5.1 矩形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )
A．AO＝OC B．BD平分∠ABC
C．AC⊥BD D．AC＝BD
2．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是( )
A．对角线互相平分 B．AB＝BC
C．AB＝AC D．∠A＋∠C＝180°
3．已知ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是( )
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形
5．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是( )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90°
C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90°
D．AB＝CD，AC＝BD
6．满足________________或___________________的平行四边形是矩形．
7．如图所示，在△ABC中，点D在BC上，过点D分别作AB，AC的平行线，分别交AC，AB于点E，F.如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：_______________．
8．如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，且CE＝AB.
求证：四边形CFED是矩形.
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
(1)求证：四边形ADCE是矩形．
(2)若∠AOE＝60°，AE＝4，求AC．
B 更上一层楼 能力提升
10．如图所示，顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB＝DC
11．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连结BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为____.
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动的过程中，a不断变化，则a的取值范围是___．
13．如图所示，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连结BF，AF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AD＝DF，求证：AF平分∠BAD.
C 开拓新思路 拓展创新
14．桌面上有两块全等的三角板ABC和DEF，∠ABC＝∠DFE＝90°，∠ACB＝∠DEF＝30°，AB＝.
(1)若按如图1放置(边EF与BC重合)，求证：四边形ABDC是平行四边形；
(2)将三角板ABC沿EF所在的直线向右平移1个单位长度(如图2)，此时，四边形AEDC是矩形吗？请说明理由．
15．如图所示，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，且MA＝MC.若∠AMD＝2∠MCD.
求证：四边形ADCN是矩形．
参考答案
5.1 矩形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( D )
A．AO＝OC B．BD平分∠ABC
C．AC⊥BD D．AC＝BD
2．在平行四边形ABCD中，增加一个条件能使它成为矩形，则增加的条件是( D )
A．对角线互相平分 B．AB＝BC
C．AB＝AC D．∠A＋∠C＝180°
3．已知ABCD，AC，BD是它的两条对角线，那么下列条件中，能判断这个平行四边形为矩形的是( C )
A．∠BAC＝∠DCA B．∠BAC＝∠DAC
C．∠BAC＝∠ABD D．∠BAC＝∠ADB
4．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是( C )
A．当AB＝BC时，四边形ABCD是矩形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是矩形
C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形
D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形
5．如图，为了检验教室里的矩形门框是否合格，某班的四个学习小组用三角板和细绳分别测得如下结果，其中不能判定门框是否合格的是( D )
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AC＝BD，∠B＝∠C＝90°
C．AB＝CD，∠B＝∠C＝90°
D．AB＝CD，AC＝BD
6．满足__一个角为直角__或__对角线相等__的平行四边形是矩形．
7．如图所示，在△ABC中，点D在BC上，过点D分别作AB，AC的平行线，分别交AC，AB于点E，F.如果要得到矩形AEDF，那么△ABC应具备条件：__∠BAC＝90°__．
8．如图所示，在△ABC中，D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，且CE＝AB.
求证：四边形CFED是矩形.
证明：∵D，E，F分别是AC，AB，BC的中点，
∴DE∥BC，且DE＝BC，DF＝AB，CF＝BC，
∴DE＝CF，∴四边形CFED是平行四边形．
又∵CE＝AB，∴CE＝DF，
∴平行四边形CFED是矩形．
9．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，AC，DE相交于点O.
(1)求证：四边形ADCE是矩形．
(2)若∠AOE＝60°，AE＝4，则AC＝__8__．
解：(1)证明：∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AB＝DE，AE綊BD，∵CD＝BD，
∴AE綊CD，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵AB＝AC，∴DE＝AC.
∴四边形ADCE是矩形．
B 更上一层楼 能力提升
10．如图所示，顺次连结四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( C )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB＝DC
11．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，若点P在AD边上，连结BP，PC，△BPC是以PB为腰的等腰三角形，则PB的长为__5或6__.
12．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E是BC边上的一定点，P是CD边上的一动点，M，N分别是AE，PE的中点，记MN的长度为a，在点P运动的过程中，a不断变化，则a的取值范围是__4≤a≤5__．
13．如图所示，在ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF＝AE，连结BF，AF.
(1)求证：四边形BFDE是矩形；
(2)若AD＝DF，求证：AF平分∠BAD.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，即BE∥DF.
∵CF＝AE，∴DF＝BE，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形．
(2)由(1)可知AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AFD.
∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠AFD，
∴∠BAF＝∠DAF.
即AF平分∠BAD.
C 开拓新思路 拓展创新
14．桌面上有两块全等的三角板ABC和DEF，∠ABC＝∠DFE＝90°，∠ACB＝∠DEF＝30°，AB＝.
(1)若按如图1放置(边EF与BC重合)，求证：四边形ABDC是平行四边形；
(2)将三角板ABC沿EF所在的直线向右平移1个单位长度(如图2)，此时，四边形AEDC是矩形吗？请说明理由．
证明：(1)∵△ABC≌△DFE，∴AB＝DF，AC＝DE，∴四边形ABDC是平行四边形．
(2)是矩形，理由：∵AB＝DF，∠ABE＝∠DFC＝90°，EB＝CF，
∴△ABE≌△DFC，∴AE＝DC，又∵AC＝DE，∴四边形AEDC为平行四边形．∵DC＝＝2，DE＝2，EF＝＝＝3，CE＝1＋3＝4，
∴DC2＋DE2＝4＋12＝16＝CE2，
∴∠EDC＝90°，即AEDC为矩形．
15．如图所示，D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，且MA＝MC.若∠AMD＝2∠MCD.
求证：四边形ADCN是矩形．
证明：∵CN∥AB，∴∠DAC＝∠NCA.
在△AMD和△CMN中，
∵
∴△AMD≌△CMN(ASA)，∴AD＝CN.
又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形．
∵∠AMD＝2∠MCD且∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，
∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC.
∵四边形ADCN为平行四边形，
∴AC＝2CM，DN＝2MD，
∴AC＝DN，∴ADCN是矩形．
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形(1)
A 练就好基础 基础达标
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．如图所示，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为24 cm，则这个矩形的一条较短边为( )
A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm
3．若矩形的对角线长为4 cm，一条边长为2 cm，则此矩形的面积为( )
A．8 cm2 B．4 cm2
C．2 cm2 D．8 cm2
4．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
第4题图
第5题图
5．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD，BC于点E，F.已知AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积是( )
A．3 B．4 C．6 D．12
6．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是____ cm.
7．如图所示，在矩形ABCD中，CE⊥BD，点E为垂足，连结AE.若∠DCE∶∠ECB＝3∶1，则∠ACE＝____.
第7题图
第8题图
8．如图所示，将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABC′D′的形状，并使其面积为长方形面积的(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为____度．
9．如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.
(1)求证：∠ACD＝∠ABD.
(2)若矩形ABCD的面积为120 cm2，周长为46 cm，求AC的长．
10．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若AB＝1，∠AEB＝15°，求AD的长度．
第10题图
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( )
A．S1＝S2 B．S1＞S2
C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
12．如图所示，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF长度的最小值是____．
第12题图
第13题图
13．如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E.若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数是____．
14．2018·威海矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连结AF，取AF的中点H，连结GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，求GH的长．
第14题图
15．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.
求证：AE平分∠BAD.
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示，四边形ABCD是矩形，P是矩形外一点，且PA＝PB.
(1)求证：PD＝PC.
(2)若△PAB的面积为S1，△PCD的面积为S2，则矩形ABCD的面积为________．
参考答案
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形(1)
A 练就好基础 基础达标
1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( A )
A．对角线相等 B．对角相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
2．如图所示，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为24 cm，则这个矩形的一条较短边为( C )
A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．5 cm
3．若矩形的对角线长为4 cm，一条边长为2 cm，则此矩形的面积为( B )
A．8 cm2 B．4 cm2
C．2 cm2 D．8 cm2
4．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是( C )
A．AB∥DC B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．OA＝OC
第4题图
第5题图
5．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AD，BC于点E，F.已知AB＝3，BC＝4，则图中阴影部分的面积是( A )
A．3 B．4 C．6 D．12
6．如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF的长是__2.5__ cm.
7．如图所示，在矩形ABCD中，CE⊥BD，点E为垂足，连结AE.若∠DCE∶∠ECB＝3∶1，则∠ACE＝__45°__.
第7题图
第8题图
8．如图所示，将四根木条钉成的长方形木框变形为平行四边形ABC′D′的形状，并使其面积为长方形面积的(木条宽度忽略不计)，则这个平行四边形的最小内角为__45__度．
解：过点C′作AB的垂线，垂足是点E，如图所示：
∵将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形木框ABC′D′的形状，并使其面积为矩形木框的，∴C′E＝BC＝BC′，
∴BC′＝C′E，∴∠C′BE＝∠D′AB＝45°.
9．如图所示，已知矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O.
(1)求证：∠ACD＝∠ABD.
(2)若矩形ABCD的面积为120 cm2，周长为46 cm，求AC的长．
解：(1)证明：在矩形ABCD中，易得∠DCB＝∠ABC＝90°，
OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB.∴∠DCB－∠OCB＝∠ABC－∠OBC，
∴∠ACD＝∠ABD.
(2)在Rt△ABC中，AC＝＝17.
10．如图所示，BD为矩形ABCD的一条对角线，延长BC至点E，使CE＝BD，连结AE，若AB＝1，∠AEB＝15°，求AD的长度．
第10题图 第10题答图
解：如图，连结AC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BE，AC＝BD，且∠ADB＝∠CAD，
∴∠E＝∠DAE.
又∵BD＝CE，∴CE＝CA，
∴∠E＝∠CAE.
∵∠CAD＝∠CAE＋∠DAE＝30°，
∴∠ADB＝30°，∴BD＝2AB＝2，
∴AD＝＝.
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是( A )
A．S1＝S2 B．S1＞S2
C．S1＜S2 D．3S1＝2S2
12．如图所示，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，则线段EF长度的最小值是__2.4__．
第12题图
第13题图
13．如图所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E.若∠CAE＝15°，则∠BOE的度数是__75°__．
14．2018·威海矩形ABCD与CEFG，如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连结AF，取AF的中点H，连结GH.若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，求GH的长．
第14题图 第14题答图
解：如图，延长GH交AD于点P，
∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，
∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2，GF＝CE＝1，
∴AD∥GF，∴∠GFH＝∠PAH.
又∵H是AF的中点，∴AH＝FH.
在△APH和△FGH中，
∵
∴△APH≌△FGH(ASA)，
∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，
∴PD＝AD－AP＝1.
∵CG＝2，CD＝1，∴DG＝1，
∴GH＝PG＝×＝.
15．如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.
求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD,
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，
∴∠BEF＋∠CED＝90°.
∴∠BFE＝∠CED.
又∵EF＝ED，
∴△EBF≌△DCE(AAS)．
∴BE＝CD.
∴BE＝AB，∴∠BAE＝∠BEA＝45°.
∴∠EAD＝45°.
∴∠BAE＝∠EAD.
∴AE平分∠BAD.
C 开拓新思路 拓展创新
16．如图所示，四边形ABCD是矩形，P是矩形外一点，且PA＝PB.
(1)求证：PD＝PC.
(2)若△PAB的面积为S1，△PCD的面积为S2，则矩形ABCD的面积为________．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°.
∵PA＝PB，
∴∠PAB＝∠PBA，∴∠PAD＝∠PBC.
在△APD和△BPC中，∵
∴△APD≌△BPC(SAS)，
∴PD＝PC.
(2)2(S1－S2)
