第3章 数据分析初步
3.1 平均数
A 练就好基础 基础达标
1．小明记录了今年三月份某5天的最低温度(单位： ℃)：1，2，0，－1，－2.这5天的最低温度的平均值是( C )
A．1 ℃ B．2 ℃
C．0 ℃ D．－1 ℃
2．某住宅小区六月1日至5日每天用水量变化情况如图所示．那么这5天平均每天的用水量是( C )
A．30吨 B．31吨
C．32吨 D．33吨
3．某中学举行歌咏比赛，六位评委对某位选手的打分如下(单位：分)：77，82，78，91，83，75.去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是( B )
A．79分 B．80分
C．81分 D．82分
4．某校五个小组参加植树活动，平均每个小组植树10株，已知一、二、三、五小组分别植了9株、12株、9株、8株，那么第四小组植树( A )
A．12株 B．11株
C．10株 D．9株
5．某次射击训练中，一个小组的成绩如下表所示：
环数
7
8
9
人数
2
3
已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是( B )
A．4 B．5
C．6 D．7
6．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩(百分制)依次是80分、90分，则小明这学期的数学成绩是( D )
A．80分 B．82分
C．84分 D．86分
7．某学生期中七门学科考试成绩的平均分为80分，其中三门学科的平均分为78分，另四门学科的平均分为__81.5__分．
8．小明参加了某电视台招聘记者的三项素质测试，成绩如下：采访写作70分，计算机操作60分，创意设计88分．如果采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按4∶1∶3计算，则他的素质测试平均成绩为__75.5__分．
9．在“心系灾区”自愿捐款活动中，某班30名同学的捐款情况如下表：
捐款(元)
5
10
15
20
25
30
人数(人)
11
9
6
2
1
1
(1)这个班级捐款总数是多少元？
(2)求这30名同学捐款的平均数．
解：(1)这个班级捐款总数为5×11＋10×9＋15×6＋20×2＋25×1＋30×1＝330(元)．
(2)这个班级捐款总数是330元，这30名同学捐款的平均数为11元．
10．为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200 km，210 km，220 km，230 km，获得如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)问这次被抽检的电动汽车共有多少辆？请补全条形统计图．
(2)估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数．
解：(1)这次被抽检的电动汽车共有100辆．
补全条形统计图如图．
(2)估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数为217 km.
B 更上一层楼 能力提升
11．已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为8，则另一组数据a1＋10，a2－10，a3＋10，a4－10，a5＋10的平均数为( C )
A．6 B．8 C．10 D．12
12．某地区100个家庭收入按从低到高是 5 800 元，…，10 000 元，各不相同，在输入计算机时，把最大的数错误地输成 100 000 元，则依据错误数字算出的平均值与实际数字的平均值的差是( A )
A．900元 B．942元
C．90 000 元 D．1 000 元
13．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示(单位：分)：
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用？请说明理由．
(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试的得分按5∶3∶2的比例来确定每人的成绩，谁将被录用？请说明理由．
解：(1)甲的平均成绩为(85＋70＋64)÷3＝73(分)，
乙的平均成绩为(73＋71＋72)÷3＝72(分)，
丙的平均成绩为(73＋65＋84)÷3＝74(分)，
则丙的平均成绩最好，候选人丙将被录用．
(2)甲的测试成绩为(85×5＋70×3＋64×2)÷(5＋3＋2)＝76.3(分)，
乙的测试成绩为(73×5＋71×3＋72×2)÷(5＋3＋2)＝72.2(分)，
丙的测试成绩为(73×5＋65×3＋84×2)÷(5＋3＋2)＝72.8(分)，
则甲的综合成绩最好，候选人甲将被录用．
C 开拓新思路 拓展创新
14．某校九年级有200名学生，为了向市团委推荐本年级一名学生参加团代会，按如下程序进行了民主投票，推荐的程序：首先由全年级学生对六名候选人进行投票，每名学生只能给一名候选人投票，选出票数多的前三名；然后再对这三名候选人(记为甲、乙、丙)进行笔试和面试．两个程序的结果统计如下：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
92
90
95
面试
85
95
80
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)请分别计算甲、乙、丙的得票数；
(2)若规定每名候选人得一票记1分，将投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比例计入每名候选人的总成绩，成绩最高的将被推荐，请通过计算说明甲、乙、丙哪名学生将被推荐．
解：(1)甲的得票数是200×34%＝68，
乙的得票数是200×30%＝60，
丙的得票数是200×28%＝56.
(2)甲的总成绩：＝
85．1(分)，
乙的总成绩：＝
85．5(分)，
丙的总成绩：＝
82．7(分)，
∵乙的平均成绩最高，∴乙将被推荐．
第3章 数据分析初步
3.1 平均数
A 练就好基础 基础达标
1．小明记录了今年三月份某5天的最低温度(单位： ℃)：1，2，0，－1，－2.这5天的最低温度的平均值是( )
A．1 ℃ B．2 ℃
C．0 ℃ D．－1 ℃
2．某住宅小区六月1日至5日每天用水量变化情况如图所示．那么这5天平均每天的用水量是( )
A．30吨 B．31吨
C．32吨 D．33吨
3．某中学举行歌咏比赛，六位评委对某位选手的打分如下(单位：分)：77，82，78，91，83，75.去掉一个最高分和一个最低分后的平均分是( )
A．79分 B．80分
C．81分 D．82分
4．某校五个小组参加植树活动，平均每个小组植树10株，已知一、二、三、五小组分别植了9株、12株、9株、8株，那么第四小组植树( )
A．12株 B．11株
C．10株 D．9株
5．某次射击训练中，一个小组的成绩如下表所示：
环数
7
8
9
人数
2
3
已知该小组的平均成绩为8.1环，那么成绩为8环的人数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
6．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中研究性学习成绩占40%，期末卷面成绩占60%，小明的两项成绩(百分制)依次是80分、90分，则小明这学期的数学成绩是( )
A．80分 B．82分
C．84分 D．86分
7．某学生期中七门学科考试成绩的平均分为80分，其中三门学科的平均分为78分，另四门学科的平均分为____分．
8．小明参加了某电视台招聘记者的三项素质测试，成绩如下：采访写作70分，计算机操作60分，创意设计88分．如果采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按4∶1∶3计算，则他的素质测试平均成绩为____分．
9．在“心系灾区”自愿捐款活动中，某班30名同学的捐款情况如下表：
捐款(元)
5
10
15
20
25
30
人数(人)
11
9
6
2
1
1
(1)这个班级捐款总数是多少元？
(2)求这30名同学捐款的平均数．
10．为了解某种电动汽车的性能，对这种电动汽车进行了抽检，将一次充电后行驶的里程数分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级的里程依次为200 km，210 km，220 km，230 km，获得如下不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)问这次被抽检的电动汽车共有多少辆？请补全条形统计图．
(2)估计这种电动汽车一次充电后行驶的平均里程数．
B 更上一层楼 能力提升
11．已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的平均数为8，则另一组数据a1＋10，a2－10，a3＋10，a4－10，a5＋10的平均数为( )
A．6 B．8 C．10 D．12
12．某地区100个家庭收入按从低到高是 5 800 元，…，10 000 元，各不相同，在输入计算机时，把最大的数错误地输成 100 000 元，则依据错误数字算出的平均值与实际数字的平均值的差是( )
A．900元 B．942元
C．90 000 元 D．1 000 元
13．某校欲招聘一名数学教师，学校对甲、乙、丙三位候选人进行了三项能力测试，各项测试成绩满分均为100分，根据结果择优录用．三位候选人的各项测试成绩如下表所示(单位：分)：
测试项目
测试成绩
甲
乙
丙
教学能力
85
73
73
科研能力
70
71
65
组织能力
64
72
84
(1)如果根据三项测试的平均成绩，谁将被录用？请说明理由．
(2)根据实际需要，学校将教学、科研和组织三项能力测试的得分按5∶3∶2的比例来确定每人的成绩，谁将被录用？请说明理由．
C 开拓新思路 拓展创新
14．某校九年级有200名学生，为了向市团委推荐本年级一名学生参加团代会，按如下程序进行了民主投票，推荐的程序：首先由全年级学生对六名候选人进行投票，每名学生只能给一名候选人投票，选出票数多的前三名；然后再对这三名候选人(记为甲、乙、丙)进行笔试和面试．两个程序的结果统计如下：
测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
92
90
95
面试
85
95
80
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)请分别计算甲、乙、丙的得票数；
(2)若规定每名候选人得一票记1分，将投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比例计入每名候选人的总成绩，成绩最高的将被推荐，请通过计算说明甲、乙、丙哪名学生将被推荐．
3.2 中位数和众数
A 练就好基础 基础达标
1．一组数据：5，4，6，5，6，6，3，这组数据的众数是( A )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．2018· 温州某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下(单位：分)：
9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是( C )
A．9分 B．8分 C．7分 D．6分
3．2018·宁波若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为( C )
A．7 B．5 C．4 D．3
4．某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如下表：
人数(人)
1
3
4
1
分数(分)
80
85
90
95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是( A )
A．90分，90分 B．90分，85分
C．90分，87.5分 D．85分，85分
5．某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是( C )
某校40名学生年龄统计图
A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
6．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的41位同学中，考121分的人最多，虽然最高的同学获得了满分150分，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56分，其中分数居第21位的同学获得了116分．这说明本次考试分数的中位数是( C )
A．21分 B．103分
C．116分 D．121分
7．某校举办“成语听写大赛”，15名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设8个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是__中位数__．(填“平均数”“众数”或“中位数”)
8．已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是__4__．
9．在一次数学测验中，12名学生的成绩如下(单位：分)：60，95，80，75，80，85，60，55，90，55，80，70.分别求出这次数学测验成绩的众数、中位数与平均数．
【答案】 这次数学测验成绩的众数是80分，中位数是77.5分，平均数是73.75分．
B 更上一层楼 能力提升
10．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量(吨)
3
4
5
8
户数
2
3
4
1
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法中错误的是( B )
A．平均数是4.6吨
B．中位数是4吨
C．众数是5吨
D．调查了10户家庭的月用水量
11．下列说法中错误的是( C )
A．给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个
B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个
C．给定一组数据，那么这组数据的众数一定只有一个
D．如果一组数据存在众数，那么该众数一定是这组数据中的某一个
12．若干名同学制作迎奥运卡通图片，他们制作的卡通图片张数的条形统计图如图所示，设他们制作的卡通图片张数的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为__b>a>c__.
13．为了给车间18名工人确定生产任务，某厂对上月生产情况进行了统计，结果如下表所示：
产量(件)
40
30
10
9
8
人数(人)
1
1
5
8
3
(1)计算他们月产量的平均值、众数及中位数；
(2)以平均数作为月生产任务合理吗？为什么？你认为把月生产任务定为多少比较合理？
解：(1)x＝
＝12(件)．
众数为9件，中位数为9件．
(2)用平均数作为月生产任务不合理，因为18个人中只有2人能完成任务，应定为9件(即众数或中位数)较为合理．
C 开拓新思路 拓展创新
14．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是( A )
A．a＜13，b＝13 B．a＜13，b＜13
C．a＞13，b＜13 D．a＞13，b＝13
15．国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作了如下统计图(不完整)．其中分组情况如下：A组，时间小于0.5小时；B组，时间大于等于0.5小时且小于1小时；C组，时间大于等于1小时且小于1.5小时；D组，时间大于等于1.5小时．
某地区中学生每天在校体
育锻炼时间情况条形统计图
某地区中学生每天
在校体育煅炼时间
情况扇形统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)A组有________人，并补全条形统计图；
(2)本次调查数据的中位数落在________组；
(3)根据统计数据估计该地区25 000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有多少？
解：(1)由统计图可得，
A组人数为60÷24%－60－120－20＝50.
故答案为50，补全的条形统计图如右图所示．
(2)由补全的条形统计图可得，中位数落在C组．
故答案为C.
(3)由题意可得，
该地区25 000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有25 000×(48%＋8%)＝14 000.
3.2 中位数和众数
A 练就好基础 基础达标
1．一组数据：5，4，6，5，6，6，3，这组数据的众数是( )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．2018· 温州某校九年级“诗歌大会”比赛中，各班代表队得分如下(单位：分)：
9，7，8，7，9，7，6，则各代表队得分的中位数是( )
A．9分 B．8分 C．7分 D．6分
3．2018·宁波若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为( )
A．7 B．5 C．4 D．3
4．某学习小组9名学生参加“数学竞赛”，他们的得分情况如下表：
人数(人)
1
3
4
1
分数(分)
80
85
90
95
那么这9名学生所得分数的众数和中位数分别是( )
A．90分，90分 B．90分，85分
C．90分，87.5分 D．85分，85分
5．某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是( )
某校40名学生年龄统计图
A．12岁 B．13岁 C．14岁 D．15岁
6．某老师在试卷分析中说：参加这次考试的41位同学中，考121分的人最多，虽然最高的同学获得了满分150分，但是十分遗憾最低的同学仍然只得了56分，其中分数居第21位的同学获得了116分．这说明本次考试分数的中位数是( )
A．21分 B．103分
C．116分 D．121分
7．某校举办“成语听写大赛”，15名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设8个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是____．(填“平均数”“众数”或“中位数”)
8．已知一组数据0，2，x，4，5的众数是4，那么这组数据的中位数是____．
9．在一次数学测验中，12名学生的成绩如下(单位：分)：60，95，80，75，80，85，60，55，90，55，80，70.分别求出这次数学测验成绩的众数、中位数与平均数．
B 更上一层楼 能力提升
10．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了若干户家庭的月用水量，结果如下表：
月用水量(吨)
3
4
5
8
户数
2
3
4
1
则关于这若干户家庭的月用水量，下列说法中错误的是( )
A．平均数是4.6吨
B．中位数是4吨
C．众数是5吨
D．调查了10户家庭的月用水量
11．下列说法中错误的是( )
A．给定一组数据，那么这组数据的平均数一定只有一个
B．给定一组数据，那么这组数据的中位数一定只有一个
C．给定一组数据，那么这组数据的众数一定只有一个
D．如果一组数据存在众数，那么该众数一定是这组数据中的某一个
12．若干名同学制作迎奥运卡通图片，他们制作的卡通图片张数的条形统计图如图所示，设他们制作的卡通图片张数的平均数为a，中位数为b，众数为c，则a，b，c的大小关系为____.
13．为了给车间18名工人确定生产任务，某厂对上月生产情况进行了统计，结果如下表所示：
产量(件)
40
30
10
9
8
人数(人)
1
1
5
8
3
(1)计算他们月产量的平均值、众数及中位数；
(2)以平均数作为月生产任务合理吗？为什么？你认为把月生产任务定为多少比较合理？
C 开拓新思路 拓展创新
14．已知某校女子田径队23人年龄的平均数和中位数都是13岁，但是后来发现其中一位同学的年龄登记错误，将14岁写成15岁，经重新计算后，正确的平均数为a岁，中位数为b 岁，则下列结论中正确的是( )
A．a＜13，b＝13 B．a＜13，b＜13
C．a＞13，b＜13 D．a＞13，b＝13
15．国家规定，“中小学生每天在校体育锻炼时间不小于1小时”，某地区就“每天在校体育锻炼时间”的问题随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作了如下统计图(不完整)．其中分组情况如下：A组，时间小于0.5小时；B组，时间大于等于0.5小时且小于1小时；C组，时间大于等于1小时且小于1.5小时；D组，时间大于等于1.5小时．
某地区中学生每天在校体
育锻炼时间情况条形统计图
某地区中学生每天
在校体育煅炼时间
情况扇形统计图
根据以上信息，回答下列问题：
(1)A组有________人，并补全条形统计图；
(2)本次调查数据的中位数落在________组；
(3)根据统计数据估计该地区25 000名中学生中，达到国家规定的每天在校体育锻炼时间的人数约有多少？
3.3 方差和标准差
A 练就好基础 基础达标
1．体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的( D )
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
2．已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是( D )
A．9 B．3 C. D.
3．已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是( C )
A．0 B．1 C. D．2
4．在一次射击中，甲、乙两人5次射击的成绩分别如下(单位：环)：
甲：10，8，10，10，7. 乙：7，9，9，10，10.
这次射击中，甲、乙二人方差的大小关系为( A )
A．S＞S B．S＜S
C．S＝S D．无法确定
5．设x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为S2，若S2＝0，那么( C )
A．x1＝x2＝…＝xn＝0
B.＝0
C．x1＝x2＝x3＝…＝xn
D．中位数为0
6．2018·滨州如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的方差为( A )
A．4 B．3
C．2 D．1
7．如果样本方差S2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2]，那么这个样本的平均数为__2__，样本容量为__4__．
8．已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是__2.8__．
9．如图所示，某旅游区上山有甲、乙两条石阶路(图中数字表示每一级石阶的高度，单位： cm)．
(1)为了方便游客，旅游区打算重新整修石阶路，山的高度不变，石阶级数不变，应把每一石阶定为 x甲＝14 cm，x乙＝14.5 cm(或甲路每级定为14 cm，乙路每级定为14.5 cm) 走起路来最舒适(石阶路起伏小，走起来舒适些)；
(2)S＝____cm2，S＝____cm2；
(3)整修前这两条石阶路，走哪一条更舒适？__走甲路更舒适__．
B 更上一层楼 能力提升
10．样本方差的作用是( D )
A．估计总体的平均水平
B．表示样本的平均水平
C．表示总体的波动大小
D．表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
11．2018·南京某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( A )
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
【解析】 原数据的平均数为
＝188(cm)，
则原数据的方差为×[(180－188)2＋(184－188)2＋(188－188)2＋(190－188)2＋(192－188)2＋(194－188)2]＝(cm2)，
新数据的平均数为＝187(cm)，
则新数据的方差为×[(180－187)2＋(184－187)2＋(188－187)2＋(190－187)2＋(186－187)2＋(194－187)2]＝(cm2)．
所以平均数变小，方差变小．
12．甲、乙两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示：
(1)请你根据图中的数据填写下表：
姓名
平均数
众数
方差
甲
______
8
______
乙
8
________
2.8
(2)从平均数和方差相结合来看，谁的成绩好些？从发展趋势来看，谁的成绩好些？
解：(1)甲的平均数为x甲＝(7＋8＋9＋8＋8)＝8，
S＝[(7－8)2＋(9－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2＋(8－8)2]＝0.4；
由图中数据可得，乙组众数为8，填表如下：
姓名
平均数
众数
方差
甲
__8__
8
__0.4__
乙
8
__8__
2.8
(2)从平均数和方差相结合来看，甲的成绩好些；从发展趋势来看，乙的成绩好些．
13．一次期中考试中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
A
B
C
D
E
平均分
方差
数学
71
72
69
68
70
______
2
英语
88
82
94
85
76
85
______
(公式：方差S2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x是平均数．)
(1)求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差．
(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝.(说明：标准差为方差的算术平方根)
从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
解：(1)数学成绩的平均分为
＝70；
英语成绩的方差为[(88－85)2＋(82－85)2＋(94－85)2＋(85－85)2＋(76－85)2]＝36；
故答案为70，36.
(2)A同学数学标准分为＝，
A同学英语标准分为＝.
因为＞，所以，A同学在本次考试中，数学学科考得更好．
C 开拓新思路 拓展创新
14．已知三组数据，通过计算完成填表：
数据
平均数
方差
1，2，3，4，5
11，12，13，14，15
3，6，9，12，15
【分析数据】请你比较三组数据的大小及统计量的结果，写出其中一些规律性的结论．
【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题．
已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b, 则：
(1)数据x1＋3，x2＋3，x3＋3 ，…，xn＋3的平均数为__a＋3__，方差为__b__；
(2)数据x1－3，x2－3，x3－3 ，…，xn－3的平均数为__a－3__，方差为__b__；
(3)数据3x1，3x2 ，3x3 ，…，3xn的平均数为__3a__，方差为__9b__；
(4)数据2x1－3，2x2－3，2x3－3 ，…，2xn－3的平均数为__2a－3__，方差为__4b__.
解：三组数据的平均数与方差分别为3，2；13，2；9，18.
【分析数据】一组数据的每个数据加上或减去同一常数，则平均数也加上或减去这个常数，而方差不变；一组数据的每个数据扩大到原来的n倍或缩小为原来的，则平均数也扩大到原来的n倍或缩小为原来的，而方差扩大到原来的n2倍或缩小为原来的.
3.3 方差和标准差
A 练就好基础 基础达标
1．体育课上，某班两名同学分别进行了5次短跑训练，要判断哪一名同学的成绩比较稳定，通常需要比较两名同学成绩的( )
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
2．已知一组数据的方差是3，则这组数据的标准差是( )
A．9 B．3 C. D.
3．已知样本数据101，98，102，100，99，则这个样本的标准差是( )
A．0 B．1 C. D．2
4．在一次射击中，甲、乙两人5次射击的成绩分别如下(单位：环)：
甲：10，8，10，10，7. 乙：7，9，9，10，10.
这次射击中，甲、乙二人方差的大小关系为( )
A．S＞S B．S＜S
C．S＝S D．无法确定
5．设x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为S2，若S2＝0，那么( )
A．x1＝x2＝…＝xn＝0
B.＝0
C．x1＝x2＝x3＝…＝xn
D．中位数为0
6．2018·滨州如果一组数据6，7，x，9，5的平均数是2x，那么这组数据的方差为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
7．如果样本方差S2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋(x3－2)2＋(x4－2)2]，那么这个样本的平均数为____，样本容量为___．
8．已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是____．
9．如图所示，某旅游区上山有甲、乙两条石阶路(图中数字表示每一级石阶的高度，单位： cm)．
(1)为了方便游客，旅游区打算重新整修石阶路，山的高度不变，石阶级数不变，应把每一石阶定为 x甲＝14 cm，x乙＝14.5 cm(或甲路每级定为14 cm，乙路每级定为14.5 cm) 走起路来最舒适 ；
(2)S＝____cm2，S＝____cm2；
(3)整修前这两条石阶路，走哪一条更舒适？____．
B 更上一层楼 能力提升
10．样本方差的作用是( )
A．估计总体的平均水平
B．表示样本的平均水平
C．表示总体的波动大小
D．表示样本的波动大小，从而估计总体的波动大小
11．2018·南京某排球队6名场上队员的身高(单位：cm)是180，184，188，190，192，194.现用一名身高为186 cm的队员换下场上身高为192 cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高( )
A．平均数变小，方差变小
B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变小
D．平均数变大，方差变大
12．甲、乙两人参加学校组织的理化实验操作测试，近期的5次测试成绩如图所示：
(1)请你根据图中的数据填写下表：
姓名
平均数
众数
方差
甲
______
8
______
乙
8
________
2.8
(2)从平均数和方差相结合来看，谁的成绩好些？从发展趋势来看，谁的成绩好些？
13．一次期中考试中，A，B，C，D，E五位同学的数学、英语成绩有如下信息：
A
B
C
D
E
平均分
方差
数学
71
72
69
68
70
______
2
英语
88
82
94
85
76
85
______
(公式：方差S2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，其中x是平均数．)
(1)求这5位同学在本次考试中数学成绩的平均分和英语成绩的方差．
(2)为了比较不同学科考试成绩的好与差，采用标准分是一个合理的选择，标准分的计算公式是：标准分＝.(说明：标准差为方差的算术平方根)
从标准分看，标准分大的考试成绩更好，请问A同学在本次考试中，数学与英语哪个学科考得更好？
C 开拓新思路 拓展创新
14．已知三组数据，通过计算完成填表：
数据
平均数
方差
1，2，3，4，5
11，12，13，14，15
3，6，9，12，15
【分析数据】请你比较三组数据的大小及统计量的结果，写出其中一些规律性的结论．
【解决问题】请你用发现的结论来解决以下的问题．
已知数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为a，方差为b, 则：
(1)数据x1＋3，x2＋3，x3＋3 ，…，xn＋3的平均数为____，方差为____；
(2)数据x1－3，x2－3，x3－3 ，…，xn－3的平均数为____，方差为____；
(3)数据3x1，3x2 ，3x3 ，…，3xn的平均数为___，方差为____；
(4)数据2x1－3，2x2－3，2x3－3 ，…，2xn－3的平均数为____，方差为____.
