4.4 平行四边形的判定定理(2)
A 练就好基础 基础达标
1．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是( )
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等
D．对角线互相平分
2．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AD∥BC，AD＝BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OD＝OB
3．如图所示，四边形ABCD的两对角线AC，BD相交于点O，且AD∥BC.则下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AD＝BC
B．AB∥CD
C．AO＝CO
D．AB＝CD
4．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，
交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( )
A．∠F＝∠CDF B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．AD＝BC
5．如图所示，AO＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝____cm时，
四边形ABCD是平行四边形.
6．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，添加①AB＝DC，②AB∥DC，③OB＝OD中的一个不能判定这个四边形是平行四边形的是____(填序号)．
7．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的中点，连结AE并延长与DC的延长线相交于点F，连结BF，AC.
求证：四边形ABFC是平行四边形．
8．如图所示，在四边形ABCD中，M是边BC的中点，AM，BD互相平分并交于点O.
求证：四边形AMCD是平行四边形．
第8题图
B 更上一层楼 能力提升
9．若以A(－0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不能在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝____．
11．如图所示，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6.
(1)画出△BCD关于点D的中心对称图形；
(2)根据图形说明线段CD长的取值范围．
第11题图
12．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．
(1)现有四个等式：①∠ADE＝∠CBF；②∠ABE＝∠CDF；③AE＝CF；④DE＝BF.当点E，F只能满足上述等式中的____(填序号)时，四边形DEBF不一定是平行四边形．
(2)请选择(1)中的一个等式作为条件，证明四边形 DEBF为平行四边形．
C 开拓新思路 拓展创新
13．如图，在方格纸中，点A，B，P，Q都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形．
(1)在图甲中画出一个ABCD，使得点P为ABCD的对称中心；
(2)在图乙中画出一个ABCD，使得点P，Q都在ABCD的对角线上．
14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于O点，点E，F分别为BO，DO的中点．
(1)求证：OA＝OC，OB＝OD.
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
(3)如果E，F点分别在DB和BD的延长线上，且满足BE＝DF，上述结论仍然成立吗？请说明理由．
参考答案
4.4 平行四边形的判定定理(2)
A 练就好基础 基础达标
1．下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是( D )
A．对角线互相垂直
B．对角线相等
C．对角线互相垂直且相等
D．对角线互相平分
2．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( C )
A．AD∥BC，AD＝BC
B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC
D．OA＝OC，OD＝OB
3．如图所示，四边形ABCD的两对角线AC，BD相交于点O，且AD∥BC.则下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是( D )
A．AD＝BC
B．AB∥CD
C．AO＝CO
D．AB＝CD
4．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连结DE并延长，
交AB的延长线于点F，AB＝BF.添加一个条件使四边形ABCD是平行四边形，你认为下面四个条件中可选择的是( A )
A．∠F＝∠CDF B．CD＝BF
C．∠A＝∠C D．AD＝BC
5．如图所示，AO＝OC，BD＝16 cm，则当OB＝__8__cm时，
四边形ABCD是平行四边形.
6．在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知OA＝OC，添加①AB＝DC，②AB∥DC，③OB＝OD中的一个不能判定这个四边形是平行四边形的是__①__(填序号)．
7．如图所示，在四边形ABCD中，DC∥AB，点E是BC的中点，连结AE并延长与DC的延长线相交于点F，连结BF，AC.
求证：四边形ABFC是平行四边形．
证明：∵点E是BC的中点，
∴CE＝BE.
∵DC∥AB，∴∠FCE＝∠ABE.
在△FCE和△ABE中，
∵
∴△FCE≌△ABE(ASA)，
∴AE＝FE.
又∵CE＝BE，∴四边形ABFC是平行四边形．
8．如图所示，在四边形ABCD中，M是边BC的中点，AM，BD互相平分并交于点O.
求证：四边形AMCD是平行四边形．
第8题图
第8题答图
证明：连结DM，如图所示，
∵AM，BD互相平分并交于点O，
即AO＝OM，BO＝DO，
∴四边形ABMD为平行四边形，
∴AD＝BM，AD∥BM.
又∵M为BC的中点，
∴BM＝CM，
∴AD＝MC，AD∥MC，
∴四边形AMCD为平行四边形．
B 更上一层楼 能力提升
9．若以A(－0.5，0)，B(2，0)，C(0，1)三点为顶点画平行四边形，则第四个顶点不能在( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
10．已知直角坐标系内有四个点O(0，0)，A(3，0)，B(1，1)，C(x，1)，若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝__4或－2__．
11．如图所示，在△ABC中，点D是AB边上的中点，已知AC＝4，BC＝6.
(1)画出△BCD关于点D的中心对称图形；
(2)根据图形说明线段CD长的取值范围．
第11题图
第11题答图
解：(1)所画图形如右图所示，
△ADE就是所作的图形．
(2)由(1)知，△ADE≌△BDC，
则CD＝DE，AE＝BC，
∴AE－AC＜2CD＜AE＋AC，
即BC－AC＜2CD＜BC＋AC，
∴2＜2CD＜10，
解得1＜CD＜5.
12．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线AC上的两点．
(1)现有四个等式：①∠ADE＝∠CBF；②∠ABE＝∠CDF；③AE＝CF；④DE＝BF.当点E，F只能满足上述等式中的__④__(填序号)时，四边形DEBF不一定是平行四边形．
(2)请选择(1)中的一个等式作为条件，证明四边形 DEBF为平行四边形．
解：(2)如选条件③AE＝CF，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO＝CO，DO＝BO.
∵AE＝CF，∴EO＝FO.
又∵DO＝BO，
∴四边形DEBF为平行四边形．
C 开拓新思路 拓展创新
13．如图，在方格纸中，点A，B，P，Q都在格点上．请按要求画出以AB为边的格点四边形．
(1)在图甲中画出一个ABCD，使得点P为ABCD的对称中心；
(2)在图乙中画出一个ABCD，使得点P，Q都在ABCD的对角线上．
解：(1)如图甲，ABCD即为所求四边形；
(2)如图乙，正方形ABCD即为所求四边形．
14．如图所示，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于O点，点E，F分别为BO，DO的中点．
(1)求证：OA＝OC，OB＝OD.
(2)求证：四边形AECF是平行四边形．
(3)如果E，F点分别在DB和BD的延长线上，且满足BE＝DF，上述结论仍然成立吗？请说明理由．
解：(1)证明：∵AC，BD是平行四边形ABCD中的对角线，O是交点，
∴OA＝OC，OB＝OD.
(2)证明：∵OB＝OD，点E，F分别为BO，DO的中点，
∴OE＝OF.
∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．
(3)结论仍然成立．
理由：∵BE＝DF，OB＝OD，∴OE＝OF.
又∵OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．
所以结论仍然成立．
4.4 平行四边形的判定定理(1)
A 练就好基础 基础达标
1．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
2．如图，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充一个条件，下列选项中错误的是( )
A．∠A＋∠D＝180°
B．AD∥BC
C．∠A＋∠B＝180°
D．AB＝DC
3．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD四个条件中任意选取两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
4．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的
平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( )
A．①② B．①④
C．③④ D．②③
5．在四边形ABCD中，已知AB＝CD，若再增加一个条件______________(只填写一个)，可得四边形ABCD是平行四边形．
6．如图所示，已知△ABC，以点A为圆心、BC长为半径画弧，以点C为圆心、AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A、点D在BC同侧，连结AD，所得的四边形ABCD是____________________，其依据是______________________．
7．如图所示，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，
AF＝CE.
求证：四边形DEBF是平行四边形．
8．求证：有一组对边平行，和一组对角相等的四边形是平行四边形．(请画出图形，写出已知、求证并证明)
B 更上一层楼 能力提升
9．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6 cm.点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动．设运动时间为x(s)，则当x＝____时，四边形ABQP是平行四边形．
10．如图所示，将ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处，点E在AD上．
(1)求证：四边形ABFE为平行四边形．
(2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ABFE的周长．
11．如图所示，在ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连结BE，DF.求证：四边形 BEDF是平行四边形．
12．如图所示，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN.
(2)若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．
第12题图
C 开拓新思路 拓展创新
13．如图所示，在ABCD中，分别以AB，CD为边向外作等边△ABE和等边△CDF，连结BD，EF.求证：EF与BD互相平分．
参考答案
4.4 平行四边形的判定定理(1)
A 练就好基础 基础达标
1．不能判定一个四边形是平行四边形的条件是( B )
A．两组对边分别平行
B．一组对边平行另一组对边相等
C．一组对边平行且相等
D．两组对边分别相等
2．如图，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，还需补充一个条件，下列选项中错误的是( A )
A．∠A＋∠D＝180°
B．AD∥BC
C．∠A＋∠B＝180°
D．AB＝DC
3．点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD，②AB＝CD，③BC∥AD，④BC＝AD四个条件中任意选取两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( B )
A．3种 B．4种
C．5种 D．6种
4．小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的
平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是( D )
A．①② B．①④
C．③④ D．②③
5．在四边形ABCD中，已知AB＝CD，若再增加一个条件__AB∥CD_(答案不唯一)__(只填写一个)，可得四边形ABCD是平行四边形．
6．如图所示，已知△ABC，以点A为圆心、BC长为半径画弧，以点C为圆心、AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A、点D在BC同侧，连结AD，所得的四边形ABCD是__平行四边形__，其依据是__两组对边分别相等的四边形是平行四边形__．
7．如图所示，已知BE∥DF，∠ADF＝∠CBE，
AF＝CE.
求证：四边形DEBF是平行四边形．
证明：∵BE∥DF，∴∠BEC＝∠DFA.
在△ADF和△CBE中，∵
∴△ADF≌△CBE(AAS)，∴BE＝DF.
又∵BE∥DF，∴四边形DEBF是平行四边形．
8．求证：有一组对边平行，和一组对角相等的四边形是平行四边形．(请画出图形，写出已知、求证并证明)
解：已知：如图，在四边形ABCD中，
AB∥CD, ∠A＝∠C.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AB∥CD，
∴∠A＋∠D＝180°，
∵∠A＝∠C，
∴∠D＋∠C＝180°，∴AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．
B 更上一层楼 能力提升
9．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6 cm.点P，Q分别从A，C两点同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动．设运动时间为x(s)，则当x＝__2__时，四边形ABQP是平行四边形．
10．如图所示，将ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处，点E在AD上．
(1)求证：四边形ABFE为平行四边形．
(2)若AB＝4，BC＝6，求四边形ABFE的周长．
解：(1)证明：∵将ABCD沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处，∴EF＝ED，∠CFE＝∠CDE.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠B＝∠D，
∴AE∥BF，∠B＝∠CFE，∴AB∥EF，
∴四边形ABFE为平行四边形．
(2)∵四边形ABFE为平行四边形，
∴EF＝AB＝4.
∵EF＝ED，∴ED＝4，∴AE＝BF＝6－4＝2，
∴四边形ABFE的周长＝AB＋BF＋EF＋EA＝12.
11．如图所示，在ABCD中，分别以AD，BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连结BE，DF.求证：四边形 BEDF是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，AD＝CB，∠DAB＝∠BCD.
又∵△ADE和△CBF都是等边三角形，
∴DE＝AD，∠DAE＝60°，BC＝CF，∠BCF＝60°.
∴DE＝BF，AE＝CF，∠DAE＝∠BCF＝60°.
∵∠DCF＝∠BCD－∠BCF，∠BAE＝∠DAB－∠DAE，
∴∠DCF＝∠BAE，
∴△DCF≌△BAE(SAS)．
∴DF＝BE.
∴四边形BEDF是平行四边形．
12．如图所示，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN.
(2)若AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，求四边形ADCN的面积．
第12题图
第12题答图
解：(1)证明：∵CN∥AB，∴∠1＝∠2.
在△AMD和△CMN中，∵
∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.
又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN.
(2)∵AC⊥DN，∠CAN＝30°，MN＝1，
∴AN＝2MN＝2，∴AM＝＝，
∴S△AMN＝AM·MN＝××1＝.
∵四边形ADCN是平行四边形，
∴S四边形ADCN＝4S△AMN＝2.
C 开拓新思路 拓展创新
13．如图所示，在ABCD中，分别以AB，CD为边向外作等边△ABE和等边△CDF，连结BD，EF.求证：EF与BD互相平分．
证明：连结BF，DE，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.
∵△ABE与△CDF是等边三角形，
∴BE＝AB＝CD＝DF，∠ABE＝∠CDF，
∴∠ABD＋∠ABE＝∠CDB＋∠CDF，
即∠DBE＝∠BDF，
∴BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴EF与BD互相平分．
