5.2 菱形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
第1题图
第3题图
2．符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是( )
A．四条边相等
B．两组邻边分别相等
C．对角线相互垂直平分
D．两条对角线分别平分一组对角
3．如图所示，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形，则这个条件可以是( )
A．BA＝BC B．AC＝BD
C．AB∥CD D．AC，BD互相平分
4．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定ABCD是菱形的只有( )
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
第4题图
第5题图
5．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( )
A．AB＝AC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
6．满足_____________或_______________-__的平行四边形是菱形．
7．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝6公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是____________．
8．2018·内江如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.
求证：(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
9．如图，在ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连结EF.
求证：四边形ABEF是菱形．
B 更上一层楼 能力提升
10．如图所示，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( )
A．AE＝AF
B．EF⊥AC
C．∠B＝60°
D．AC是∠EAF的平分线
11．2018·嘉兴用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中错误的是( )
A B C D
12．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.
(1)当AM的值为____时，四边形AMDN是矩形；
(2)当AM的值为____时，四边形AMDN是菱形．
13．如图所示，在ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．
C 开拓新思路 拓展创新
14. 已知一张矩形纸片ABCD的边长分别为9 cm和3 cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF(如图)．
(1)猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；
(2)求折痕EF的长．
参考答案
5.2 菱形(2)
A 练就好基础 基础达标
1．如图所示，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是( C )
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
第1题图
第3题图
2．符合下列条件之一的四边形不一定是菱形的是( B )
A．四条边相等
B．两组邻边分别相等
C．对角线相互垂直平分
D．两条对角线分别平分一组对角
3．如图所示，已知四边形ABCD的对角线互相垂直，若适当添加一个条件，就能判定该四边形是菱形，则这个条件可以是( D )
A．BA＝BC B．AC＝BD
C．AB∥CD D．AC，BD互相平分
4．如图所示，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定ABCD是菱形的只有( C )
A．AC⊥BD B．AB＝BC
C．AC＝BD D．∠1＝∠2
第4题图
第5题图
5．如图所示，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是( D )
A．AB＝AC B．AD＝BD
C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
6．满足__一组邻边相等__或__对角线相互垂直__的平行四边形是菱形．
7．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建了三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝6公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是__4公里__．
8．2018·内江如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE＝CF，并且∠AED＝∠CFD.
求证：(1)△AED≌△CFD；
(2)四边形ABCD是菱形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C.
在△AED与△CFD中，
∵
∴△AED≌△CFD(ASA)；
(2)由(1)知，△AED≌△CFD，则AD＝CD.
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形．
9．如图，在ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F，连结EF.
求证：四边形ABEF是菱形．
证明：∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠BAE＝∠EAF.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠AEB，∴AB＝BE.
同理，AB＝AF.
∴BE＝AF.
∵AD∥BC，
∴四边形ABEF是平行四边形．
∵AB＝BE，
∴ABEF是菱形．
B 更上一层楼 能力提升
10．如图所示，在ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形AECF为菱形的是( C )
A．AE＝AF
B．EF⊥AC
C．∠B＝60°
D．AC是∠EAF的平分线
11．2018·嘉兴用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中错误的是( C )
A B C D
12．如图所示，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连结MD，AN.
(1)当AM的值为__1__时，四边形AMDN是矩形；
(2)当AM的值为__2__时，四边形AMDN是菱形．
13．如图所示，在ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC，交BC延长线于点F.
(1)求证：四边形ABCD是菱形．
(2)若∠ABC＝45°，BC＝2，求EF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ADB＝∠CBD.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，∴ABCD是菱形．
(2)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝2.
∵AB∥CD，AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，∠ECF＝∠ABC＝45°，
∴AB＝DE＝2，∴CE＝CD＋DE＝4.
∵EF⊥BC，∠ECF＝45°，∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF＝CF＝CE＝2.
C 开拓新思路 拓展创新
14. 已知一张矩形纸片ABCD的边长分别为9 cm和3 cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF(如图)．
(1)猜想四边形AECF是什么四边形，并证明你的猜想；
(2)求折痕EF的长．
解：(1)四边形AECF是菱形，证明如下：
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，∴∠AFE＝∠CEF.
∵矩形ABCD沿EF折叠，点A和点C重合，
∴∠CEF＝∠AEF，AE＝CE，
∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF.∴AF＝CE.
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF为平行四边形．
又∵AE＝EC，
∴AECF为菱形．
(2)连结AC，
∵AB＝9 cm，BC＝3 cm，
∴AC＝3 cm，AF＝CF，
∴在Rt△BCF中，设BF＝x cm，
则CF＝BF＝(9－x)cm，
由勾股定理可得(9－x)2＝x2＋32，
即18x＝72，
解得x＝4，
则CF＝5，BF＝4，
由面积可得AC·EF＝AF·BC，
即×3·EF＝5×3，
∴EF＝ cm.
5.2 菱形(1)
A 练就好基础 基础达标)
1．如图所示，已知菱形ABCD的周长为12，∠A＝60°，则BD的长为( )
A．3 B．4 C．6 D．8
第1题图 第2题图
2．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为12和16，则此菱形的边长是( )
A．10 B．8 C．6 D．5
3．2018·荆州菱形不具备的性质是( )
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
4．2018·淮安如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( )
A．20 B．24
C．40 D．48
5．已知菱形的面积为24 cm2，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的边长是( )
A．8 cm B．5 cm
C．10 cm D．4.8 cm
6．求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.
求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：
①又BO＝DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是( )
A．③→②→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．①→④→③→②
7．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OH⊥AB，垂足为点H.若AC＝8，BD＝6，则点O到边AB的距离OH＝____．
8．如图所示，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝____度．
第8题图
第9题图
9．2018·广州如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是________．
10. 如图所示，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.
求证：FC＝AE.
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为( )
A. B．1
C. D．2
12．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为____．
13．如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求∠CHA的度数．
第14题图
C 开拓新思路 拓展创新
15．如图所示，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图(a)，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF.
(2)如图(b)，若∠EAF＝60°，试判定△AEF的形状并说明理由．
参考答案
5.2 菱形(1)
A 练就好基础 基础达标)
1．如图所示，已知菱形ABCD的周长为12，∠A＝60°，则BD的长为( A )
A．3 B．4 C．6 D．8
第1题图 第2题图
2．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为12和16，则此菱形的边长是( A )
A．10 B．8 C．6 D．5
3．2018·荆州菱形不具备的性质是( B )
A．四条边都相等
B．对角线一定相等
C．是轴对称图形
D．是中心对称图形
4．2018·淮安如图，菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是( A )
A．20 B．24
C．40 D．48
5．已知菱形的面积为24 cm2，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的边长是( B )
A．8 cm B．5 cm
C．10 cm D．4.8 cm
6．求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O.
求证：AC⊥BD.
以下是排乱的证明过程：
①又BO＝DO；
②∴AO⊥BD，即AC⊥BD；
③∵四边形ABCD是菱形；
④∴AB＝AD.
证明步骤正确的顺序是( B )
A．③→②→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．①→④→③→②
7．如图所示，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OH⊥AB，垂足为点H.若AC＝8，BD＝6，则点O到边AB的距离OH＝__2.4__．
8．如图所示，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD＝80°，对角线AC，BD相交于点O，点E在AB上，且BE＝BO，则∠EOA＝__25__度．
第8题图
第9题图
9．2018·广州如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为(3，0)，(－2，0)，点D在y轴上，则点C的坐标是 (－5，4) ．
10. 如图所示，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F.
求证：FC＝AE.
证明：连结BD.
∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC，AD＝CD.
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF.
在Rt△ADE和Rt△CDF中，
∵∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴FC＝AE.
B 更上一层楼 能力提升
11．如图所示，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们的交角为60°，则它们重叠部分的面积为( C )
A. B．1
C. D．2
12．四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD相交于点O，点E在AC上，若OE＝，则CE的长为__4或2__．
【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC.
∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝6，∴OB＝BD＝3，
∴OC＝OA＝＝3，
∵点E在AC上，OE＝，
∴CE＝OC＋或CE＝OC－，
∴CE＝4或CE＝2.
故答案为4或2.
13．如图所示，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连结OH，求证：∠DHO＝∠DCO.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，OD＝OB，∠COD＝90°.
∵DH⊥AB，∴OH＝OB.
∴∠OHB＝∠OBH.
又∵AB∥CD，∴∠OBH＝∠ODC.
∴∠OHB＝∠ODC.
∵在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO.
14．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，E为BC中点，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.
(1)求菱形ABCD的面积；
(2)求∠CHA的度数．
第14题图
第14题答图
解：(1)如图，连结AC，
∵E为BC的中点，AE⊥BC，
∴AB＝AC.
又∵菱形的边AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AE＝AB＝×4＝2，
∴菱形ABCD的面积＝BC·AE＝4×2＝8；
(2)在等边三角形ABC中，∵AE⊥BC，
∴∠CAE＝∠BAC＝×60°＝30°.
同理∠CAF＝30°.
∴∠EAF＝∠CAE＋∠CAF＝30°＋30°＝60°.
∵AE∥CG，
∴∠CHA＝180°－∠EAF＝180°－60°＝120°.
C 开拓新思路 拓展创新
15．如图所示，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图(a)，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF.
(2)如图(b)，若∠EAF＝60°，试判定△AEF的形状并说明理由．
解：(1)证明：连结AC，∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°，
∴△ABC是等边三角形．
∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.
∵∠AEF＝60°，
∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°，
∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°，
∴∠FEC＝∠CFE，∴EC＝CF，
∴BC－EC＝DC－CF，
∴BE＝DF.
(2)△AEF为等边三角形．理由：连结AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC，∠D＝∠B＝60°，∠ACB＝∠ACF,
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠B＝∠ACF＝60°.
∵∠BAC＝60°＝∠BAE＋∠EAC，∠EAF＝60°＝∠EAC＋∠CAF，∴∠BAE＝∠CAF.
在△ABE和△ACF中，
∵
∴△ABE≌△ACF(ASA), ∴AE＝AF.
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形.
