第4章 平行四边形 4.1 多边形（1）
【教学目标】
知识与技能
使学生理解多边形的有关概念
使学生掌握四边形内角和定理及外角和定理的证明及简单应用
体验把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想
过程与方法
1、认真观察生活中的物品，经历抽象、提炼、发现等基本过程，理解这些图形的共性，类比三角形的定义得到多边形的概念，培养学生学会观察、积极梳理、科学定义的数学学习态度.
2、受三角形的内、外角和的启发，积极探究并掌握四边形内角和定理的证明及简单应用.体验数学知识不是游离于现实生活之外的活动, 以 “一题多证” “解一图，通一类”的策略来促进学生数学创新思维的培养.
情感、态度与价值观
通过定理证明使学生认识到“把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想”，利用例题和变式练习使学生感悟到“利用方程的数学思想方法解决问题使思维更顺畅”，是实际需要而产生的观点，培养学生科学的学习兴趣和态度.
【教学重难点】
?重点：四边形内角和定理．
?难点：四边形内角和定理的证明思路．
【导学过程】
【情景导入】1.观察图片，多媒体播放。
这些图形叫什么图形？你能给他下个定义吗？
【新知探究】
探究一、四边形的有关概念
如图，在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫多边形.组成多边形的各条线段叫做多边形的边。
2.说出如图所示的四边形ABCD的各条边和各个内角，并画出各条对角线和任意一个外角。
强调四边形的表示方法，一定要按顶点顺序书写。
如图，可表示为四边形ABCD或四边形ADCB
2.探索四边形内角和定理
让学生在一张纸上任意画一个四边形，剪下它的四个角，把它们拼在一起（四个角的顶点重合）。通过实验、观察、猜想得到：四边形的内角和为3600 。
让学生根据猜想得到的命题，画图、写出已知、求证。
已知：四边形ABCD
求证：∠A+∠B+∠C+∠D=360°
证明：连结BD
∵∠A+∠ABD+∠ADB=180°
∠C+∠CBD+∠CDB=180°（理由）
∴∠A+∠ABD+∠ADB+∠C+∠CBD+∠CDB=180°+180°
即：∠A+∠ABC+∠C+∠CDA=360°
对这个命题的证明可作如下启发：
我们已经知道哪一种图形的内角和？内角和为多少？
能否把问题化归为三角形来解决？
2.还有其他的证法吗？（一题多证）
练习1：（1）一个四边形的四个内角的度数之比为，求这四个内角的度数.
(2)在四边形中，与互补，比大，求的度数.
2. (1)已知在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，若∠B=80°,则∠D =_°
(2)四边形的四个内角中，直角最多有__个，钝角最多有__个，正确答案（ ）
A、2 ；2 B、4 ；3 C、4 ；1 D、4 ；4
(3)把四张纸叠在一起，剪出4个全等的四边形纸片，你能否通过平移变换和旋转变换，把这4张四边形纸片组成一幅镶嵌图？请画出示意图，并说明理由.
4.探究活动：善于思考的小灰灰给同学们出了一个问题：小明按如图所示的路线做带球练习，走一周后回到原来的位置（方向前后相同），问小明共转多少度？
5.比一比，三角形和四边形的异同点？
三角形
四边形
图形
表示方法
顶点、角、边
内角和
联系
总结：把四边形问题转化为三角形问题来解决的化归思想。
例1“已知四边形风筝的四个内角∠A、∠B、∠C、∠D的度数比为1:1:0.6:1，你能求它的四个内角的度数吗？”
变式一：四边形各顶点处同方向的四个外角的度数之比为1:1:0.6:1，你能求它的四个内角的度数吗？
变式二：变式二：如图，在四边形ABCD中，∠A =85°，∠D =110°， ∠α的外角是70°，求∠α和∠β的度数.
变式三：如图，连接AC，若AB=AD，BC=CD. ∠B=100°， ∠BAD =100，求∠1和∠2的度数.
变式四：如图，在四边形ABCD中， ∠A=∠C=90° BE、DF分别平分∠ABC和∠ADC，交CD、AB于E、F点.
求证：BE∥DF
练习2：（1）已知：在四边形中，,,求证：∥
(2)已知，如图，在四边形中，平分，交于点，平分交于点，求证：∥
【知识梳理】
本节课我们学习了：
1.“两个一”，即一个定义：____，一个定理____，一个推论：_____.
2.“两个思想方法”，即__________，___________，____________.
3.构建知识树.
【达标测评】
1.在四边形ABCD中， ∠A=85 °[来源:Z.xx.k.Com]
∠D＝110 °， ∠B的外角是71 °，
则∠B＝____,∠C＝____。
2.如图：已知四边形的三个内角的度数
如图所示，则∠1的度数是______度。
3.在四边形ABCD中， ∠C=110 °,∠A， ∠B的外角都是120 °，则∠D的外角=_______。
第4章 平行四边形4.1 多边形（2）
【教学目标】
知识与技能
学生能利用已学的三角形、四边形的有关概念类比得出n边形的有关概念
过程与方法
学生运用转化、归纳的数学思想方法经历独立探究、小组合作掌握n边形
的内角和与外角和，并能较熟练地使用它们进行有关计算。
情感、态度与价值观
【教学重难点】
重点：n边形的内角和定理的推导
难点：例题的解题思路的寻找
【导学过程】
【情景导入】出示一组多边形的实物图片，从图片中找出三角形、四边形、五边形
【新知探究】
探究一、利用类比得出多边形的定义
多边形：在同一平面内由不在同一直线上的n条线段首尾顺次相接而成的图形叫做n边形
2、n边形的元素：边、角、线
三角形、四边形的内角和与外角和
探究n边形的内角和与外角和
二、合作学习：多边形的内角和（外角和）
边数
图形
从某顶点出发的对角线条数
划分成的三角形个数
多边形的内角和
多边形的外角和
３
?
0
1
1×180°
４
?
1
2
2×180°
５
?
?
?
?
６
?
?
?
?
．．．
．．．
?
?
?
n
?
?
?
?
归纳小结：
（1）n边形从一个顶点出发的对角线有 条；
n边形共有对角线 条。
（2）n边形从一个顶点出发的对角线把多边形划分成_________个三角形。
（3）n边形的内角和为 。
（4）任何多边形的外角和等于 。
直接证明
1、多边形转化为三角形
a、从一个顶点出发
b、n边形内一点出发
c、任意连接对角线
（还有边上一点、形外一点出发）
间接证明
（从特殊到一般——归纳）
2、多边形转化为三角形和四边形
（以内角和为主 外角和主要是转化为内和）
【随堂练习】
1、求十边形的内角和与外角和。
2、已知一个多边形的内角和为900°，这个多边形是几边形？
3、已知一个多边形的内角和为1080° ，问这个多边形是几边形？
4、已知一个多边形的每一个外角都是72°，求这个多边形的边数。
例1、一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
思考：有没有其它的解法？
1、连AD证∠A=∠D
(∠C=∠F,∠E=∠B)
2、延长AB、DC证∠A=∠D
(∠C=∠F,∠E=∠B)
【随堂练习】
1、已知六边形的各内角相等，问各内角、外角分别是多少度？
2、一个内角和为1620°的多边形有多少条对角线?
3、如图，以四边形ABCD的四个顶点为圆心，以1为半径画弧，求图中阴影部分的面积。
4、一个六边形如图，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=120°.
求证：AB+BC=EF+FD.
1、一个n边形的内角和等于它的外角和的3倍，则n=
2、一个凸多边形截去一个角后,形成另一个多边形,其
内角和是2520度,则原多边形是几边形？
3、某多边形除一个内角a外，其余内角的和是2750°。
求这个多边形的边数。
4、已知n边形恰有四个内角是钝角。这种多边形共有多少个？
其中边数最少的是几边形？边数最多的是几边形？
【知识梳理】
数学知识
n边形的内角和公式和外角和
数学思想
转化化归思想
数学方法
“特殊→一般→特殊”
(例子→ 公式 → 应用)
【达标测评】
一、填空题：
1. 内角和等于外角和的多边形是 边形
2. 内角和为1440°的多边形是
3. 若多边形内角和等于外角和的3倍，则这个多边形是 边形．
4. 四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D= ．
5. 一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为 边形．
二、选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
2. 一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
3. 随着多边形的边数n的增加，它的外角和（ ）
A．增加 B．减小 C．不变 D．不定
4. ．一个多边形每个内角为108°，则这个多边形（ ）
A．四边形 B，五边形 C．六边形 D．七边形
5. 多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（ ）
A．八边形 B．九边形 C．十边形 D，十一边形
三、解答题．
1、已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．
2、一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？
3、四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．
4、若一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数．
