4.1.1 多边形（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第4章平行四边形
4.1 多 边 形
第1课时 多 边 形(1)
【知识清单】
一、多边形
在同一平面内，由不在同一条直线上的若干条线段(线段的条数不小于3)首尾顺次相接形成的图形叫做多边形.
二、构成多边形的元素
组成多边形的各条线段叫做多边形的边.边数为n的多边形叫n边形(n为正整数，且n≥3).
多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角.多边形每一个内角的顶点叫做多边形的顶点，连结多边形不相邻两个顶点的线段叫做多变形的对角线.
三、四边形的内角和
四边形的内角和等于360°.
【经典例题】
例题1、如图，在四边形ABCD中，∠α= ，∠β== .
【考点】四边形的内角和.
【分析】根据四边形的内角和为360°和邻补角定义求解即可．
【解答】∵在四边形ABCD中，∠A+∠B+∠BCD+∠ADC=360°，
∴∠ADC =360°∠A∠B∠ACD
=360°105°65°76°=114°，
∴∠α=180°∠ADC =66°，
∴∠β=180°∠BCD=104°.
【点评】点评?本题考查了四边形内角和以及邻补角的定义、熟练掌握四边形内角和以及邻补角的定义是解题的关键.
例题2、如图在四边形ABCD中，AB=BC=AC=AD，则∠BDC的度数为( )
A．10° B．20° C．30° D．40°
【考点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；三角形内角和定理和四边形的内角和定理．
【分析】设∠CBD=x，∠BDC=y，根据AB=BC=AC=AD，再由四边形的内角和是360°得60°+60°+2x+60°+2(60°x+y)=360°，解得即可得出答案．
【解答】解；设∠CBD=x，∠BDC=y，
∵AB=BC=AC=AD，
∴∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°，
∠ABD=∠ADB=60°x，∠ACD=∠ADC=60°x+y
∴∠BAD=180°2(60°x)=60°+2x.
∵四边形的内角和为360°，
∴60°+60°+2x+60°+2(60°x+y)=360°，
解得y=30°，∴∠BDC=30°.
故选C．
【点评】此题主要考查学生对四边形的内角和定理(四边形的内角和为360°)，等腰三角形的
性质和等边三角形性质的理解和掌握，此题的关键是由已知条件得到60°+60°+2x+60°+2(60°x+y)
=360°，进一步求出结果．
【夯实基础】
1、在四边形的四个内角中，钝角个数最多为(　　)
A．4　　　 B．3　　　 C．2　　　 D．1
2、四边形ABCD中，∠A=95°，∠B=120°，∠C=75°，则∠D=( )
A. 110° B. 90° C. 80° D. 70°
3、四边形ABCD中，∠A与∠C互为补角，∠B∠D=20°，则∠B∶∠D的度数为( )
A. 4∶3 B.5∶4 C. 6∶5 D. 7∶6
4、如图，一块四边形玻璃破了一角，要想知道破掉的∠C的度数，只要测量∠A，∠B，∠D的度数，就能知道∠C的度数了，其根据是(??)
A. 四边形外角和是360° B. 四边形外角和是180°
C. 四边形内角和是360° D. 四边形内角和是180°


5、在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B∶∠C∶∠D=3∶4∶5，则∠D= .
6、如图，四边形各内角平分线分别交于点A，B，C，D，则∠ABC+∠ADC= .
7、在四边形ABCD中，∠D=80°，∠B比∠A大40°，∠C是∠A的3倍，求∠A，∠B，∠C的大小.

8、如图，四边形ABCD中，∠B=∠D，AF平分∠BAD，交DC于点F，E是AB上的点，AF∥CE.求证：CE平分∠BCD.
【提优特训】
9、四边形ABCD中，AD∥BC，那么它的四个内角之比∠A∶∠B∶∠C∶∠D可能是( )
A．3∶4∶8∶9 B．8∶3∶4∶9 C．9∶3∶4∶8 D．9∶4∶8∶3
10、如图，已知P是四边形ABCD内一点，PB=PC=PD，∠BCD=76°，则∠A+∠ABP+∠ADP的大小是( )
A. 214° B. 208° C. 200° D. 190°
11、 四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，与∠A相邻的外角为95°，则∠C= (　　).
A．65° B．75° C．85° D．95°
12、如图∠1=∠2，∠A=α，∠C=β，则∠B= (用含α、β代数式表示).
13、在一块四边形绿化园地的A，B，C，D四个顶点各做一个半径为2的扇形花园，则这四个扇形花园的面积为 .
14、如图，在四边形ABCD中，∠A+∠D=240°，∠B=3α，∠C=α25α，则α的度数为 .
15、如图，已知AC与BD的四边形ABCD的对角线，相交于点O，
求证：16、如图，四边形ABCD中，∠A=∠B，∠D=∠DCB，CE∥AD，DF∥CB，DF与CE相交于P
且∠A∶∠ADC=1∶2，试说明△PEF的形状.

17、如图所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A∶∠C=1∶5，AB=6，CD=.
求：(1)∠A，∠C的度数；
(2)AD，BC的长度；
(3)四边形ABCD的面积.

18、四边形ABCD中，∠C+∠B=230°.
(1)如图1，若∠D=2∠A，试求出∠A的度数；
(2)如图2，DP，AP分别是四边形ABCD的外角∠EDA，∠FAD的平分线，DP与AP相交于
点P，求∠P 的度数；
(3)如图3，DF，AF分别是四边形ABCD的内角∠ADC和外角∠BAE的平分线，DF与AF相交于点F，试求出∠F的度数.
【中考链接】
19、(2017?台湾) 10．如图为互相垂直的两直线将四边形ABCD分成四个区域的情形，若∠A=100°，∠B=∠D=85°，∠C=90°，则根据图中标示的角，判断下列∠1，∠2，∠3的大小关系，何者正确(　　)
A．∠1=∠2＞∠3 B．∠1=∠3＞∠2 C．∠2＞∠1=∠3 D．∠3＞∠1=∠2
20、(2017?模拟试题) 如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为( )
A．15° B．30° C．45° D．60°
21、(2018?龙东地区) 7．18．(3.00分)如图，四边形ABCD中，AB=AD，AC=5，∠DAB=∠DCB=90°，则四边形ABCD的面积为(　　)
A．15 B．12.5 C．14.5 D．17
22、(2018?模拟试题) 如图，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．
①如图1，若α+β＞180°，求∠P的度数．(用α、β的代数式表示)
②如图2，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并求证: ∠P=90°．(用α、β的代数式表示)
参考答案
1、B 2、D 3、B 4、C 5、100° 6、180° 9、C 10、B 11、D
12、360°(α+β) 13、 14、12° 19、D 20、C 21、B
7、在四边形ABCD中，∠D=80°，∠B比∠A大40°，∠C是∠A的3倍，求∠A，∠B，∠C的大小.
解：∵四边形ABCD的内角和为360°，∠D=80°，
∴，
解得∠A=48°，∠B=88°，∠C=144°.
∴∠A，∠B，∠C的大小分别为48°，88°，144°.
8、如图，四边形ABCD中，∠B=∠D，AF平分∠BAD，交DC于点F，E是AB上的点，AF∥CE.求证：CE平分∠BCD.
证明：∵四边形ABCD的内角和为360°，∠B=∠D，
∴∠BAD+∠BCD=360°∠B∠D
=360°2∠B，
∵AF平分∠BAD，
∴∠1=∠2.
∵AF∥CE，
∴∠2+∠CEA=180°，
∵∠CEA=∠B+∠4，
∴∠2+∠B+∠4=180°.
∵∠3+∠AFC=180°，
∴∠AFC=∠1+∠D，
∴∠3+∠1+∠D=180°，
∴∠2+∠B+∠4=∠3+∠1+∠D.
∴∠3=∠4.
∴CE平分∠BCD.
15、如图，已知AC与BD的四边形ABCD的对角线，相交于点O，
求证：证明：在△AOB中，OA+OB>AB，
同理OB+OC>BC，OC+OD>CD，OD+OA>DA，
∴ 2(OA+OB+OC+OD)>AB+BC+CD+DA，
∴2(AC+BD) >AB+BC+CD+DA，
∴ 在△ABC中，AC同理AC∴2(AC+BD)<2(AB+BC+CD+DA)
∴AC+BD∴16、如图，四边形ABCD中，∠A=∠B，∠D=∠DCB，CE∥AD，DF∥CB，DF与CE相交于P
且∠A∶∠ADC=1∶2，试说明△PEF的形状.
解：△PEF是等边三角形，理由如下：
∵四边形ABCD的内角和为360°，∠A=∠B，∠ADC=∠DCB，
∴∠A+∠B+∠ADC+∠DCB=360°，
即2(∠A+∠ADC) =360°，
∴∠A+∠ADC=180°.
∵∠A∶∠ADC=1∶2
∴∠A=∠B=60°，
∵CE∥AD，
∴∠CEB=∠A=60°.
同理∠AFD=∠B=60°.
∴△PEF是等边三角形.
17、如图所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A∶∠C=1∶5，AB=6，CD=.
求：(1)∠A，∠C的度数；
(2)AD，BC的长度；
(3)四边形ABCD的面积.
解：延长BC与AD相交于点E.
(1)∵四边形ABCD的内角和为360°，
∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠C=180°
∵∠A∶∠C=1∶5，
∴∠A=30°，∠C=150°.
(2)在Rt△ABE中，∠A=30°，
∴∠E=60°，
∴AE=2BE，
∴AE2BE2=AB2
∴3BE2=62
∵BE >0，∴BE=，
∴AE=.
在Rt△CDE中，∠E=60°，
∴∠ECD=30°，
∴CE=2DE，
∴CE2DE2=CD2
∴3DE2=
∵DE>0，∴DE=1，∴EC=2.
∴AD=AEED=1，
∴BC=BECE=2.
(3)S△ABE，
S△CDE，
四边形ABCD的面积= S△ABES△CDE=.
18、四边形ABCD中，∠C+∠B=230°.
(1)如图1，若∠D=2∠A，试求出∠A的度数；
(2)如图2，DP，AP分别是四边形ABCD的外角∠EDA，∠FAD的平分线，DP与AP相交于点P，
求∠P 的度数；
(3)如图3，DF，AF分别是四边形ABCD的内角∠ADC和外角∠BAE的平分线，DF与AF相交于点F，试求出∠F的度数.
解：(1)∵四边形ABCD的内角和为360°，∠C+∠B=230°，
∴∠A+∠D=360°(∠C+∠B)=130°，
∵∠D=2∠A
∴∠A=.
(2)由(1) ∠BAD+∠CDA=130°，
∴∠EDA+∠FAD=230°
∵DP，AP分别是四边形ABCD的外角∠EDA，∠FAD的平分线，
∴∠1=∠2=，∠3=∠4=.
∴∠2+∠3=+=115°
∴∠P=180°(∠2+∠3)=65°.
(3) 由(1) ∠BAD+∠CDA=130°，
即∠1+∠2+∠5=130°.
∵DF，AF分别是四边形ABCD的内角∠ADC和外角∠BAE的平分线，
∴∠1=∠2=，∠3=∠4=.
∴∠F=180°(∠2+∠3+∠5)
=180°(++∠5)
=180°()
=180°90°65°=25°.
22、(2018?模拟试题) 如图，四边形ABCD中，设∠A=α，∠D=β，∠P为四边形ABCD的内角∠ABC与外角∠DCE的平分线所在直线相交而形成的锐角．
①如图1，若α+β＞180°，求∠P的度数．(用α、β的代数式表示)
②如图2，若α+β＜180°，请在图③中画出∠P，并求证: ∠P=90°．(用α、β的代数式表示)
?解：(1)∵∠ABC+∠DCB=360°(α+β)，
∴∠ABC+(180°∠DCE)=360°(α+β)
=2∠FBC+(180°2∠DCP)
=180°2(∠DCP∠FBC)
=180°2∠P，
∴360°(α+β)=180°2∠P，
2∠P=α+β180°，
∴∠P=90°；
(2)∵∠ABC+∠DCB=360°(α+β)，
∴∠ABC+(180°∠DCE)=360°(α+β)
=2∠GBC+(180°2∠HCE)
=180°+2(∠GBC∠HCE)
=180°+2∠P，
∴360°(α+β)=180°+2∠P，
∴∠P=90°；故答案为：90°．