浙教版八下数学第1章《二次根式》单元尖子生测试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.下列计算正确的是（ ）
A.????????????????? B.? C.?????????????????????????????? D.?
2.下列各实数中最大的一个是（?? ?）
A.?5× ??????????????????????? B.??????????????????????? C.?????????????????????? D.?+
3.已知x为实数，化简? 的结果为（ ）
A.??????????????????? B.??????????????????? C.?????????????????? D.?
4.函数 的自变量x的取值范围是( ????)
A.?x≥1????????????????????????????????? B.?x≥1且x≠3?????????????????????????? C.?x≠3?????????????????????????????????D.?1≤x≤3
5.已知 是正整数，则实数n的最大值为（??? ）
A.?12??????????????????????????????????????? B.?11??????????????????????????????????????? C.?8?????????????????????????????????????? D.?3
6.对于任意的正数m、n定义运算※为：m※n=，计算（3※2）×（8※12）的结果为（ ）
A.?2﹣4??????????????????????????????????????B.?2??????????????????????????????????????C.?2??????????????????????????????????????D.?20
7.已知 ， ，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于（??? ）
A.?﹣5?????????????????????????????????????? B.?5??????????????????????????????????????? C.?﹣9??????????????????????????????????????? D.?9
8.已知a是1997的算术平方根的整数部分，b是1991的算术平方根的小数部分，则化简 的结果为（? ?）
A.???????????????????????????????????????? B.???????????????????????????????????????? C.???????????????????????????????????? D.?
9.若 ， 则 的值为(??? )
A.?2??????????????????????????????????? B.?－2???????????????????????????????????? C.??????????????????????????????????????? D.?2
10.已知：m, n是两个连续自然数（mA.?总是奇数????????????? B.?总是偶数????????????? C.?有时奇数,有时偶数?????????? D.?有时有理数,有时无理数
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.化简二次根式 的结果是________.
12.已知x1= + ，x2= ﹣ ，则x12+x22=________．
13.观察下列各式： ┉┉ ?请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是________.
14.若实数x，y，m满足等式 ，则m+4的算术平方根为 ________．
15.已知 为有理数， 分别表示 的整数部分和小数部分，且 ，则 ________.
16.如果（x﹣ ）（y﹣ ）=2008，求3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=________．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17.（6分）已知 ，求 的值.
18.（8分）解答下列问题：
（1）试比较??与??的大小；
（2）你能比较??与??的大小吗？其中k为正整数.
19.（10分）已知x＝ ?( ＋ )，y＝ ?( － )，求下列各式的值：
（1）x2－xy＋y2； （2）＋ .
20.（10分）阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 ， ， 一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
?（一） ?（二）
（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
还可以用以下方法化简：
（四）
（1）请用不同的方法化简
参照（三）式得 =________；参照（四）式得 =________．
（2）化简： .
21.（10分）观察下列各式及其验算过程：
=2 ，验证： ?= = =2 ；
=3 ，验证： ?= = =3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
22.（10分）观察下列各式：
=1+﹣=1
=1+﹣=1
=1+﹣=1
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）=________
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：________?
（3）利用上述规律计算：（仿照上式写出过程）
23.（12分）在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.
比如： .善于动脑的小明继续探究：
当 为正整数时，若 ，则有 ，所以 ， .
请模仿小明的方法探索并解决下列问题：
（1）当 为正整数时，若 ，请用含有 的式子分别表示 ，得： ________， ________；
（2）
（3）若 ，且 为正整数，求 的值.
浙教版八下数学第1章《二次根式》单元尖子生测试题
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】 D
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】选项D符合平方差公式，计算也是正确的，故选D．
【分析】能够根据题意判断计算二次根式的正确性是深刻理解二次根式加减法法则的重要体现．
2.【答案】C
【考点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：A中5× = = ＜1；
B中∵π=3.14159＞3.141，
∴ ＜1；
C中 = = = （ -1）＞1；
D中∵ ＜ =0.25，
∴2 ＜0.5，
∴0.3+2 +0.2＜1，即（ + ）2＜1，
∴ + ＜1．
故答案为：C
【分析】先利用将根号外因式移到根号内、分母有理化、放缩法、平方法对各选项进行判断，据此即可答案。
3.【答案】 C
【考点】二次根式的加减法
【解析】【解答】由原式成立，所以x<0，所以原式=+=，故选C．
【分析】根据二次根式成立的条件，正确判断字母的正负性，从而判断每一项的正负性，最后进行二次根式的加减法计算．
4.【答案】B
【考点】分式有意义的条件，二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据被开方数为非负数以及分母不为零，可得知， x-1≥0且x-3≠0，解得x≥1，x≠3. 故答案为：B.
【分析】根据被开方数的非负性以及分母有意义的条件，可得出x的取值范围。
5.【答案】B
【考点】二次根式有意义的条件
【解析】解答：由题意是正整数所以 >0，且n为整数，所以12－n>0，所以n<12，所以n最大取11，故选B
分析：利用二次根式有意义的条件和正整数的范畴进行合格判断是解题的一般过程
6.【答案】 B
【考点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】∵3＞2，∴3※2=﹣，∵8＜12，∴8※12=+=2×（+），∴（3※2）×（8※12）=（﹣）×2×（+）=2．故选B．
【分析】根据题目所给的运算法则进行求解．
7.【答案】C
【考点】二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：由m=1+ 得m﹣1= ，
两边平方，得m2﹣2m+1=2
即m2﹣2m=1，同理得n2﹣2n=1．
又（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，
所以（7+a）（3﹣7）=8，
解得a=﹣9
故答案为：C
【分析】先变形已知条件，得到m2-2m、n2-2n的值，再整体代入得到a的方程，从而求出a的值。
8.【答案】 C
【考点】二次根式的应用
【解析】【解答】解：∵a是1997的算术平方根的整数部分，b是1991的算术平方根的小数部分
∴
∴
=
=
=
=
故答案为：C
【分析】先利用‘’夹逼法‘’找出、位于哪两个相邻的整数之间，从而得到a、b的值，再代入计算即可。
9.【答案】D
【考点】分母有理化，二次根式的化简求值
【解析】【解答】∵ ， ，
∴ ， ， ∴a＞0，b＞0
∴
=
= =a+b =
= .
故答案为：D.
【分析】先将a、b进行分母有理化，得出a、b的值，就可得出a＞0，b＞0，再将代数式化简，然后代入求值。
10.【答案】 A
【考点】二次根式的加减法
【解析】
【分析】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1，所以q=m（m+1)，所以q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2 ， q-m=m（m+1)-m=m2 ， 代入计算，再看结果的形式符合偶数还是奇数的形式．
【解答】m、n是两个连续自然数（m＜n)，则n=m+1， ∵q=mn， ∴q=m（m+1)， ∴q+n=m（m+1)+m+1=（m+1)2 ， q-m=m（m+1)-m=m2 ， ∴
?????? =m+1+m=2m+1， 即p的值总是奇数． 故选A．
【点评】本题的关键是根据已知条件求出p的值，判断p的值
二、填空题
11.【答案】 -
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】根据二次根式的性质可得： ，解得： ，则原式= ．
【分析】由于二次根式的被开方数必须大于0，故， 根据偶次幂的非负性进而得出-(a+2)≥0,求解得出a的取值范围，然后根据二次根式的性质将二次根式化简即可得出答案。
12.【答案】10
【考点】完全平方公式及运用，平方差公式及应用，二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：∵x1= + ，x2= ﹣ ， ∴x12+x22 =（x1+x2）2﹣2x1x2 =（ + + ﹣ ）2﹣2（ + ）×（ ﹣ ） =12﹣2 =10． 故答案为：10． 【分析】把x12+x22变形为（x1+x2）2-2x1x2 ， 把x1、x2的值代入，然后利用完全平方公式和平方差公式计算.
13.【答案】
【考点】二次根式的性质与化简，探索数与式的规律
【解析】【解答】观察可得 ?； ?； ;…由此可得规律，用含自然数n（n≥1）的等式表示出来是 ． 【分析】根据式子特点得到规律分母是（n+2），开出来的数是（n+1）.
14.【答案】3
【考点】非负数的性质：算术平方根
【解析】【解答】∵ 、 有意义，∴x+y=2①， ∴ ∴3x+5y?3?m=0②且2x+3y?m=0③， 把①代入②得，2y+3?m=0④， 把①代入③得，y+4?m=0⑤， ④-⑤得y＝1， 所以m＝5. 所以 ? 故答案为：3. 【分析】若使根号有意义，根号下≥0，可求出x、y的关系，因为算术平方根与平方都为非负数，所以两者都为零相加才会等于零，以此求出m的值，以此求出m+4的算术平方根。
15.【答案】2.5
【考点】估算无理数的大小，二次根式的化简求值，二次根式的应用
【解析】【解答】解：因为2＜ ＜3，所以2＜5－ ＜3，故m＝2，n＝5－ －2＝3－ ． 把m＝2，n＝3－ 代入amn＋bn2＝1，化简得（6a＋16b）－（2a＋6b） ＝1，所以6a＋16b＝1且2a＋6b＝0，解得a＝1.5，b＝－0.5． 所以2a＋b＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5． 【分析】根据4＜7＜9，得到5-的整数部分m的值和小数部分n的值，把m、n的值代入等式化简，求出a、b的值，得到2a＋b的值.
16.【答案】1
【考点】二次根式的应用，非负数的性质：算术平方根
【解析】【解答】解：设a= ，b= ，则x2﹣a2=y2﹣b2=2008， ∴（x+a）（x﹣a）=（y+b）（y﹣b）=2008① ∵（x﹣a）（y﹣b）=2008② ∴由①②得 x+a=y﹣b，x﹣a=y+b ∴x=y，a+b=0， ∴ + =0， ∴x2=y2=2008， ∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007=3×2008﹣2×2008+3（x﹣y）﹣2007=2008+3×0﹣2007=1． 故答案为：1 【分析】本题先通过设辅助未知数a、b，再代入已知式子对其变形，即可分别找到x与y、a与b的关系，从而利用算术平方根的非负性求出x、y的值，最后代入所求式子可得结果。
三、解答题
17.【答案】因为已知 ，所以（ ） =（x+ ) -4=8-4=4，所以 =±2
【考点】完全平方公式，二次根式的乘除法
【解析】【分析】能够根据二次根式的乘法规则，计算互为倒数的两数和与两数差的关系，是二次根式的乘法法则的一个应用
18.【答案】（1）解答：?，
???，
?故??＜?
（2）解答：?，
???，
?故??＜?
【考点】二次根式的乘除法，分母有理化
【解析】【分析】此题主要考查了通过二次根式的分母有理化进行分式的大小比较，这一方法是数学中常用的方法和思想
19.【答案】（1）解： ?
（2）解：
【考点】二次根式的化简求值
【解析】【分析】由题意可求得x+y=，xy=； 于是可得（1）运用完全平方公式将所求代数式转化为，再整体代换即可求解； （2）将所求代数式通分后，再用完全平方公式可转换为，再整体代换即可求解。
20.【答案】（1）=；=== （2）对式子进行分母有理化。 原式=(-1+++···+) =（-1）
【考点】分母有理化，二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：（1） ==
==== 故答案为：=；=== 【分析】（1）参照步骤（三），进行分母的有理化即可得到正确答案；参照步骤四，对分子进行因式分解，从而进行约分，得到正确答案。 （2）找规律，将几个式子分母有理化后，发现分母均为2，并且部分分子可以相互对消，从而达到化简的目的。
21.【答案】（1）解：∵ =2 ， ?=3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： ?= = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： ?= = ；正确
【考点】二次根式的性质与化简
【解析】【分析】（1）观察所给的几个式子的特点可得出结论，再利用二次根式的性质化简来验证； （2）由（1）可得规律；再利用分式的加减运算和二次根式的性质化简可验证.
22.【答案】（1）1
（2）=1+
（3）解：==1
【考点】二次根式的性质与化简，探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
23.【答案】（1） ； （2）解：由（1）中结论可得： ?，
∵ 都为正整数，
∴ ?或 ?，
∵当m=1，n=2时， ，而当m=2，n=1时， ，
∴m=2，n=1，
∴
（3）解：∵a+6 =(m+ n)2=m2+5n2+2mn ,
∴a=m2+5n2,6=2mn,
又∵a、m、n为正整数,
∴m=1,n=3,或m=3,n=1
当m=1,n=3时,a=46;当m=3,n=1,a=14
即a的值为:46或14
【考点】二次根式的性质与化简，完全平方式
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，
∴ ；
【分析】（1）将等式的右边利用完全平方公式展开，可得出a、b。 （2）利用（1）中的结论，由a=13，b=4，建立关于m、n的方程组，解方程组求出符合条件的m、n的值，可将写成二次根式的平方的形式。 （3）将等式的右边展开，可得出a=m2+5n2 ， 6=2mn，再根据a、m、n为正整数,求出m、n的值，从而可得出a的值。
浙教版八下数学第1章《二次根式》单元尖子生测试题
答案
一、单选题
1.【答案】 D 2.【答案】C 3.【答案】 C 4.【答案】B 5.【答案】B
6.【答案】 B 7.【答案】C 8.【答案】 C 9.【答案】D 10.【答案】 A
二、填空题
11.【答案】 - 12.【答案】10 13.【答案】
14.【答案】3 15.【答案】2.5 16.【答案】1
三、解答题
17.【答案】因为已知 ，所以（ ） =（x+ ) -4=8-4=4，所以 =±2
18.【答案】（1）解答：?，
???，
?故??＜?
（2）解答：?，
???，
?故??＜?
19.【答案】（1）解： ?
（2）解：
20.【答案】（1）=；=== （2）对式子进行分母有理化。 原式=(-1+++···+) =（-1）
21.【答案】（1）解：∵ =2 ， ?=3 ，
∴ =4 =4 = ，
验证： ?= = ，正确
（2）解：由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴ = ，
验证： ?= = ；正确
22.【答案】（1）1
（2）=1+
（3）解：==1
23.【答案】（1） ； （2）解：由（1）中结论可得： ?，
∵ 都为正整数，
∴ ?或 ?，
∵当m=1，n=2时， ，而当m=2，n=1时， ，
∴m=2，n=1，
∴
（3）解：∵a+6 =(m+ n)2=m2+5n2+2mn ,
∴a=m2+5n2,6=2mn,
又∵a、m、n为正整数,
∴m=1,n=3,或m=3,n=1
当m=1,n=3时,a=46;当m=3,n=1,a=14
即a的值为:46或14
