5.3 正方形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是( )
A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分
C．是中心对称图形 D．有4条对称轴
2．如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( )
A．4个 B．6个
C．8个 D．10个
第2题图 第3题图
3．如图所示，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15 C．16 D．17
4．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF.若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为( )
A．20° B．25° C．35° D．40°
第4题图
第5题图
5．如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，E是BC上任意一点，EG⊥BD于点G，EF⊥AC于点F.若AC＝10，则EG＋EF的值为( )
A．10 B．8 C．5 D．4
6．如图所示，正方形ABCD的边长AD＝8 cm，AE＝FC＝1 cm，那么EF的长是_ __．
第6题图
第7题图
7．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为_____________．
8．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.
(1)求证：AE＝CF.
(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．
9．如图所示，在正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，连结DE.
(1)求证：△ABE≌△DAF.
(2)若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
B 更上一层楼 能力提升
10．2018·嘉兴将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( )
A B C D
11．如图所示，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值为( )
A. B. C. D.
12．2018·青岛已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，则GH的长为____．
13．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连结BE，DF，DF交对角线AC于点G，且DE＝DG. 求证：
(1)AE＝CG；
(2)BE∥DF.
C 开拓新思路 拓展创新
14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点P作PE⊥BC于点E, PF⊥CD于点F.
(1)猜想线段PA，PE，PF之间的数量关系，并给出证明；
(2)猜想线段PA，EF之间的位置关系，并给出证明．
15．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，求CE的长.
第15题图 第15题答图
参考答案
5.3 正方形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．正方形具有而菱形不一定具有的特征是( D )
A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分
C．是中心对称图形 D．有4条对称轴
2．如图所示，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰三角形有( C )
A．4个 B．6个
C．8个 D．10个
第2题图 第3题图
3．如图所示，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF的周长为( C )
A．14 B．15 C．16 D．17
4．如图所示，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，CE＝CF.若∠BEC＝80°，则∠EFD的度数为( C )
A．20° B．25° C．35° D．40°
第4题图
第5题图
5．如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，E是BC上任意一点，EG⊥BD于点G，EF⊥AC于点F.若AC＝10，则EG＋EF的值为( C )
A．10 B．8 C．5 D．4
6．如图所示，正方形ABCD的边长AD＝8 cm，AE＝FC＝1 cm，那么EF的长是__10_cm__．
第6题图
第7题图
7．我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐标原点O，固定点A，B，把正方形沿箭头方向推，使点D落在y轴正半轴上点D′处，则点C的对应点C′的坐标为 (2，) ．
8．如图所示，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G.
(1)求证：AE＝CF.
(2)若∠ABE＝55°，求∠EGC的大小．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC.
∵BE⊥BF，∴∠FBE＝90°.
∵∠ABE＋∠EBC＝90°，∠CBF＋∠EBC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF.
在△AEB和△CFB中，
∵AB＝BC，∠ABE＝∠CBF，BE＝BF，
∴△AEB≌△CFB(SAS)，∴AE＝CF.
(2)∠EGC＝∠EBG＋∠BEF＝35°＋45°＝80°.
9．如图所示，在正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于点E，DF⊥AG于点F，连结DE.
(1)求证：△ABE≌△DAF.
(2)若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD.
∵DF⊥AG，BE⊥AG，
∴∠BAE＋∠DAF＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，
∴∠BAE＝∠ADF.
在△ABE和△DAF中，
∵
∴△ABE≌△DAF(AAS)．
(2)设EF＝x，则AE＝DF＝x＋1，
由题意得2××(x＋1)×1＋×x×(x＋1)＝6，
解得x＝2或－5(舍去)，∴EF＝2.
B 更上一层楼 能力提升
10．2018·嘉兴将一张正方形纸片按如图步骤①，②沿虚线对折两次，然后沿③中平行于底边的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是( A )
A B C D
11．如图所示，E为边长为2的正方形ABCD的对角线上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值为( D )
A. B. C. D.
12．2018·青岛已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，H为BF的中点，连接GH，则GH的长为____．
13．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在边BC上，连结BE，DF，DF交对角线AC于点G，且DE＝DG. 求证：
(1)AE＝CG；
(2)BE∥DF.
证明：(1)∵DE＝DG，
∴∠DEG＝∠DGE，
∴∠AED＝∠CGD.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠DAC＝∠BCE＝∠DCA＝45°.
在△ADE和△CDG中，
∵
∴△ADE≌△CDG(AAS)，
∴AE＝CG；
(2)在△BCE和△DCE中，
∵
∴△BCE≌△DCE (SAS)，
∴∠BEC＝∠DEG，又∵∠DGE＝∠DEG，
∴∠BEC＝∠DGE，
∴BE∥DF.
C 开拓新思路 拓展创新
14．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点P作PE⊥BC于点E, PF⊥CD于点F.
(1)猜想线段PA，PE，PF之间的数量关系，并给出证明；
(2)猜想线段PA，EF之间的位置关系，并给出证明．
解：(1)PA2＝PE2＋PF2
证明：连结AC，PC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD垂直平分AC，∠BCD＝90°，
∴AP＝CP.
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴∠PEC＝∠PFC＝90°，
∴四边形PECF是矩形，
∴PC＝EF，∠EPF＝90°，
∴AP＝EF.
∵EF2＝PE2＋PF2，
∴PA2＝PE2＋PF2.
(2)AP⊥EF.
证明：过点P作PN⊥AB，垂足为点N，延长AP，交EF于点M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP＝∠CBD＝45°，
∴△DFP为等腰直角三角形，
∴DF＝PF，又AN＝DF，
∴AN＝FP.
又∵NP⊥AB，PE⊥BC，
∴四边形BNPE是正方形，∴NP＝EP.
∵AP＝PC，四边形PECF为矩形，
∴EF＝PC，∴AP＝EF.
在△ANP与△FPE中，
∵∴△ANP≌△FPE(SSS)，
∴∠NAP＝∠PFE.
∵在△APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM，
∴∠PMF＝∠ANP＝90°，∴AP⊥EF.
15．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，求CE的长.
第15题图 第15题答图
解：过点E作EF⊥CA于点F，易证△ABC≌△EAF，
∴EF＝AC＝6，AF＝BC＝8，
∴CF＝14.∴CE＝＝2.
5.3 正方形(1)
A 练就好基础 基础达标)
1．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，则下列添加的一个条件错误的是( )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．OA＝OD D．∠BAC＝45°
2．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
3．如图所示，四边形ABCD是菱形，添加一个条件仍不能使它成为正方形的是( )
A. ∠BAD＝90°
B．AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC
D．AD＝BD
4．如图所示，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F点处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
5．关于ABCD的叙述，正确的是( )
A．若AB⊥BC，则ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则ABCD是正方形
6．如图所示，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪切线与折痕所成的角的大小等于( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．对角线互相垂直且相等的四边形是( )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．无法确定形状
8．在同一平面内，以不重合A，B两点为顶点作正方形，不同位置的正方形可以作____个．
9．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形．
第9题图
10．2018·舟山如图所示，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．
B 更上一层楼 能力提升)
11．如图所示，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形可以是__ __．
12．如图所示，有一个含60°角的直角三角尺，沿其斜边和长直角边中点剪开后，不能拼成的四边形是( )
A．邻边不等的矩形
B．等腰梯形
C．有一角是锐角的菱形
D．正方形
13．2018·临安如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E，F分别是AB，BC的中点，若沿下左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是( )
A．2 B．4 C．8 D．10
14．如图所示，在等腰Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，过AB的三等分点E，F且沿着与AB垂直方向就可以剪出一个正方形DEFG，请说明理由．
C 开拓新思路 拓展创新
15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
(1)求证：四边形ADCE为矩形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
16．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P，Q分别是AB, AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．
(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形？请说明理由．
第16题图 第16题答图
参考答案
5.3 正方形(1)
A 练就好基础 基础达标)
1．在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，则下列添加的一个条件错误的是( C )
A．AB＝BC B．AC⊥BD
C．OA＝OD D．∠BAC＝45°
2．两条对角线相等且互相垂直平分的四边形是( D )
A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
3．如图所示，四边形ABCD是菱形，添加一个条件仍不能使它成为正方形的是( D )
A. ∠BAD＝90°
B．AC＝BD
C．∠BAD＝∠ABC
D．AD＝BD
4．如图所示，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F点处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是( A )
A．邻边相等的矩形是正方形
B．对角线相等的菱形是正方形
C．两个全等的直角三角形构成正方形
D．轴对称图形是正方形
5．关于ABCD的叙述，正确的是( C )
A．若AB⊥BC，则ABCD是菱形
B．若AC⊥BD，则ABCD是正方形
C．若AC＝BD，则ABCD是矩形
D．若AB＝AD，则ABCD是正方形
6．如图所示，把一个长方形纸片对折两次，然后沿图中虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，剪切线与折痕所成的角的大小等于( B )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．对角线互相垂直且相等的四边形是( D )
A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．无法确定形状
8．在同一平面内，以不重合A，B两点为顶点作正方形，不同位置的正方形可以作__3__个．
9．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D是AB的中点，分别过点D作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，求证：四边形CEDF是正方形．
第9题图
第9题答图
证明：连结CD.
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠CED＝90°，∠CFD＝90°.
∵∠C＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
∵AC＝BC，D是AB的中点，
∴DC平分∠ACB.∵DE⊥AC，DF⊥CB，
∴DE＝DF，∴四边形CEDF是正方形．
10．2018·舟山如图所示，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
又∵∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
∴△AEB≌△AFD(AAS)，
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
B 更上一层楼 能力提升)
11．如图所示，剪两张对边平行且宽度相等的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中的一张，重合的部分构成了一个四边形，这个四边形可以是__菱形或正方形__．
12．如图所示，有一个含60°角的直角三角尺，沿其斜边和长直角边中点剪开后，不能拼成的四边形是( D )
A．邻边不等的矩形
B．等腰梯形
C．有一角是锐角的菱形
D．正方形
13．2018·临安如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E，F分别是AB，BC的中点，若沿下左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是( B )
A．2 B．4 C．8 D．10
14．如图所示，在等腰Rt△ABC纸片中，∠C＝90°，过AB的三等分点E，F且沿着与AB垂直方向就可以剪出一个正方形DEFG，请说明理由．
解：由题意，得AE＝EF＝BF，GF⊥AB，DE⊥AB，△ABC是等腰直角三角形．
∴∠A＝∠B＝45°，
∴△ADE与△BGF都是等腰直角三角形．
∴FG＝BF＝AE＝DE，GF∥DE，
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠GFE＝90°， ∴DEFG是矩形．
又∵FG＝BF＝EF，∴矩形DEFG是正方形．
C 开拓新思路 拓展创新
15．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.
(1)求证：四边形ADCE为矩形．
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？请给出证明．
解：(1)证明：在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠DAC＝
∠BAC，
∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，
∴∠MAE＝∠CAE＝∠MAC，
∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°.
又∵AD⊥BC，CE⊥AN，
∴∠ADC＝∠CEA＝90°，
∴四边形ADCE为矩形．
(2)当△ABC满足∠BAC＝90°时(或其等价条件亦可)，四边形ADCE是一个正方形．
证明如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠ACB＝∠B＝45°.
∵AD⊥BC，
∴∠CAD＝∠ACD＝45°，
∴DC＝AD.
又∵四边形ADCE为矩形，
∴矩形ADCE是正方形．
∴当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是一个正方形．
16．如图所示，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，点P，Q分别是AB, AC上的动点，且满足BP＝AQ，D是BC的中点．
(1)求证：△PDQ是等腰直角三角形；
(2)当点P运动到什么位置时，四边形APDQ是正方形？请说明理由．
第16题图 第16题答图
解：(1)证明：连结AD.
∵△ABC是等腰直角三角形，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠DAQ＝∠B.
∴在△BPD与△AQD中，BD＝AD，∠DBP＝∠DAQ，BP＝AQ，
∴△BPD≌△AQD(SAS)，
∴PD＝QD，∠ADQ＝∠BDP.
∵∠BDP＋∠ADP＝90°，
∴∠ADP＋∠ADQ＝90°，即∠PDQ＝90°，
∴△PDQ为等腰直角三角形．
(2)当点P运动到AB的中点时，四边形APDQ是正方形．理由如下：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠C＝45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
当P为AB的中点时，DP＝AB，DP⊥AB，
即∠APD＝90°.
又∵∠A＝90°，∠PDQ＝90°，
∴四边形APDQ为矩形．
又∵DP＝AB＝AP，
∴矩形APDQ是正方形．
