课件30张PPT。17.2一元二次方程的解法(3)-因式分解问题情境,导入新课问题1:前面学过哪几种解一元二次方程的方法?直接开平方法配方法公式法问题2:对于任何一个一元二次方程总可以用
_________来求解?公式法问题3:还记得解一元二次方程的求根公式吗?对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)(b2-4ac≥0)情境引入 我们知道ab=0,那么a=0或b=0,类似的解方程(x+1)(x-1)=0时,可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解,你能求 (x+3)(x-5)=0的解吗?问题4:问题4:对于一些特殊的一元二次方程除可用
公式法求解外,还可采用其它的方法?如:解一元二次方程:x2-36=0这里就是采用直接开平方法来求解的,较易.解:x2=36
x=±6
∴x1=6,x2=-6问:还有其它方法可解吗?新知探究,共同学习若将方程的左边进行因式分解,得:(x+3)(x-3)=0根据: 如果两个因式的积等于0,那么这两个因式
中至少有一个等于0;反过来,如果两个因
式中有一个等于0,那么它们的积就等于0.所以,x+3=0或x-3=0解这两个一次方程,得:x1=-3,x2=3想一想:这里用到了什么数学思想方法这里用到了数学的转化思想.交流: 我们通过对方程进行因式分解,将方程
左边化成了两个因式的乘积的形式,从而得
到两个一次方程,然后解这两个一次方程即
可得到原方程的解,这就把二次方程转化为
一次方程来求解(也可称之为降次).忆一忆:我们把刚才的解法叫做什么?因式分解法这种通过因式分解,将一个一元二
次方程转化为两个一元一次方程来
求解的方法,叫做因式分解法.想一想:用因式分解法一定要将方程的左边
化为____,左边的多项式一定能化成
_____________.0两个因式的积如:x2-3x=0x(x-3)=0转化 1.解下列方程,并与同学交流,检查解得的
结果是否正确.(1)x2+3x=0;(2)x2=x.问:如果把上述两个方程像下面这样解,对吗?解:(1)把方程两边同除以x,得
x+3=0
移项,得:x=-3
故方程的解为x=-3.把方程两边同除以x,得:x=1,故方程的解为:x=1.以上解法不正确,为什么?应该怎样解呢? 因为不能确定x是否等于0,当x等于0时,
两边就不能同时除以x.(2)x2=x.(1)x2+3x=0;(2)x2=x.解:x(x+3)=0x=0或x+3=0∴ x1=0,x2=-3解:x2-x=0x(x-1)=0x=0或x-1=0∴ x1=0,x2=1正确的解答方法:2.总结前面内容你能否归纳出缺项的二次方程:ax2+c=0(a,c异号),的解法吗?ax2+bx=0(a≠0).解:ax2+c=0(a,c异号)移项:ax2=-c将未知数前系数化为1:解方程,得:解: ax2+bx=0(a≠0)因式分解,得:x(ax+b)=0因此,有: x=0或ax+b=0解方程,得:(a≠0)试一试:下列各方程的根分别是多少?(1) x(x-2)=0; (1) x1=0,x2=2; (2) (y+2)(y-3)=0; (2) y1=-2,y2=3 ;(3) (3x+6)(2x-4)=0; (3) x1=-2,x2=2; (4) x2=x. (4) x1=0,x2=1. 练一练,相信你能行!1.解方程:x2-5x+6=0.解:把方程左边分解因式,得:(x-2)(x-3)=0x-2=0或x-3=0∴x1=2,x2=3.例2 解下列方程:解:(1)因式分解,得于是得x-2=0或x+1=0,x1=2,x2=-1.(2)移项、合并同类项,得因式分解,得
( 2x+1)( 2x-1 )=0.于是得2x+1=0或2x-1=0,(x-2)(x+1)=0.典例精析3.解方程:(x+4)(x-1)=6.解:将原方程化为标准形式,得:x2+3x-10=0,把方程左边分解因式,得:(x+5)(x-2)=0x+5=0或x-2=0∴x1=-5,x2=2.随堂练习用因式分解法解下列方程:(2)4x2-3x=0;
(3)3(x+1)=x(x+1);
(4)x2-6x-7=0;
(5)t(t+3)=28;
(6)(x+1)(x+3)=15.(1)(x- )(x- )=0;解:(2)因式分解,得x(4x-3)=0.x=0或(4x-3)=0.(3)化简,移项,得x2-2x-3=0.因式分解,得(x+1)(x-3)=0.x+1=0或x-3=0.∴ x1=-1,x2=3.(4)因式分解,得(x+1)(x-7)=0.x+1=0或x-7=0.∴ x1=-1,x2=7.(5)化简,移项,得t2+3t-28=0.因式分解,得(t+7)(t-4)=0.t+7=0或t-4=0.∴ t1=-7,t2=4.(6)化简,移项,得x2+4x-12=0.因式分解,得(x+6)(x-2)=0.x+6=0或x-2=0.∴ x1=-6,x2=2. 这种通过因式分解,将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.要点归纳因式分解法的概念因式分解法的基本步骤一左移-----方程的右边等于零;二分解-----方程的左边因式分解;三化-----方程化为两个一元一次方程;四解-----写出方程两个解;简记歌诀:
右化零 左分解
两因式 各求解例2 用适当的方法解方程:
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5); (2)(5x + 1)2= 1;分析:该式左右两边可以提取公因式,
所以用因式分解法解答较快.
解:化简 (3x -5) (x + 5) = 0.
即 3x-5 = 0 或 x + 5 = 0.分析:方程一边以平方形式出现,另一边是常数,可直接开平方法.
解:开平方,得
5x + 1 = ±1.
解得, x 1= 0 , x2= (3)x2 - 12x = 4 ; (4)3x2 = 4x + 1;
分析:二次项的系数为1,可用配方法来解题较快.
解:配方,得
x2 -12x + 62 = 4 + 62,
即 (x - 6)2 = 40.
开平方,得
x1= , x2= 分析:二次项的系数不为1,且不能直接开平方,也不能直接因式分解,所以适合公式法.
解:化为一般形式
3x2 - 4x-1 = 0.
∵Δ=b2 - 4ac = 28 > 0,
填一填:各种一元二次方程的解法及适用类型.拓展提升x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0)(x+m)2=n(n ≥ 0)ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)(x + m)(x + n)=01.一般地,当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0),应选用直接开平方法;
2.若常数项为0( ax2+bx=0),应选用因式分解法;
3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0),先化为一般式,看一边的整式是否容易因式分解,若容易,宜选用因式分解法,不然选用公式法;
4.不过当二次项系数是1,且一次项系数是偶数时,用配方法也较简单.要点归纳解法选择基本思路
① x2-3x+1=0 ; ② 3x2-1=0 ;
③ -3t2+t=0 ; ④ x2-4x=2 ;
⑤ 2x2-x=0; ⑥ 5(m+2)2=8;
⑦ 3y2-y-1=0; ⑧ 2x2+4x-1=0;
⑨ (x-2)2=2(x-2).
适合运用直接开平方法 ;
适合运用因式分解法 ;
适合运用公式法 ;
适合运用配方法 . 当堂练习1.填空⑥ ① ③ ④ ⑤ ⑦ ⑧ ⑨ ② 2.下面的解法正确吗?如果不正确,错误在哪?并请改正过来.解方程 (x-5)(x+2)=18. 解: 原方程化为:
(x-5)(x+2)=18 . ①由x-5=3, 得x=8; ②由x+2=6, 得x=4; ③所以原方程的解为x1=8或x2=4.3.解方程x(x+1)=2时,要先把方程化为 ;
再选择适当的方法求解,得方程的两根为x1= ,x2= . x2+x-2=0-21解: 原方程化为:
x2 -3x -28= 0,
(x-7)(x+4)=0,
x1=7,x2=-4.解:化为一般式为因式分解,得x2-2x+1 = 0.( x-1 )( x-1 ) = 0.有 x -1 = 0 或 x -1 = 0,x1=x2=1.解:因式分解,得( 2x + 11 )( 2x- 11 ) = 0.有 2x + 11 = 0 或 2x -11= 0,4.解方程:课堂小结因式分解法概念步骤简记歌诀:
右化零 左分解
两因式 各求解如果a ·b=0,那么a=0或b=0.原理将方程左边因式分解,右边=0.因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c);
a2 ±2ab+b2=(a ±b)2;
a2 -b2=(a +b)(a -b).布置作业课本第31页:习题第5题.再见!