第五章 特殊平行四边形好题精选（含解析）

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第五章特殊平行四边形好题精选
一．选择题（共15小题）
1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）

A．20 B．24 C．40 D．48
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOD＝120°，AC＝6，则图中长度为3的线段有（　　）

A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
3．下面关于四边形的说法中，错误的是（　　）
A．菱形的四条边都相等
B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形
4．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10 B．12 C．16 D．18
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（　　）

A．60° B．90° C．100° D．110°
6．已知菱形的一边与等腰直角三角形的直角边等长，若菱形的一个角是30°，则菱形和等腰直角三角形的面积之比为（　　）
A．1：1 B．2：3 C．1：2 D．2：1．
7．如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为（a，b），则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是（　　）

A．（a﹣b，a） B．（b，a） C．（a﹣b，0） D．（b，0）
8．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD＝，其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中点．连接EG、FG．下列结论：①当点E为边AB的中点时，S△EFG＝5；②MG＝EF；③当AE＝时，FG＝；④若点E从点A运动到点B，则此过程中点P移动的距离为2．其中正确的结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH．则线段GH的长（　　）

A． B．10﹣5 C．2 D．
11．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则菱形ABCD面积为（　　）

A．8 B．16 C．24 D．32
12．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
13．矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：
①△AOE≌△COF；
②△EOB≌△CMB；
③FB⊥OC，OM＝CM；
④四边形EBFD是菱形；
⑤MB：OE＝3：2
其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
14．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
15．如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上的点F处，量得∠BAF＝50°，那么∠DEA等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
二．填空题（共10小题）
16．在正方形ABCD中，∠CBF＝25°，BF交对角线AC于E点，则∠AED＝　 　．

17．矩形ABCD中，AB＝20，BC＝6，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为10的等腰三角形，则线段BP的长为　 　
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC＝60°，∠AEF＝120°，AB＝4，则EF可能的整数值是　 　．

19．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EG⊥AD，EF⊥CD，BE的延长线与FG交于点H，若∠ABE＝15°，则的值为　 　．

20．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为　 　．

21．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和DC上，连接AE、BF，AE⊥BF，点M、N分别在边AB、DC上，连接MN，若MN∥BC，FN＝1，BE＝2，则BM＝　 　．

22．如图，在正方形ABCD中，AB＝，AG＝CH＝3，BG＝DH＝2，则H、G两点之间的距离为　 　．

23．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（Ⅰ）请写出图中一对全等的三角形　 　（写出一对即可）．
（Ⅱ）有下列结论：
①BG＝GC；②AG∥CF；③S△FGC＝3；④图中与∠AGB相等的角有5个．
其中，正确结论的序号是　 　（把你认为正确结论的序号都填上）．

24．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝　 　．

25．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB＝　 　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）

三．解答题（共15小题）
26．已知：在平行四边形ABCD中，点O是边AD的中点，连接CO并延长交BA延长线于点E，连接ED、AC．
（1）如图1，求证：四边形AEDC是平行四边形；
（2）如图2，若四边形AEDC是矩形，请探究∠COD与∠B的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明．

27．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：
（1）求证：四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？
（4）对于任意△ABC，?AFED是否总存在？

28．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形（AD∥CB），F是DA延长线上一点，G 是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，你能证明∠ECB＝∠ACB吗？

29．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．

30．如图，DE是平行四边形ABCD中∠ADC的角平分线，EF∥AD交DC于F．

（1）如图1，求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如图2，连接FB，FB⊥AB，若∠DAB＝60°，FC＝2，请直接写出所有长度为4的线段．
31．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作BD∥AB，并交AB的延长线相交于点E，则△ACE是等腰三角形吗？请说明理由．

32．如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．

33．如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE＝AF．连接DE、DF．求证：DE＝DF．

34．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
（1）若点F是AD的中点，求证：MD＝MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

35．已知菱形ABCD中，∠A＝72°，请你用两种把该菱形分成四个等腰三角形，并标出每个等腰三角形的顶角度数（要求在图中直接画出图形，不要求写作法和证明）．

36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，且AD＝4，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求CE的长；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．

37．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”
（1）小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；
（2）小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．

38．如图，在正方形ABCD中，P是BD上一点，AP的延长线交CD于点Q，交BC的延长线于点G，点M是GQ的中点，连接CM．求证：PC⊥MC．

39．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

40．对于长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，A点在x轴的负半轴上，C点在y轴的正半轴上，点B（m，n）在第二象限．且m，n满足+（n﹣3）2＝0
（1）求点B的坐标；并在图上画出长方形OABC；
（2）在画出的图形中，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标．




参考答案与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（　　）

A．20 B．24 C．40 D．48
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
【解答】解：由菱形对角线性质知，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，且AO⊥BO，

则AB＝＝5，
故这个菱形的周长L＝4AB＝20．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键，难度一般．
2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠AOD＝120°，AC＝6，则图中长度为3的线段有（　　）

A．2条 B．4条 C．5条 D．6条
【分析】由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝3，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝3＝CD，则可得一共有6条线段长度为3．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC＝3，AB＝CD
∵∠BOC＝120°，OA＝OB
∴∠OAB＝∠OBA＝60°
∴△AOB是等边三角形
∴AB＝AO＝3
∴CD＝3
∴一共6条线段长度为3．
故选：D．
【点评】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．
3．下面关于四边形的说法中，错误的是（　　）
A．菱形的四条边都相等
B．一组邻边垂直的平行四边形是矩形
C．对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D．矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形
【分析】根据菱形的性质判断A；根据矩形的判定判断B；根据正方形的判定判断C；根据矩形与正方形的性质判断D．
【解答】解：A、菱形的四条边都相等，正确．
B、一组邻边垂直的平行四边形是矩形，正确．
C、对角线相等且互相垂直的四边形可能是等腰梯形，可能是正方形，错误．
D、矩形是特殊的平行四边形，正方形既是特殊的矩形也是特殊的菱形，正确．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形的判定、菱形的性质、平行四边形的性质、矩形的判定与性质．就每一个选项来说都是单一知识点，是比较基础的知识，而把四个选项置于一个试题之中，它涉及到四个知识点和四种图形的联系和区别，要求学生的思维必须缜密、全面．
4．如图，点P是矩形ABCD的对角线AC上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E、F，连接PB、PD．若AE＝2，PF＝8．则图中阴影部分的面积为（　　）

A．10 B．12 C．16 D．18
【分析】想办法证明S△PEB＝S△PFD解答即可．
【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．

则有四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，
∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，
∴S△DFP＝S△PBE＝×2×8＝8，
∴S阴＝8+8＝16，
（本题也可以证明两个阴影部分的面积相等，由此解决问题）
故选：C．
【点评】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明S△PEB＝S△PFD．
5．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，且AD交EF于点O，则∠AOF为（　　）

A．60° B．90° C．100° D．110°
【分析】先根据平行四边形的判定定理得出四边形AEDF为平行四边形，再根据平行线的性质及角平分线的性质得出∠1＝∠3，故可得出?AEDF为菱形，根据菱形的性质即可得出结论．
【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF为平行四边形，
∴OA＝OD，OE＝OF，∠2＝∠3，
∵AD是△ABC的角平分线，
∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠3，
∴AE＝DE．
∴?AEDF为菱形．
∴AD⊥EF，即∠AOF＝90°．
故选：B．

【点评】本题考查的是菱形的判定与性质，根据题意判断出四边形AEDF是菱形是解答此题的关键．
6．已知菱形的一边与等腰直角三角形的直角边等长，若菱形的一个角是30°，则菱形和等腰直角三角形的面积之比为（　　）
A．1：1 B．2：3 C．1：2 D．2：1．
【分析】设菱形的边长为a，从而得到等腰直角三角形的直角边为a，根据三角函数可求得菱形边长上的高，从而可分别求得其面积，这样就不难得到其面积比．
【解答】解：设菱形的边长为a，则等腰直角三角形的面积为a2，
菱形边长上的高为a，面积等于a2，
故它们的面积比为1：1．
故选：A．
【点评】此题主要考查菱形、直角三角形30度角的性质、等腰直角三角形的性质及面积的求法，难度适中，关键是熟练掌握菱形和三角形的面积公式．
7．如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为（a，b），则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是（　　）

A．（a﹣b，a） B．（b，a） C．（a﹣b，0） D．（b，0）
【分析】如图，连接PE，点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′在x轴上，根据正方形的性质得到∠ABC＝90°，∠AEB＝90°，AE＝BE，∠EAP′＝∠EBP＝45°，由点P坐标为（a，b），得到BP＝b，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图，连接PE，点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′在x轴上，
∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∴∠AEB＝90°，AE＝BE，∠EAP′＝∠EBP＝45°，
∵点P坐标为（a，b），
∴BP＝b，
∵∠PEP′＝90°，
∴∠AEP′＝∠PEB，
在△AEP′与△BEP中，，
∴△AEP′≌△BEP（ASA），
∴AP′＝BP＝b，
∴点P′的坐标是（b，0），
故选：D．

【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，全等三角形的判定和性质，正确的理解题意是解题的关键．
8．如图，在正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE，过A作AE的垂线交ED于点P，若AE＝AP＝1，PB＝，下列结论：①△APD≌△AEB；②EB⊥ED；③PD＝，其中正确结论的序号是（　　）

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【分析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB＝∠PAD，再结合已知条件利用SAS可证两三角形全等；
②利用①中的全等，可得∠APD＝∠AEB，结合三角形的外角的性质，易得∠BEP＝90°，即可证；
③在Rt△AEP中，利用勾股定理，可得EP＝，BE＝，再依据△APD≌△AEB，即可得出PD＝BE＝．
【解答】解：∵∠EAB+∠BAP＝90°，∠PAD+∠BAP＝90°，
∴∠EAB＝∠PAD，
又∵AE＝AP，AB＝AD，
∵在△APD和△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB（SAS）；
故①成立；
∵△APD≌△AEB，
∴∠APD＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠AEP+∠BEP，∠APD＝∠AEP+∠PAE，
∴∠BEP＝∠PAE＝90°，
∴EB⊥ED；
故②成立；
在Rt△AEP中，∵AE＝AP＝1，
∴EP＝，
又∵PB＝，
∴BE＝，
∵△APD≌△AEB，
∴PD＝BE＝，
故③不成立，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质的运用、正方形的性质的运用、正方形和三角形的面积公式的运用、勾股定理的运用等知识．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为线段AB上一点，点M为边AD的中点，EM的延长线与CD的延长线交于点F，MG⊥EF，交CD于N，交BC的延长线于G，点P是MG的中点．连接EG、FG．下列结论：①当点E为边AB的中点时，S△EFG＝5；②MG＝EF；③当AE＝时，FG＝；④若点E从点A运动到点B，则此过程中点P移动的距离为2．其中正确的结论的个数为（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】当E点是AB的中点时，由条件可知AM＝AE＝1，由勾股定理求出EM＝，通过证明△AME≌△DMF，可以得出EM＝FM＝，EF＝2．过M作MQ⊥BC于Q（如图），可以得出Rt△AME∽Rt△QMG，可以求出MG＝2，最后由三角形的面积公式求出即可判断①．
作EW⊥CD于W，MQ⊥BC于Q易证△EFW和△MGQ，根据全等三角形的性质推出EF＝MG，即可判断②；
求出EM＝2，求出FM，得出MG＝EF＝4，在△FMG中根据勾股定理求出FG，即可判断③；
当E在A点时，P为正方形中心当E运动到B点时，P运动到P'，证Rt△MPP'∽Rt△EMG推出PP'＝2MP＝2，即可判断④．
【解答】解：
过M作MQ⊥BC于Q，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝2，∠A＝∠B＝90°，
∴∠A＝∠B＝∠BQM＝90°，
∴四边形ABQM数矩形，
∴MQ＝AB＝2，
∵E、M分别为AB、AD中点，
∴AE＝AM＝1，AM＝MD，
由勾股定理得：EM＝＝，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠ADF＝90°，AB∥CD，
∴∠AEM＝∠DFM，
∵在△AEM和△DFM中
，
∴△AEM≌△DFM（AAS），
∴EM＝MF＝，
∴EF＝2，
∵四边形ABQM是矩形，
∴∠AMQ＝90°，
∵∠EMG＝90°，
∴∠AME+∠EMQ＝90°，∠EMQ+∠QMG＝90°，
∴∠AME＝∠QMG，
∵在△AME和△QGM中，∠A＝∠MQG＝90°，∠AME＝∠QMG，
∴△AME∽△QMG，
∴＝＝，
∴MQ＝QG＝2，
在Rt△MQG中，由勾股定理得：MG＝2，
∴S△EFG＝EF×MG＝×2×2＝4，∴①错误；

过E作EW⊥CD于W，
∵MQ⊥BC，四边形ABCD是正方形，

∴EW＝AD＝MQ＝AB，∠MHE＝90°，
∵∠EMG＝90°，
∴∠MEG+∠EMH＝90°，∠EMH+∠GMH＝90°，
∴∠MEH＝∠QMG，
∵在△FEW和△GMQ中
，
∴△FEW≌△GMQ（ASA），
∴EF＝MG，∴②正确；
∵∠A＝90°，AM＝1，AE＝，
∴由勾股定理得：EM＝2＝FM，
∴MG＝EF＝2+2＝4，
在Rt△FMG中，由勾股定理得：FG＝＝2√5，∴③正确；

当E在A点时，P为正方形中心
当E运动到B点时，P运动到P'，
∵△ABM∽△MGB（已证），
＝＝，
∵P为MQ的中点，P′为MG中点，
∴PP′∥BC，
∴∠MPP′＝∠MQG＝90°＝∠BMG，∠MP′P＝∠MGB，
∴△MPP'∽△BMG，
∴＝＝，
∴PP'＝2MP＝2，∴④正确；
即正确的有3个．
故选：C．
【点评】本题考查了正方形性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生的推理能力和计算能力，题目综合性比较强，难度偏大，对学生提出了较高的要求．
10．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，连接GH．则线段GH的长（　　）

A． B．10﹣5 C．2 D．
【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的长．
【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，
∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，
同理可得HE＝2，
在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，
故选：C．

【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．
11．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），则菱形ABCD面积为（　　）

A．8 B．16 C．24 D．32
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AC＝4，即可解决问题；
【解答】解：连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AE＝CE＝AC，BE＝DE＝BD，
∵点B的坐标为（8，2），点D的坐标为（0，2），
∴OD＝2，BD＝8，
∴AE＝OD＝2，DE＝4，
∴AC＝4，
∴AC＝4，BD＝8，
∴S菱形ABCD＝?BD?AC＝16，
故选：B．

【点评】本题考查了菱形的性质、坐标与图形性质；熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，连接EG与FH交于点O，则图中共有菱形（　　）

A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【分析】由菱形的性质和判定，图中的菱形由：四边形AEOH，HOGD，EOFB，OFCG和ABCD，共5个．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，E，F，G，H分别是菱形四边的中点，
∴AE＝AH＝HD＝GD＝CG＝CF＝FB＝BE＝OE＝OG＝OH＝OF，
∴四边形AEOH，HOGD，EOFB，OFCG和ABCD均为菱形，共5个．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的判定：四边相等的四边形是菱形．
13．矩形ABCD中，O为AC的中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：
①△AOE≌△COF；
②△EOB≌△CMB；
③FB⊥OC，OM＝CM；
④四边形EBFD是菱形；
⑤MB：OE＝3：2
其中正确结论的个数是（　　）

A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】①由矩形的性质和全等三角形的判定方法即可证明①△AOE≌△COF；
②根据已知得出△OBF≌△CBF，可求得△OBF与△CBF关于直线BF对称，进而求得FB⊥OC，OM＝CM；
③因为△EOB≌△FOB≌△FCB，故△EOB不会全等于△CBM．
④先证得∠ABO＝∠OBF＝30°，再证得OE＝OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相平分，即可证得四边形EBFD是菱形；
⑤根据三角函数求得MB和OF的长，根据OE＝OF即可求得MB：OE的值．
【解答】解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
∵O为AC的中点，
∴AO＝CO，
在△AOE和△COF中
，
∴△AOE≌△COF，
∴①正确；
连接BD，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AC、BD互相平分，
∵O为AC中点，
∴BD也过O点，
∴OB＝OC，
∵∠COB＝60°，OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB＝BC＝OC，∠OBC＝60°，
在△OBF与△CBF中
，
∴△OBF≌△CBF（SSS），
∴△OBF与△CBF关于直线BF对称，
∴FB⊥OC，OM＝CM；
∴③正确，
∵∠OBC＝60°，
∴∠ABO＝30°，
∵△OBF≌△CBF，
∴∠OBM＝∠CBM＝30°，
∴∠ABO＝∠OBF，
∵AB∥CD，
∴∠OCF＝∠OAE，
∵OA＝OC，
易证△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，
∴OB⊥EF，
∴四边形EBFD是菱形，
∴④正确，
∵△EOB≌△FOB≌△FCB，
∴△EOB≌△CMB错误．
∴②错误，
∵∠OMB＝∠BOF＝90°，∠OBF＝30°，
∴MB＝，OF＝，
∵OE＝OF，
∴MB：OE＝3：2，
∴⑤正确；
综上可知其中正确结论的个数是4个，
故选：B．


【点评】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定和性质．全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，在△ABC中，点D是边BC上的点（与B、C两点不重合），过点D作DE∥AC，DF∥AB，分别交AB、AC于E、F两点，下列说法正确的是（　　）

A．若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形
B．若BD＝CD，则四边形AEDF是菱形
C．若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是矩形
D．若AD⊥BC，则四边形AEDF是矩形
【分析】由矩形的判定和菱形的判定即可得出结论．
【解答】解：A、若AD平分∠BAC，则四边形AEDF是菱形；正确；
B、若BD＝CD，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是菱形；错误；
C、若AD垂直平分BC，则四边形AEDF是菱形，不一定是矩形；错误；
D、若AD⊥BC，则四边形AEDF是平行四边形，不一定是矩形；错误；
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的判定、菱形的判定；熟记菱形和矩形的判定方法是解决问题的关键．
15．如图，将矩形ABCD折叠，AE是折痕，点D恰好落在BC边上的点F处，量得∠BAF＝50°，那么∠DEA等于（　　）

A．40° B．50° C．60° D．70°
【分析】易求得∠DAF的度数，进而根据折叠得到∠DAE度数，利用三角形内角和定理可得所求的角的度数．
【解答】解：根据矩形的性质，得∠BAD＝90°．∴∠DAF＝90°﹣50°＝40°．
根据折叠，知∠DAE＝∠EAF＝20°．∴∠DEA＝90°﹣20°＝70°．
故选：D．
【点评】运用了矩形的四个角都是直角以及直角三角形的两个锐角互余的性质．
二．填空题（共10小题）
16．在正方形ABCD中，∠CBF＝25°，BF交对角线AC于E点，则∠AED＝　70°　．

【分析】根据正方形是轴对称图形，利用轴对称图形的性质即可解决问题；
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴直线AC是对称轴，∠ACB＝45°，
∴∠AED＝∠AEB，
∵∠AEB＝∠EBC+∠ACB＝25°+45°＝70°，
∴∠AED＝70°，
故答案为70°
【点评】本题考查正方形的性质、轴对称图形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
17．矩形ABCD中，AB＝20，BC＝6，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为10的等腰三角形，则线段BP的长为　6或2或6　
【分析】首先根据题意画出图形，共分3种情况，画出图形后根据勾股定理即可算出DP的长．
【解答】解：（1）如图1，当AE＝EP＝10时，
过P作PM⊥AB，
∴∠PMB＝90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴四边形BCPM是矩形，
∴PM＝BC＝6，
∵PE＝10，
∴EM＝＝8
∵E是AB中点，
∴BE＝10，
∴BM＝2，
∴PB＝＝2；

（2）如图2，当AE＝AP＝5＝10时，DP＝8，CP＝12，PB＝＝6，

（3）如图3，当AE＝EP＝10时，
过P作PF⊥AB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠DAB＝90°，
∴四边形BCPF是矩形，
∴PF＝AD＝6，
∵PE＝10，
∴EF＝8
∵E是AB中点，
∴AE＝10，BF＝18，PB＝＝6，
故答案为：6或2或6．

【点评】此题主要考查了勾股定理的运用，以及矩形的判定，关键是考虑各种情况，正确画出图形．
18．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是线段BO上的一个动点，点F为射线DC上一点，若∠ABC＝60°，∠AEF＝120°，AB＝4，则EF可能的整数值是　2，3，4　．

【分析】连结CE，根据菱形的性质和全等三角形的判定可得△ABE≌△CBE，根据全等三角形的性质可得AE＝CE，设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，可得∠ECF＝∠EFC，根据等角对等边可得CE＝EF，从而得到AE＝EF，在Rt△ABO中，根据含30°的直角三角形的性质得到AO＝2，可得2≤AE≤4，从而得到EF的长的整数值可能是2，3，4．
【解答】解：如图，连结CE，
∵在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠CBE＝30°，BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE，
∴AE＝CE，
设∠OCE＝a，∠OAE＝a，∠AEO＝90°﹣a，
∴∠DEF＝120°﹣（90°﹣a）＝30°+a，
∴∠EFC＝∠CDE+∠DEF＝30°+30°+a＝60°+a，
∵∠ECF＝∠DCO+∠OCE＝60°+a，
∴∠ECF＝∠EFC，
∴CE＝EF，
∴AE＝EF，
∵AB＝4，∠ABE＝30°，
∴在Rt△ABO中，AO＝2，
∵OA≤AE≤AB，
∴2≤AE≤4，
∴AE的长的整数值可能是2，3，4，即EF的长的整数值可能是2，3，4．
故答案为：2，3，4．

【点评】考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边，根据含30°的直角三角形的性质，解题的关键是添加辅助线，证明△ABE≌△CBE．
19．如图，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，EG⊥AD，EF⊥CD，BE的延长线与FG交于点H，若∠ABE＝15°，则的值为　4　．

【分析】由正方形的对称性得BE＝DE，由矩形EFDG的性质得：OE＝OF＝OD，证明∠EOH＝30°，∠OEH＝60°，所以∠EHO＝90°，得OE＝2EH，代入可得结论．
【解答】解：连接ED，交FG于O，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BE＝DE，∠BAE＝45°，
∵∠ABE＝15°，
∴∠BEC＝∠CED＝60°，
∴∠DEH＝60°，
∵EG⊥AD，EF⊥CD，
∴∠EGD＝∠GDF＝∠EFD＝90°，
∴四边形EFDG是矩形，
∴OE＝OD＝OF，
∴∠OEF＝∠OFE＝15°，
∴∠EOH＝30°，
∴∠EHO＝90°，
∴OE＝2EH，
∴BE＝ED＝2OE＝4EH，
∴＝4，
故答案为：4．

【点评】本题考查了正方形的性质、矩形的判定、外角的性质、直角三角形30°角的性质及正方形的对称性，本题有难度，证明∠EHO＝90°是关键．
20．如图，已知正方形ABCD，点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，△CBE由△DAM平移得到．若过点E作EH⊥AC，H为垂足，则有以下结论：①点M位置变化，使得∠DHC＝60°时，2BE＝DM；②无论点M运动到何处，都有DM＝HM；③无论点M运动到何处，∠CHM一定大于135°．其中正确结论的序号为　①②③　．

【分析】先判定△MEH≌△DAH，即可得到△DHM是等腰直角三角形，进而得出DM＝HM；依据当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，即可得到Rt△ADM中，DM＝2AM，即可得到DM＝2BE；依据点M是边BA延长线上的动点，且AM＜AB，可得∠AHM＜∠BAC＝45°，即可得出∠CHM＞135°．
【解答】解：由题可得，AM＝BE，
∴AB＝EM＝AD，
∵四边形ABCD是正方形，EH⊥AC，
∴EM＝AD，∠AHE＝90°，∠MEH＝∠DAH＝45°＝∠EAH，
∴EH＝AH，
∴△MEH≌△DAH（SAS），
∴∠MHE＝∠DHA，MH＝DH，
∴∠MHD＝∠AHE＝90°，△DHM是等腰直角三角形，
∴DM＝HM，故②正确；
当∠DHC＝60°时，∠ADH＝60°﹣45°＝15°，
∴∠ADM＝45°﹣15°＝30°，
∴Rt△ADM中，DM＝2AM，
即DM＝2BE，故①正确；
∵点M是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AM＜AB，
∴∠AHM＜∠BAC＝45°，
∴∠CHM＞135°，故③正确；
故答案为：①②③．

【点评】本题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定与性质的综合运用，掌握正方形的性质、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
21．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC和DC上，连接AE、BF，AE⊥BF，点M、N分别在边AB、DC上，连接MN，若MN∥BC，FN＝1，BE＝2，则BM＝　1或3　．

【分析】根据正方形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得∠AOB的度数，根据同角的余角相等可得∠BAO＝∠CBF，根据ASA，可得△ABE≌△BCF，得BE＝CF＝2，分情况讨论，证明四边形MBCN是平行四边形，则BM＝CN，根据两图形可得BM的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC．
∵AE⊥BF，
∴∠AOB＝∠BAO+∠ABO＝90°，
∵∠ABO+∠CBF＝90°，
∴∠BAO＝∠CBF．
在△ABE和△BCF中，
，
∴△ABE≌△BCF（ASA），
∴BE＝CF＝2，
∵MN∥BC，AB∥CD，
∴四边形MBCN是平行四边形，
∴BM＝CN，
①当N在F的上方时，如图1，
∴BM＝CN＝CF+FN＝2+1＝3，
②当N在F的下方时，如图2，
∴BM＝CN＝CF﹣FN＝2﹣1＝1，
∴BM的长为1或3，
故答案为：1或3．


【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，并注意N的位置，分类讨论，容易丢解．
22．如图，在正方形ABCD中，AB＝，AG＝CH＝3，BG＝DH＝2，则H、G两点之间的距离为　　．

【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝1、HE＝CH﹣CE＝1、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的长．
【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，
∵AB＝CD＝，BG＝DH＝2，AG＝CH＝3，
∴AG2+BG2＝AB2，
∴△ABG和△DCH是直角三角形，
在△ABG和△CDH中，
，
∴△ABG≌△CDH（SSS），
∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°，
∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，
又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，
∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，
在△ABG和△BCE中，
，
∴△ABG≌△BCE（ASA），
∴BE＝AG＝3，CE＝BG＝2，∠BEC＝∠AGB＝90°，
∴GE＝BE﹣BG＝1，
同理可得HE＝1，
在Rt△GHE中，GH＝＝＝，
故答案为：．

【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键．
23．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．
（Ⅰ）请写出图中一对全等的三角形　Rt△ADE≌Rt△AFE　（写出一对即可）．
（Ⅱ）有下列结论：
①BG＝GC；②AG∥CF；③S△FGC＝3；④图中与∠AGB相等的角有5个．
其中，正确结论的序号是　①②　（把你认为正确结论的序号都填上）．

【分析】（Ⅰ）根据翻折的性质可得AF＝AD，∠AFE＝90°，然后利用“HL”证明Rt△ADE和Rt△AFE全等（或Rt△ABG和Rt△AFG全等）；
（Ⅱ）先求出DE、CE的长，从而得到EF，设BG＝x，然后表示出GF，再求出CG、EG的长，然后在Rt△CEG中，利用勾股定理列式求出x的值，从而得到BG＝CG，判定①正确；再根据等边对等角的性质得到∠GCF＝∠GFC，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠GCF+∠GFC＝∠AGB+∠AGF，从而求出∠GCF＝∠AGB，根据同位角相等，两直线平行即可证明AG∥CF，判定②正确；先求出△CEG的面积，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出△FGC的面积为3.6，判定③错误；找出与∠AGB相等的角只有4个，判定④错误．
【解答】解：（Ⅰ）∵△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AF＝AD，∠AFE＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AF，
在Rt△ADE和Rt△AFE中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△AFE（HL），
[或在Rt△ABG和Rt△AFG中，
∵，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）；]

（Ⅱ）∵CD＝3DE，正方形ABCD的边长AB＝6，
∴DE＝×6＝2，CE＝CD﹣DE＝6﹣2＝4，
∴EF＝DE＝2，
∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴设FG＝BG＝x，
则EG＝x+2，CG＝BC﹣BG＝6﹣x，
在Rt△CEG中，EG2＝CG2+CE2，
即（x+2）2＝（6﹣x）2+42，
整理得，16x＝48，
解得x＝3，
∴CG＝6﹣x＝6﹣3＝3，
∴BG＝CG，故①正确；
∵FG＝CG＝3，
∴∠GCF＝∠GFC，
又∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴∠AGB＝∠AGF，
根据三角形的外角性质，∠GCF+∠GFC＝∠AGB+∠AGF，
∴∠GCF＝∠AGB，
∴AG∥CF，故②正确；
△CEG的面积＝CE?CG＝×4×3＝6，
∵EF＝2，FG＝3，
∴S△FGC＝×6＝3.6，故③错误；
与∠AGB相等的角有∠AGF、∠GCF、∠GFC、∠GAD共4个，故④错误；
综上所述，正确的结论有①②．
故答案为：Rt△ADE≌Rt△AFE；①②．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折变换的性质，勾股定理的应用，平行线的判定，以及等高的三角形的面积的比等于对应底边的比的应用，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．
24．如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC＝∠BEF＝60°，则＝　　．

【分析】延长GP交CD于M，如图，根据菱形的性质得GF∥CD，∠BCD＝120°，CD＝CB，GB＝GF，则利用平行线的性质得∠PDM＝∠PFG，于是可判断△PDM≌△PFG，所以MD＝GF，PM＝PG，接着证明CM＝CG，则根据等腰三角形的性质有CP⊥MG，CP平分∠MCG，所以∠PGC＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求解．
【解答】解：延长GP交CD于M，如图，
∵四边形ABCD和BEFG为菱形，点A、B、E在同一直线上，
∴GF∥CD，∠BCD＝120°，CD＝CB，GB＝GF，
∴∠PDM＝∠PFG，
在△PDM和△PFG中，
，
∴△PDM≌△PFG，
∴MD＝GF，PM＝PG，
∴MD＝GB，
∴CM＝CG，
∵PM＝PG，
∴CP⊥MG，CP平分∠MCG，
∴∠PCG＝60°，
∴∠PGC＝30°，
∴＝．
故答案为．

【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质．
25．已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）判断四边形MENF是什么特殊四边形，并证明你的结论；
（3）当AD：AB＝　2：1　时，四边形MENF是正方形（只写结论，不需证明）

【分析】（1）求出AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，AM＝DM，根据全等三角形的判定定理推出即可；
（2）根据三角形中位线定理求出NE∥MF，NE＝MF，得出平行四边形，求出BM＝CM，推出ME＝MF，根据菱形的判定推出即可；
（3）求出∠EMF＝90°，根据正方形的判定推出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM，

∴△ABM≌△DCM（SAS）；

（2）答：四边形MENF是菱形．
证明：∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，
∴NE＝FM，NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，
由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；

（3）解：当四边形MENF是正方形正方形时，则∠EMF＝90°，
∵△ABM≌△DCM，
∴∠AMB＝∠DMC＝45°，
∴△ABM、△DCM为等腰直角三角形，
∴AM＝DM＝AB，
∴AD＝2AB，
当AD：AB＝2：1时，四边形MENF是正方形．
故答案为：2：1．

【点评】本题考查了正三角形的中位线，矩形的性质，全等三角形的性质和判定，菱形、平行四边形、正方形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
三．解答题（共15小题）
26．已知：在平行四边形ABCD中，点O是边AD的中点，连接CO并延长交BA延长线于点E，连接ED、AC．
（1）如图1，求证：四边形AEDC是平行四边形；
（2）如图2，若四边形AEDC是矩形，请探究∠COD与∠B的数量关系，写出你的探究结论，并加以证明．

【分析】（1）由题意可证△AEO≌△DCO，可得AE＝CD，且AE∥CD，则四边形AEDC是平行四边形；
（2）由矩形的性质可得OC＝OD＝OA＝OE，可得∠ADC＝∠OCD，根据三角形内角和为180°，可得∠COD与∠B的数量关系．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD
∴∠BEC＝∠DCE
∵点O是边AD的中点
∴AO＝DO，且∠BEC＝∠DCE，∠AOE＝∠DOC
∴△AEO≌△DCO（AAS）
∴AE＝CD
∵AE∥DC，AE＝CD
∴四边形AEDC是平行四边形
（2）∠COD＝180°﹣2∠B
理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴∠B＝∠ADC
∵四边形AEDC是矩形
∴AO＝EO＝CO＝DO
∴∠ADC＝∠OCD
∵∠ADC+∠OCD+∠COD＝180°
∴∠COD＝180°﹣2∠ADC＝180°﹣2∠B
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质和判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
27．如图，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形：△ABD，△BCE，△ACF，请解答下列问题：
（1）求证：四边形AFED是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AFED是菱形？
（4）对于任意△ABC，?AFED是否总存在？

【分析】（1）当一个图中出现2个等边三角形时就可以找出一对全等三角形，可得出一对对边相等，进而往四边形ADEF是平行四边形方面进行证明．
（2）四边形ADEF是矩形，那么它的每个内角是90°，那么可利用在点A处组成的周角算出∠BAC的度数．
（3）AB＝AC，根据菱形的判定推出即可；
（4）当∠BAC＝60°时四边形不存在．
【解答】（1）证明：四边形ADEF是平行四边形．
理由：∵△ABD，△BEC都是等边三角形，
∴BD＝AB，BE＝BC，∠DBA＝∠EBC＝60°，
∴∠DBE＝60°﹣∠EBA，∠ABC＝60°﹣∠EBA，
∴∠DBE＝∠ABC，
∴△DBE≌△ABC，
∴DE＝AC，
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴DE＝AF．
同理可得：△ABC≌△FEC，即EF＝AB＝DA．
∵DE＝AF，DA＝EF，
∴四边形ADEF为平行四边形；

（2）解：若四边形ADEF为矩形，则∠DAF＝90°，
∵∠DAB＝∠FAC＝60°，
∴∠BAC＝360°﹣∠DAB﹣∠FAC﹣∠DAF＝360°﹣60°﹣60°﹣90°＝150°，
∴当△ABC满足∠BAC＝150°时，四边形ADEF是矩形；

（3）解：当∠BAC≠60°且AB＝AC时，四边形AFED是菱形，
∵此时AB＝AC＝AF＝AD，四边形AFED是平行四边形，
∴四边形AFED是菱形；

（4）解：当∠BAC＝60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．

【点评】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，等边三角形的性质的应用，本题主要应用的知识点为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，一个角是直角的平行四边形是矩形．
28．“三等分一个任意角”是数学史上一个著名问题，今天人们已经知道，仅用圆规直尺是不可能做出的．在探索中，有人曾利用过如图所示的图形，其中，ABCD是长方形（AD∥CB），F是DA延长线上一点，G 是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠F，你能证明∠ECB＝∠ACB吗？

【分析】由矩形的对边平行可得∠F＝∠ECB，由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC＝2∠F，那么∠ACF＝2∠ECB，所以∠ECB＝∠ACB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠ECB，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F
＝2∠ECB，
∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝3∠ECB，
∴∠ECB＝∠ACB．
【点评】考查了矩形的性质，用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
29．如图，矩形ABCD中，CE⊥BD于E，CF平分∠DCE与DB交于点F．
（1）求证：BF＝BC；
（2）若AB＝4cm，AD＝3cm，求CF的长．

【分析】（1）要求证：BF＝BC只要证明∠CFB＝∠FCB就可以，从而转化为证明∠BCE＝∠BDC就可以；
（2）已知AB＝4cm，AD＝3cm，就是已知BC＝BF＝3cm，CD＝4cm，在直角△BCD中，根据三角形的面积等于BD?CE＝BC?DC，就可以求出CE的长．要求CF的长，可以在直角△CEF中用勾股定理求得．其中EF＝BF﹣BE，BE在直角△BCE中根据勾股定理就可以求出，由此解决问题．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，
∴∠CDB+∠DBC＝90°．
∵CE⊥BD，∴∠DBC+∠ECB＝90°．
∴∠ECB＝∠CDB．
∵∠CFB＝∠CDB+∠DCF，∠BCF＝∠ECB+∠ECF，∠DCF＝∠ECF，
∴∠CFB＝∠BCF
∴BF＝BC
（2）∵四边形ABCD是矩形，∴DC＝AB＝4（cm），BC＝AD＝3（cm）．
在Rt△BCD中，由勾股定理得BD＝＝5．
又∵BD?CE＝BC?DC，
∴CE＝．
∴BE＝．
∴EF＝BF﹣BE＝3﹣．
∴CF＝cm．
【点评】本题考查矩形的判定与性质，等腰三角形的判定定理，等角对等边，以及勾股定理，三角形面积计算公式的运用，灵活运用已知，理清思路，解决问题．
30．如图，DE是平行四边形ABCD中∠ADC的角平分线，EF∥AD交DC于F．

（1）如图1，求证：四边形AEFD是菱形；
（2）如图2，连接FB，FB⊥AB，若∠DAB＝60°，FC＝2，请直接写出所有长度为4的线段．
【分析】（1）由题意可证四边形AEFD是平行四边形，由DE平分∠ADC，可得∠ADE＝∠FDE＝∠AED，可得AD＝AE，即可证四边形AEFD是菱形；
（2）由题意可得∠C＝DAB＝60°，可求BC＝4，根据平行四边形的性质和菱形的性质可得AD＝DF＝AE＝EF＝BC＝4．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴DF∥AE，AD＝BC
∵EF∥AD，DF∥AE
∴四边形AEFD是平行四边形
∵DE平分∠ADC
∴∠ADE＝∠FDE
∵DF∥AE
∴∠FDE＝∠AED
∴∠ADE＝∠AED
∴AD＝AE且四边形AEFD是平行四边形
∴四边形AEFD是菱形
（2）∵FB⊥AB，DC∥AB
∴∠BFC＝90°
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠DAB＝∠C，且∠DAB＝60°
∴∠C＝60°
∴∠FBC＝30°
∴BC＝2FC＝4
∴AD＝BC＝4
∵四边形AEFD是菱形
∴AD＝DF＝EF＝AE＝4
∴长度为4的线段有：AD，DF，EF，AE，BC
【点评】本题菱形的性质和判定，平行四边形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．
31．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作BD∥AB，并交AB的延长线相交于点E，则△ACE是等腰三角形吗？请说明理由．

【分析】根据矩形的性质求出AC＝BD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出四边形DCEB是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AC＝CE即可．
【解答】解：△ACE是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，CD∥AB，
即DC∥BE，
∵BD∥CE，
∴四边形DCEB是平行四边形，
∴BD＝CE，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰三角形．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AC＝BD和得出四边形DCEB是平行四边形，注意：矩形的对角线相等，矩形的对边平行．
32．如图，在?ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，BD是对角线．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若∠ADB是直角，请证明四边形BEDF是菱形．

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，即可得AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，又由E、F分别为边AB、CD的中点，可证得AE＝CF，然后由SAS，即可判定△ADE≌△CBF．
（2）利用平行四边形的性质结合平行四边形的判定与性质得出四边形DEBF为平行四边形，进而得出BF＝DC＝DF，再利用菱形的判定方法，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE＝AB，CF＝CD，
∴AE＝CF，
在△ADE和△CBF中，
∵，
∴△ADE≌△CBF（SAS）．

（2）证明：∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF＝DC，BE＝AB，
又∵在?ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，
∴DF∥BE，DF＝BE，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∵DB⊥BC，
∴∠DBC＝90°，
∴△DBC为直角三角形，
又∵F为边DC的中点，
∴BF＝DC＝DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．

【点评】本题考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、直角三角形斜边中线性质等知识，正确得出四边形DEBF为平行四边形是解题关键，属于中考常考题型．
33．如图，正方形ABCD中，E为BC边上一点，F为BA延长线上一点，且CE＝AF．连接DE、DF．求证：DE＝DF．

【分析】根据正方形的性质可得AD＝CD，∠BAD＝∠C＝90°，然后求出∠DAF＝∠C，再利用“边角边”证明△ADF和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：在正方形ABCD中，∵AD＝CD，∠BAD＝∠C＝90°，
∴∠DAF＝90°，
∴∠DAF＝∠C，
在△ADF和△CDE中，，
∴△ADF≌△CDE（SAS），
∴DE＝DF．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并准确识图确定出三角形全等的条件是解题的关键．
34．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
（1）若点F是AD的中点，求证：MD＝MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）要证MD＝MN，就要构建△DFM≌△MBN，只需取AD的中点F，连接FM，依据正方形的性质可证△DFM≌△MBN，进而得出DM＝MN．
（2）只需在AD上截取AF'＝AM，其证法与（1）相同．
【解答】解：（1）如图，取AD的中点F，连接FM．
∵∠FDM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠FDM＝∠BMN，
∵AF＝AD＝AB＝AM＝MB＝DF，
∵BN平分∠CBE，即∠NBE＝∠CBE＝45°，
又∵AM＝AF，
∴∠AFM＝45°，
∴∠DFM＝∠MBN＝135°．
∵DF＝MB，
在△DFM和△MBN中
，
∴△DFM≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．
（2）结论“DM＝MN”仍成立．
证明如下：如图，在AD上截取AF'＝AM，连接F'M．
∵DF'＝AD﹣AF'，MB＝AB﹣AM，AD＝AB，AF'＝AM，
∴DF'＝MB．
∵∠F'DM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠F'DM＝∠BMN．
又∠DF'M＝∠MBN＝135°，
在△DF'M和△MBN中
，
∴△DF'M≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．


【点评】本题综合考查了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
35．已知菱形ABCD中，∠A＝72°，请你用两种把该菱形分成四个等腰三角形，并标出每个等腰三角形的顶角度数（要求在图中直接画出图形，不要求写作法和证明）．

【分析】根据菱形的性质以及等腰三角形的性质即可得出分割方法．
【解答】解：如图所示：

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质，根据角的特殊性得出分割方法，注意保证每一个三角形都符合要求是解决问题的关键．
36．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，且AD＝4，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD、BE．
（1）求CE的长；
（2）当D在AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由．

【分析】（1）先求出四边形ADEC是平行四边形，根据平行四边形的性质推出即可；
（2）求出四边形BECD是平行四边形，求出CD＝BD，根据菱形的判定推出即可；
【解答】（1）解：∵DE⊥BC，
∴∠DFB＝90°
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠DFB
∴AC∥DE，
又∵MN∥AB，
即CE∥AD，
∴四边形ADEC是平行四边形．
∴CE＝AD
∵AD＝4
∴CE＝4；

（2）解：四边形BECD是菱形，理由：
∵D为AB中点，
∴AD＝BD
又由（1）得CE＝AD，
∴BD＝CE，
又∵BD∥CE，
∴四边形BECD是平行四边形
∵∠ACB＝90°，D为AB中点，
∴CD＝BD
∴四边形BECD是菱形．
【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，直角三角形的性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
37．小明在研究正方形的有关问题时发现有这样一道题：“如图①，在正方形ABCD中，点E是CD的中点，点F是BC边上的一点，且∠FAE＝∠EAD．你能够得出什么样的正确的结论？”
（1）小明经过研究发现：EF⊥AE．请你对小明所发现的结论加以证明；
（2）小明之后又继续对问题进行研究，将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四边形”（如图②、图③、图④），其它条件均不变，认为仍然有“EF⊥AE”．你同意小明的观点吗？若你同意小明的观点，请取图③为例加以证明；若你不同意小明的观点，请说明理由．

【分析】（1）延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
（2）同（1），延长AE交BC的延长线与点M，要证明EF⊥AE，只要证明△AFM是等腰三角形，再证明E是AM的中点就可以证得．
【解答】（1）证明：如图①，延长AE交BC的延长线与点M．
∵在正方形ABCD中，AD∥BC，∠FAE＝∠EAD，
∴∠DAM＝∠M，
又∵DE＝EC，∠AED＝∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE＝EM，∠EAD＝∠FAE＝∠M，
∴AF＝FM，
∴FE⊥AE．

（2）解：EF⊥AE仍然成立．理由如下：
如图③，延长AE交BC的延长线与点M，
∵在菱形ABCD中，AD∥BC，∠FAE＝∠EAD，
∴∠DAM＝∠M，
又∵DE＝EC，∠AED＝∠MEC，
∴△AED≌△MEC，
∴AE＝EM，∠EAD＝∠FAE＝∠M，
∴AF＝FM，
∴FE⊥AE．


【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质：三线合一定理，把证明垂直的问题转化为证明等腰三角形底边上的中线的问题．
38．如图，在正方形ABCD中，P是BD上一点，AP的延长线交CD于点Q，交BC的延长线于点G，点M是GQ的中点，连接CM．求证：PC⊥MC．

【分析】根据正方形的性质可得出∠ADP＝∠CDP、AD＝CD，结合DP＝DP即可证出△ADP≌△CDP（SAS），根据全等三角形的性质可得出∠DCP＝∠DAG，由AD∥BG可得出∠DAG＝∠G，进而得出∠DCP＝∠G，由直角三角形斜边上中线等于斜边的一半可得出∠MCQ＝∠MQC，再结合∠G、∠MQC互余，即可证出∠DCP+∠MCQ＝90°，即PC⊥MC．
【解答】证明：∵BD为正方形ABCD的对角线，
∴∠ADP＝∠CDP，AD＝CD．
在△ADP和△CDP中，，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴∠DCP＝∠DAG．
又∵四边形ABCD为正方形，
∴AD∥BG，
∴∠DAG＝∠G．
∴∠DCP＝∠G．
又∵∠QCG＝90°，M为GQ中点，
∴CM＝QM，
∴∠MCQ＝∠MQC．
又∵∠G+∠MQC＝90°，
∴∠DCP+∠MCQ＝90°，
∴PC⊥MC．

【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角形内角和定理，根据正方形的性质、全等三角形的性质以及三角形内角和定理找出∠DCP+∠MCQ＝90°是解题的关键．
39．如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，BC＝6cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是1cm/s．连接PQ、AQ、CP．设点P、Q运动的时间为ts．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形；
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形；
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．

【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ＝AP，据此求得t的值；
（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ＝AC，列方程求得运动的时间t；
（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长＝4t，面积＝矩形的面积﹣2个直角三角形的面积．
【解答】解：（1）由已知可得，BQ＝DP＝t，AP＝CQ＝6﹣t
在矩形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，
当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形，
∴t＝6﹣t，得t＝3
故当t＝3s时，四边形ABQP为矩形．
（2）由（1）可知，四边形AQCP为平行四边形
∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形
即时，四边形AQCP为菱形，解得t＝，
故当t＝s时，四边形AQCP为菱形．
（3）当t＝时，AQ＝，CQ＝，
则周长为：4AQ＝4×＝15cm
面积为：．
【点评】本题考查了菱形、矩形的判定与性质．解决此题注意结合方程的思想解题．
40．对于长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，A点在x轴的负半轴上，C点在y轴的正半轴上，点B（m，n）在第二象限．且m，n满足+（n﹣3）2＝0
（1）求点B的坐标；并在图上画出长方形OABC；
（2）在画出的图形中，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标．

【分析】（1）以及非负数的性质，即可得到m＝﹣5，n＝3，进而得出B（﹣5，3）；
（2）分两种情况讨论：点P在OA上，点P在OC上，分别依据直线BP将长方形OABC的面积分为1：4两部分，得到点P的坐标．
【解答】解：（1）∵m，n满足+（n﹣3）2＝0，
∴m＝﹣5，n＝3，
∴B（﹣5，3），
长方形OABC如图所示，

（2）当点P在OA上时，设P（x，0）（x＜0），

∵S△ABP：S四边形BCOP＝1：4，
∴S△ABP＝S矩形OABC，
即×3×（5+x）＝×3×5，
解得x＝﹣3，
∴P（﹣3，0）；
当点P在OC上时，设P（0，y）（y＞0），

∵S△CBP：S四边形BPOA＝1：4，
∴S△CBP＝S矩形OABC，
即×5×（3﹣y）＝×3×5，
解得y＝，
∴P（0，）．
【点评】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，当几个非负数的和为0时，则其中的每一项都必须等于0，难点在于（2）要分情况讨论．
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