠B＝∠A＝60°.
∵DE∥BC，∴∠AED＝∠B＝∠A＝60°，
即△ADE 是正三角形．
B 更上一层楼 能力提升
11．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，则相邻的外角之比为( D )
A．1∶2∶3∶4 B．2∶1∶3∶4
C．3∶4∶2∶1 D．4∶3∶2∶1
12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有( D )
A．∠ADE＝20°
B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠ADC
D．∠ADE＝∠ADC
13．如图所示，在四边形ABCD中，O点在AD上，且OB平分∠ABC，OC平分∠BCD.若∠BOC＝120°，则∠A＋∠D的大小是__240°__．
14．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？
解：∠1＝∠2，
理由：∵∠A＝∠C＝90°，根据四边形的内角和，
得∠ADC＋∠ABC＝180°，
∵BE平分∠ABC，DF平分∠ADC，
∴∠EBC＝∠ABC，∠2＝∠ADC，
∴∠EBC＋∠2＝(∠ABC＋∠ADC)＝90°.
∵FG⊥BE，∴∠FGB＝90°，
∴∠1＋∠EBC＝90°，∴∠1＝∠2.
C 开拓新思路 拓展创新
15．在四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O.
(1)若点O在四边形ABCD的内部：
①如图1，若AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，则∠DOE＝__125°__；
②如图2，试探索∠B，∠C，∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
(2)如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B，∠C，∠DOE之间的数量关系．
解：(1)①∵AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAD＝140°，∠ADC＝110°.
∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，
∴∠OAD＝70°，∠ODA＝55°，
∴∠DOE＝∠OAD＋∠ODA＝125°；
故答案为125.
②∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°.
理由：∵∠DOE＝∠OAD＋∠ADO，
∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，
∴2∠DOE＝∠BAD＋∠ADC.
∵∠B＋∠C＋∠BAD＋∠ADC＝360°，
∴∠B＋∠C＋2∠DOE＝360°.
(2)∠B＋∠C＝2∠DOE，
理由：∵∠BAD＋∠ADC＝360°－∠B－∠C，
∠EAD＋∠ADO＝180°－∠DOE，
∵AE，DO分别平分∠BAD，∠CDA，
∴∠BAD＝2∠EAD，∠ADC＝2∠ADO，
∴∠BAD＋∠ADC＝2(∠EAD＋∠ADO)，
∴360°－∠B－∠C＝2(180°－∠DOE)，
∴∠B＋∠C＝2∠DOE.
第4章 平行四边形
4.1 多边形(1)
A 练就好基础 基础达标)
1．已知一个多边形有两条对角线，那么这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．七边形
2．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶4∶5，则∠C等于( )
A．60° B．100° C．120° D．150°
3．在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝160°，∠B比∠D大60°，则∠B为( )
A．70° B．80° C．120° D．130°
4．在四边形的内角中，直角最多可以有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
5．以线段a＝7，b＝8，c＝9，d＝11为边作四边形，可作( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．无数个
6．2017·宜昌如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是( )
A．①② B．①③
C．②④ D．③④
7．已知∠1＝48°，∠2的两边分别与∠1的两边垂直，则∠2＝( )
A．48° B．132°
C．42° D．48°或132°
8．一副三角板如图放置，若∠1＝35°，则∠2的度数为____．
9．在四边形ABCD中，∠D＝60°，∠B比∠A大20°，∠C是∠A的2倍，求∠A，∠B，∠C的大小．
10．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，∠C＝∠ADC.
(1)求证：AB∥CD.
(2)若∠ADC－∠A＝60°，过点D作DE∥BC交AB于点E.请判断△ADE是哪种特殊三角形，并说明理由．
B 更上一层楼 能力提升
11．在四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3∶4，则相邻的外角之比为( )
A．1∶2∶3∶4 B．2∶1∶3∶4
C．3∶4∶2∶1 D．4∶3∶2∶1
12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有( )
A．∠ADE＝20°
B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝∠ADC
D．∠ADE＝∠ADC
13．如图所示，在四边形ABCD中，O点在AD上，且OB平分∠ABC，OC平分∠BCD.若∠BOC＝120°，则∠A＋∠D的大小是____．
14．如图所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠ABC，∠ADC的平分线分别与AD，BC相交于E，F两点，FG⊥BE于点G，∠1与∠2之间有怎样的数量关系？为什么？
C 开拓新思路 拓展创新
15．在四边形ABCD中，∠BAD的角平分线与边BC交于点E，∠ADC的角平分线交直线AE于点O.
(1)若点O在四边形ABCD的内部：
①如图1，若AD∥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，则∠DOE＝____；
②如图2，试探索∠B，∠C，∠DOE之间的数量关系，并将你的探索过程写下来．
(2)如图3，若点O在四边形ABCD的外部，请你直接写出∠B，∠C，∠DOE之间的数量关系．
4.1 多边形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是( A )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
2．十边形的内角和为( B )
A．1260° B．1440°
C．1620° D．1800°
3．下面哪一个度数是某个多边形的内角和( C )
A．270° B．630°
C．720° D．1920°
4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( C )
A．6 B．7
C．8 D．9
5．过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是( C )
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
6．从多边形一个顶点出发共可画3条对角线，这个多边形是__六__边形．
7．若两个多边形的边数之比是1∶2，内角和度数之比为1∶3，则这两个多边形的边数分别是 4，8 ．
8．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P＝__60°__．
9．如图所示，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝__425°__．
10．如图所示，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，垂足为点E，∠D＝150°，∠A＝∠B，∠B－∠C＝60°，求∠A的度数．
【答案】 ∠A是120°.
B 更上一层楼 能力提升
11．将图1中五边形纸片ABCDE的A点以BE为折线往下折，A点恰好落在CD上，如图2所示，再分别以图2的AB，AE为折线，将C，D两点往上折，使得A，B，C，D，E五点均在同一平面上，如图3所示，若图1中∠A＝124°，则图3中∠CAD的度数为( D )
A．56° B．60° C．62° D．68°
12．2018·南京如图，五边形ABCDE各个内角的度数相等．若l1∥l2，则∠1－∠2＝__72°__．
13．已知n边形木板的一个外角与其内角和的和为660°，当木工师傅锯掉该木板的一个角后，所得的多边形的内角和为__360°或540°或720°__．
14．如图所示，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？
第14题图
第14题答图
解：设AB与CD的延长线交于点G，如图．则∠A＋∠E＋∠F＋∠C＋∠G＝540°.
∵AE⊥EF，CF⊥EF，∴∠E＝∠F＝90°.
∵∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，
∴∠G＝540°－(124°＋155°＋90°×2)＝540°－459°＝81°.
∵81°≠80°，∴不符合规定．
15．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
解：(1)∵360°÷180°＝2，630°÷180°＝3……90°，
∴甲的说法对，乙的说法不对．
360°÷180°＋2＝2＋2＝4.
∴甲同学说的边数n是4.
(2)依题意，有
(n＋x－2)×180°－(n－2)×180°＝360°，
解得x＝2.故x的值是2.
C 开拓新思路 拓展创新
16．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数
4
5
6
7
…
n
从一个顶点出发的
对角线的条数
1
2
3
4
…
①
多边形对角线的
总条数
2
5
9
14
…
②
(1)【观察探究】 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中：①____________；②________；
(2)【实际应用】 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
(3)【类比归纳】 乐乐认为(1)、(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
解：(1)由题可得，当多边形的顶点数为n时，从一个顶点出发的对角线的条数为n－3，多边形对角线的总条数为n(n－3)；
答案：n－3，n(n－3)；
(2)∵3×6＝18，
∴大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话×18×(18－3)＝135(个)；
(3)每个同学相当于多边形的一个顶点，则共有n个顶点；
每人要给不同组的同学打一个电话，则每人要打(n－3)个电话；
两人之间不需要重复拨打电话，故拨打电话的总数为n(n－3)；
数学社团有18名同学，当n＝18时，×18×(18－3)＝135.
4.1 多边形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是( )
A．四边形 B．五边形
C．六边形 D．八边形
2．十边形的内角和为( )
A．1260° B．1440°
C．1620° D．1800°
3．下面哪一个度数是某个多边形的内角和( )
A．270° B．630°
C．720° D．1920°
4．若一个多边形的内角和为1080°，则这个多边形的边数为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
5．过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了5个三角形，则这个多边形是( )
A．五边形 B．六边形
C．七边形 D．八边形
6．从多边形一个顶点出发共可画3条对角线，这个多边形是____边形．
7．若两个多边形的边数之比是1∶2，内角和度数之比为1∶3，则这两个多边形的边数分别是 ．
8．如图所示，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P＝____．
9．如图所示，∠1是五边形ABCDE的一个外角，若∠1＝65°，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝____．
10．如图所示，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，垂足为点E，∠D＝150°，∠A＝∠B，∠B－∠C＝60°，求∠A的度数．
B 更上一层楼 能力提升
11．将图1中五边形纸片ABCDE的A点以BE为折线往下折，A点恰好落在CD上，如图2所示，再分别以图2的AB，AE为折线，将C，D两点往上折，使得A，B，C，D，E五点均在同一平面上，如图3所示，若图1中∠A＝124°，则图3中∠CAD的度数为( )
A．56° B．60° C．62° D．68°
12．2018·南京如图，五边形ABCDE各个内角的度数相等．若l1∥l2，则∠1－∠2＝____．
13．已知n边形木板的一个外角与其内角和的和为660°，当木工师傅锯掉该木板的一个角后，所得的多边形的内角和为____．
14．如图所示，一块较为精密的模板中，AB，CD的延长线应该相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，测得∠BAE＝124°，∠DCF＝155°，AE⊥EF，CF⊥EF，此时AB，CD的延长线相交成的角是否符合规定？为什么？
第14题图
第14题答图
15．已知n边形的内角和θ＝(n－2)×180°.
(1)甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n；若不对，说明理由．
(2)若n边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.
C 开拓新思路 拓展创新
16．乐乐和数学小组的同学们研究多边形对角线的相关问题，邀请你也加入其中．请仔细观察下面的图形和表格，并回答下列问题：
多边形的顶点数
4
5
6
7
…
n
从一个顶点出发的
对角线的条数
1
2
3
4
…
①
多边形对角线的
总条数
2
5
9
14
…
②
(1)【观察探究】 请自己观察上面的图形和表格，并用含n的代数式将上面的表格填写完整，其中：①____________；②________；
(2)【实际应用】 数学社团共分为6个小组，每组有3名同学．同学们约定，大年初一时不同组的两位同学之间要打一个电话拜年，请问，按照此约定，大年初一数学社团的同学们一共将拨打电话多少个？
(3)【类比归纳】 乐乐认为(1)、(2)之间存在某种联系，你能找到这两个问题之间的联系吗？请用语言描述你的发现．
