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平行四边形与勾股定理（中）（参考答案）
一、选择题
题号 1 2
答案 B B
二、填空题
3． 75
4． 4
5． 8
三、解答题
6． 解：（1）证明：∵EF⊥AB，
∴∠GFB＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠G＝∠GFB＝90°，
在△DGF中，∵∠FDG＝45°，
∴∠DFG＝45°，∴∠FDG＝∠DFG，∴GD＝GF；
（2）由（1）得DG2＋GF2＝DF2，DF＝8，
∴GF2＝64，∴DG＝GF＝8，
∵点E是BC中点，BC＝10，∴CE＝5，
在△ECG和△EBF中，
∴△ECG≌△EBF，∴GE＝4，
在Rt△CGE中，CG2＝CE2－GE2＝9，
∴CG＝3，∴CD＝8－3＝5．
7． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS)；
（2）∵ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝3，
∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAF＝90°，
在□ABCD中，AD＝BC＝5，
∴DE＝＝＝4，
∴CD＝2DE＝2×4＝8．
8． 解：（1）在Rt△ABC中，AC＝＝，
则S□ABCD＝AB·AC＝；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝OC，BO＝OD，
∴AO＝，
在Rt△ABO中，BO＝＝，
∴BD＝．
9． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD．
∵OB＝OE，
∴OE＝OD．
∴∠OED＝∠ODE．
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB．
∵∠OBE＋∠OEB＋∠ODE＋∠OED＝180°，
∴∠OEB＋∠OED＝90°．
∴DE⊥BE．
（2）∵OE＝OD，OF2＋FD2＝OE2，
∴OF2＋FD2＝OD2．
∴△OFD为直角三角形，且∠OFD＝90°．
在Rt△CED中，∠CED＝90°，CE＝3，DE＝4，
∴CD2＝CE2＋DE2．
∴CD＝5．
又∵CD·EF＝CE·DE，
∴EF＝．
在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，CE＝3，EF＝，
根据勾股定理，得CF＝．
10．解：（1）在Rt△AOD中，OA＝＝＝5．
∵BD＝2OD＝2×3＝6，
∴AB＝＝＝2．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC＝5，AB＝CD＝2，
∴△COD的周长＝OD＋OC＋CD＝3＋5＋2＝8＋2；
（2）□ABCD的面积为24．
11．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB＋∠CBA＝180°．
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°，
∴∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°；
（2）∵AP平分∠DAB且AB∥CD，
∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA，
∴△ADP是等腰三角形，
∴AD＝DP＝5 cm．
同理可得PC＝CB＝5 cm，
即AB＝DC＝DP＋PC＝5＋5＝10(cm)．
在Rt△APB中，AB＝10 cm，AP＝8 cm，
∴BP＝＝＝6(cm)，
∴△APB的周长＝BP＋AP＋AB＝6＋8＋10＝24(cm)．
12．解：（1）证明：在□ABCD中，ADBC，
∵F是BC的中点，∴CF＝BC，
∵DE＝AD，∴DE＝CF，∵DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如答图，过点D作DM⊥BC于点M．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝3，BC＝AD＝4，
∵F为BC中点，∴BF＝FC＝2，
∵∠A＝60°，∴∠BCD＝∠A＝60°，∴∠CDM＝30°，
∴CM＝CD＝，DM＝，
∴FM＝CF－MC＝2－＝，
∴DF＝＝，
∵四边形CEDF是平行四边形，∴CE＝DF＝．
13．解：（1）证明：∵AC⊥BD，∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
∴BD∥CF，CD∥BF，
∴四边形DBFC是平行四边形；
（2）∵四边形DBFC是平行四边形，
∴CF＝BD＝2，
∵AB＝BC，AC⊥BD，
∴AE＝CE，
如答图，作CM⊥BF于M，
∵BC平分∠DBF，∴CE＝CM，
∵∠F＝45°，
∴△CFM是等腰直角三角形，
∴CM＝CF＝，∴AE＝CE＝，
∴AC＝2．
14．解：（1）证明：在△CAD中，
∵M，N分别是AC，CD的中点，
∴MN∥AD，MN＝AD，
在Rt△ABC中，
∵M是AC中点，
∴BM＝AC，
∵AC＝AD，∴BM＝MN；
（2）∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°，
由（1）可知，BM＝AC＝AM＝MC，
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°，
∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，
∴BN2＝BM2＋MN2，
由（1）可知，MN＝BM＝AC＝1，
∴BN＝．
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平行四边形与勾股定理（中）
班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在DC，AD的延长线上，连结AC，BE，EF，BE∥AC，EF⊥AD，垂足为F，AB＝5，DF＝4，则EF的长是（ ）
A． B．2 C．10 D．8
2． 如图，在□ABCD中，AB＝2，AD＝4，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长多（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
二、填空题
3． 如图，若平行四边形ABCD相邻两边的长分别为AB＝10，BC＝15，它们的夹角∠ABC＝60°，则平行四边形ABCD的面积是__________．
4． 如图，在□ABCD中，AB＝2 cm，AD＝4 cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长__________cm．
5． 如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6．若DE是△ABC的中位线，延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F，则线段DF的长为__________．
三、解答题
6． 如图，在□ABCD中，E为BC的中点，过点E作EF⊥AB于点F，延长DC，交FE的延长线于点G，连结DF，已知∠FDG＝45°．
（1）求证：GD＝GF；
（2）已知BC＝10，DF＝8，求CD的长．
7． 如图，E是□ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．
8． 已知：如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝．
（1）求平行四边形ABCD的面积；
（2）求对角线BD的长．
9． 已知：如图，□ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连结DE．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）设CD与OE交于点F，若OF2＋FD2＝OE2，CE＝3，DE＝4，求线段CF的长．
10．如图，在□ABCD中，AD⊥BD，AD＝4，OD＝3．
（1）求△COD的周长；
（2）直接写出□ABCD的面积．
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．
（1）求∠APB的度数；
（2）如果AD＝5 cm，AP＝8 cm，求△APB的周长．
12．如图，将□ABCD的AD边延长至点E，使DE＝AD，连结CE，F是BC边的中点，连结FD．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，AD＝4，∠A＝60°，求CE的长．
13．如图，四边形ABCD的对角线AC⊥BD于点E，AB＝BC，F为四边形ABCD外一点，且∠FCA＝90°，∠CBF＝∠DCB．
（1）求证：四边形DBFC是平行四边形；
（2）如果BC平分∠DBF，∠F＝45°，BD＝2，求AC的长．
14．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分别为AC，CD的中点，连结BM，MN，BN．
（1）求证：BM＝MN；
（2）∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．
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平行四边形与勾股定理（较难）（参考答案）
一、选择题
题号 1 2
答案 A A
二、填空题
3．
4． 3
三、解答题
5． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，ABCD，
∴∠E＝∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE＝∠DAE，
∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴BE＝CD；
（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，
∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4，
∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，
∴BF＝＝＝2，
∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴S△ADF＝S△ECF，
∴S□ABCD＝S△ABE＝AE·BF＝×4×2＝4．
6． 解：（1）∵点F为CE的中点，
∴CE＝CD＝2CF＝4．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD＝4．
在Rt△ABE中，由勾股定理，
得BE＝＝；
（2）证明：如答图，延长AG，BC交于点H．
∵CE＝CD，∠1＝∠2，∠C＝∠C，
∴△CEG≌△CDF．
∴CG＝CF．
∵点F为CE的中点，即CF＝EF＝CE，
又∵CE＝CD，
∴CG＝GD＝CD．
∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠H，∠ADG＝∠GCH．
∴△ADG≌△HCG．
∴AG＝HG．
∵∠AEH＝90°，
∴EG＝AH＝GH．
∴∠GEH＝∠H＝∠AGE．
7． 解：（1）∵在Rt△OAB中，D为OB的中点，
∴DO＝DA，
∴∠DAO＝∠DOA＝30°，
又∵△OBC为等边三角形，
∴∠BOC＝60°，
∴∠EOA＝90°，
∴∠AEO＝60°＝∠BCO，
∴BC∥AE，
∵∠BAO＝∠COA＝90°，
∴CO∥AB，
∴四边形ABCE是平行四边形．
（2）设OG＝x，
由折叠可得AG＝GC＝8－x，
在Rt△ABO中，
∵∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，BO＝8，
∴AO＝4，
在Rt△OAG中，OG2＋OA2＝AG2，x2＋(4)2＝(8－x)2，
解得x＝1，
∴OG＝1．
8． 解：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，
∴AC∥DE．
又∵CE∥AD，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴DE＝AC＝2．
在Rt△CDE中，由勾股定理，
得CD＝＝2．
∵D是BC的中点，
∴BC＝2CD＝4．
在Rt△ABC中，
由勾股定理得AB＝＝2．
∵D是BC的中点，DE⊥BC，
∴EB＝CE＝4，
∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋EB＋AB＝10＋2．
9． 解：（1）证明：连结AM，MC．
在△DCB和△BAD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，M是斜边BD的中点，
∴AM＝MC＝BD(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，
∴△AMC为等腰三角形．
∵N是AC的中点，
∴MN⊥AC．
（2）∵AC＝8 cm，BD＝10 cm，M，N分别是对角线BD，AC的中点，
∴AM＝5 cm，AN＝4 cm．在Rt△AMN中，MN＝＝3(cm)．
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平行四边形与勾股定理（较难）
一、选择题
1． 如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AE＝EB＝EC＝a，且a是一元二次方程x2＋2x﹣3＝0的根，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．4＋2 B．12＋6 C．2＋2 D．2＋2或12＋6
2． 如图是一个由5张纸片拼成的平行四边形，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为S1，另两张直角三角形纸片的面积都为S2，中间一张正方形纸片的面积为S3，则这个平行四边形的面积一定可以表示为（ ）
A．4S1 B．4S2 C．4S2＋S3 D．3S1＋4S3
二、填空题
3． 如图，点B是射线AH上一个动点，在AH上方作平行四边形ABCD，E是线段CD上一点，连接AE，作点D关于AE的对称点D?，且点D?刚好落在对角线AC上，连接ED?并延长交射线AH于点F，AC＝10，点C到射线AH的距离是4，当四边形AFCE是平行四边形时，△ADE的面积＝__________．
4． 如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝3，M，N分别为线段BC，AB上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为__________．
三、解答题
5． 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E．
（1）求证：BE＝CD；
（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝4，求□ABCD的面积．
6． 已知：在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE＝CD，点F为CE的中点，点G为CD上的一点，连结DF，EG，AG，∠1＝∠2．
（1）若CF＝2，AE＝3，求BE的长；
（2）求证：∠CEG＝∠AGE．
7． 如图1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，OB＝8．以OB为边，在△OAB外作等边△OBC，D是OB的中点，连结AD并延长交OC于点E．
（1）求证：四边形ABCE是平行四边形；
（2）如图2，将图1中的四边形ABCO折叠，使点C与点A重合，折痕为FG，求OG的长．
8． 如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD．若AC＝2，CE＝4，求四边形ACEB的周长．
9． 如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠DCB＝90°，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别是对角线BD，AC的中点．
（1）求证：MN⊥AC；
（2）当AC＝8 cm，BD＝10 cm时，求MN的长．
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