第五章 特殊平行四边形解答题精选（含解析）

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第五章特殊平行四边形解答题精选
题号 一 总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上
评卷人 得 分

解答题（共40小题）
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4cm，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，△BPE与△CQP全等？此时点Q的运动速度为多少？

2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作BD∥AB，并交AB的延长线相交于点E，则△ACE是等腰三角形吗？请说明理由．

4．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？
②AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？

5．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P，求证：四边形CODP是菱形．

6．如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？
（3）若四边形AECF是矩形，则四边形ABCD是矩形吗？不必写出理由．

7．“三等分一个角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的，在探索中，有人曾利用过如下的图形：其中，ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠GFA，你能证明∠ECB＝∠ACB吗？

8．在菱形ABCD中以B为顶点作等腰△BEF，已知∠EBF+∠ABC＝180°．

（1）如图1，当BF与BD重合时，点E在AD边上已知∠A＝30°，AE＝6，求BE的长．
（2）如图2，连接AF、CE，BE与AF于点G．若G为AF中点，求证：CE＝2BG．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P在边AD上以每秒2个单位的速度从A出发，沿AD向D运动，同时动点Q在边BD上以每秒5个单位的速度从D出发，沿DB向B运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：当某一时刻t，使得t＝1时，P、Q两点间的距离PQ＝　 　；
（2）是否存在以P、D、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

10．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝10，BF＝24，CE＝7，求四边形ABCD的面积．

11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．

12．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．
（1）求四边形PBCQ的面积；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？

13．已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE＝BF＝DH＝DG．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）已知∠B＝60°，AB＝6．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择　 　题．
A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是　 　．
B题：当BE＝　 　时，矩形EFGH的面积是8．

14．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE，求证：AF＝AD+CF．

15．如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长．

16．（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．
（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，求S六边形DEFGHI．

17．如图，将一张边长为8cm，一角为72°的菱形纸片，剪三剪，用四种不同的剪法（剪得的四个等腰三角形一致，视为同一剪法）使之成四个等腰三角形纸片，并写出每个等腰三角形的顶角度数．

18．如图，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）请直接写出与△CED面积相等的三角形．

19．如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF．∠AEF、∠CF的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．求证：四边形EGFH是矩形．

20．在正方形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E、F分别是边CD、BC上的中点，点P是一动点．记∠DEP＝∠1，∠BFP＝∠2，∠EPF＝∠α．

（1）如图1，若点P运动到线段AD中点时，∠α＝　 　，∠1+∠2＝　 　．
（2）如图2，若点P在线段AD上运动时，∠1、∠2和∠α之间有何关系？
（3）当点P在直线AD上（在线段AD之外且PE与PF不重合）运动时，∠1、∠2和∠α之间又有何关系？说明理由．
21．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，AE∥BD，BE∥AC．
（1）如图1，求证：四边形AEBO是菱形；
（2）如图2，当∠ADB＝30°，连接CE交BD于点F，连接AF，若BE＝2，求AF的长度．

22．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
（1）若点F是AD的中点，求证：MD＝MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

23．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A，C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标；
（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，求点D的坐标；
（3）若过点C的直线CE交AB边于点E，且把长方形OABC的面积分为2：1两部分，求点E的坐标．

24．如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，连接BF．
（1）判断并证明四边形AFBD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形，证明你的结论．

25．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠GCE＝90°．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）求证：BG⊥DE．

26．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，若AB＝6，BC＝8．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）求图中阴影部分的面积．

27．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；
（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．

28．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在y轴正半轴上，顶点A的坐标为（0，2），设顶点C的坐标为（a，b）．
（1）顶点B的坐标为　 　，顶点D的坐标为　 　（用a或b表示）；
（2）如果将一个点的横坐标作为x的值，纵坐标作为y的值，代入方程2x+3y＝12成立，就说这个点的坐标是方程2x+3y＝12的解．已知顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG，
①这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移　 　个单位长度，再向下平移　 　个单位长度的两次平移；
②若点P（m，n）是对角线BD上的一点，且点P的坐标是方程2x+3y＝12的解，试说明平移后点P的对应点P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解．

29．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．

30．如图，在长方形ABCD中，AB：BC＝3：4，AC＝5，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t秒．
（1）求AB与BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△CDP为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结BF．
（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；
（2）当D为边BC的中点，且BC＝2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．

32．已知：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交ME于O，交CD于N．求证：四边形AMNE是菱形．

33．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G．
（1）求证：四边形AQPE是菱形．
（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半．

34．如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，BE⊥DF，垂足为E，BE交CD于点G．
（1）求证：BG＝DF；
（2）求证：EF+EG＝CE．

35．长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA＝5，OC＝3，点B在第三象限．
（1）求点B的坐标；
（2）如图，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标．

36．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

37．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

38．在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．
经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．
请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．
（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

39．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．

40．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．

（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC；
（3）若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．



参考答案与试题解析
一．解答题（共40小题）
1．如图，在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝10cm，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，点E在边AB上，且AE＝4cm，如果点P在线段BC上以2cm/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．设运动时间为t秒．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过2秒后，△BPE与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，则当t为何值时，△BPE与△CQP全等？此时点Q的运动速度为多少？

【分析】（1）由题意可得BP＝CQ，BE＝CP，由“SAS”可证△BPE≌△CQP；
（2）由全等三角形的性质可得BP＝CP＝5，BE＝CQ＝6，即可求点Q的速度．
【解答】解：（1）全等．
理由：由题意：BP＝CQ＝2t
当t＝2时，BP＝CQ＝4
∵AB＝BC＝10，AE＝4
∴BE＝CP＝10﹣4＝6
∵BP＝CQ，∠B＝∠C＝90°，BE＝CP
∴△BPE≌△CQP （SAS）
（2）∵P、Q运动速度不相等
∴BP≠CQ
∵∠B＝∠C＝90°
∴当BP＝CP，CQ＝BE时，△BPE≌△CQP
∴BP＝CP＝BC＝5，CQ＝BE＝6
∴当t＝5÷2＝（秒）时，△BPE≌△CQP
此时点Q的运动速度为6÷＝（cm/s）
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的性质解决问题是本题的关键．
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以OC，OD为邻边作平行四边形OCED，连接OE．
（1）求证：四边形OBCE是平行四边形；
（2）连接BE交AC于点F．若AB＝2，∠AOB＝60°，求BF的长．
【分析】（1）根据矩形的性质得出OA＝OB＝OC＝OD，再根据平行四边形的性质和菱形的判定得到四边形OCED为菱形，再根据菱形的性质和推平行四边形的判定出即可；
（2）过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，根据平行线的判定得到ON∥FM，再根据三角形中位线定理得到ON＝1，FM＝，可得∠ACB＝30°，在 Rt△ABC中，根据含30°的直角三角形的性质可得BC＝2，CM＝，进一步得到BM＝BC﹣CM＝，根据勾股定理可得BF的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵四边形OCED是平行四边形，
∴四边形OCED为菱形，
∴CE∥OB，CE＝OB，
∴四边形OBCE为平行四边形；
（2）解：过F作FM⊥BC于M，过O作ON⊥BC于N，
∵FM⊥BC，ON⊥BC，
∴ON∥FM，
∵AO＝OC，
∴ON＝AB＝1，
∵OF＝FC，
∴FM＝ON＝，
∵∠AOB＝60°，OA＝OB，
∴∠OAB＝60°，∠ACB＝30°，
在 Rt△ABC中：
∵AB＝2，∠ACB＝30°，
∴BC＝2，
∵∠ACB＝30°，FM＝，
∴CM＝，
∴BM＝BC﹣CM＝，
∴BF＝＝．

【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质的应用，注意：矩形的对角线互相平分且相等，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
3．如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点C作BD∥AB，并交AB的延长线相交于点E，则△ACE是等腰三角形吗？请说明理由．

【分析】根据矩形的性质求出AC＝BD，CD∥AB，根据平行四边形的判定推出四边形DCEB是平行四边形，根据平行四边形的性质得出AC＝CE即可．
【解答】解：△ACE是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，CD∥AB，
即DC∥BE，
∵BD∥CE，
∴四边形DCEB是平行四边形，
∴BD＝CE，
∴AC＝CE，
∴△ACE是等腰三角形．
【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定的应用，解此题的关键是求出AC＝BD和得出四边形DCEB是平行四边形，注意：矩形的对角线相等，矩形的对边平行．
4．如图，平行四边形ABCD中，AB＝4cm，BC＝6cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）①AE为何值时四边形CEDF是矩形？为什么？
②AE为何值时四边形CEDF是菱形？为什么？

【分析】（1）证△CFG≌△EDG，推出FG＝EG，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）①证明△PBA≌△EDC，推出∠CED＝∠APB＝90°，即可得出答案；
②证明△CDE是等边三角形，推出CE＝DE，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF，
∴∠DEF＝∠CFE，∠EDC＝∠FCD，
∵G是CD的中点，
∴GD＝GC，
∴△GED≌△GFC，
∴DE＝CF，而DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形，

（2）①当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．
理由：作AP⊥BC于P，
∵AB＝4cm，∠B＝60°，
∴BP＝2cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝4cm，AD＝BC＝6cm，
∵AE＝4cm，
∴DE＝2cm＝BP，
∴△ABP≌△CDE，
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
∴当AE＝4cm时，四边形CEDF是矩形．

②当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．
理由：∵AE＝2cm，AD＝6cm．
∴DE＝4cm．
∵DC＝4cm，∠CDE＝∠B＝60°．
∴△CDE是等边三角形．
∴DE＝CE．
∴平行四边形CEDF是菱形．
∴当AE＝2时，四边形CEDF是菱形．

【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．
5．已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两线相交于点P，求证：四边形CODP是菱形．

【分析】根据DP∥AC，CP∥BD，即可证出四边形CODP是平行四边形，由矩形的性质得出OC＝OD，即可得出结论．
【解答】证明：∵DP∥AC，CP∥BD
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，
∴OD＝OC，
∴四边形CODP是菱形．
【点评】本题主要考查矩形性质和菱形的判定；熟练掌握菱形的判定方法，由矩形的性质得出OC＝OD是解决问题的关键．
6．如图，在四边形ABCD中，E、F分别为对角线BD上的两点，且BE＝DF．
（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若四边形AECF是菱形，则四边形ABCD是菱形吗？请说明理由？
（3）若四边形AECF是矩形，则四边形ABCD是矩形吗？不必写出理由．

【分析】（1）连接AC交BD于点O，由平行四边形的性质得出OA＝OC，OE＝OF，再证出OB＝OD，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得出AC⊥BD，即可得出结论；
（3）由矩形的性质得出OA＝OC＝OE＝OF，证出OB＝OD，AC＜BD，得出四边形ABCD是平行四边形，不是矩形．
【解答】（1）证明：连接AC交BD于点O，如图所示：
∵四边形AECF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）解：理由如下：
∵四边形AECF是菱形，
∴AC⊥BD，
由（1）知，四边形ABCD是平行四边形；
∴四边形ABCD是菱形；
（3）解：四边形ABCD不是矩形；理由如下：
∵四边形AECF是矩形，
∴OA＝OC，OE＝OF，AC＝EF，
∴OA＝OC＝OE＝OF，
∵BE＝DF，
∴OB＝OD，
∴AC＜BD，
∴四边形ABCD是平行四边形，不是矩形．

【点评】本题考查了平行四边形的性质与判定、菱形的性质与判定、矩形的性质；熟练掌握平行四边形、矩形、菱形的性质、并能进行推理论证是解决问题的关键．
7．“三等分一个角”是数学史上一个著名问题．今天人们已经知道，仅用圆规和直尺是不可能作出的，在探索中，有人曾利用过如下的图形：其中，ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，并且∠ACG＝∠AGC，∠GAF＝∠GFA，你能证明∠ECB＝∠ACB吗？

【分析】由矩形的对边平行可得∠F＝∠ECB，由外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AGC＝2∠F，那么∠ACF＝2∠ECB，所以∠ECB＝∠ACB．
【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠ECB，
∴∠ACG＝∠AGC＝∠GAF+∠F＝2∠F
＝2∠ECB，
∴∠ACB＝∠ACG+∠ECB＝3∠ECB，
∴∠ECB＝∠ACB．
【点评】用到的知识点为：矩形的对边平行；两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
8．在菱形ABCD中以B为顶点作等腰△BEF，已知∠EBF+∠ABC＝180°．

（1）如图1，当BF与BD重合时，点E在AD边上已知∠A＝30°，AE＝6，求BE的长．
（2）如图2，连接AF、CE，BE与AF于点G．若G为AF中点，求证：CE＝2BG．
【分析】（1）过E点作EM⊥AB于M点，根据30°直角三角形的性质可求ME长度，再通过菱形性质和等腰三角形性质证明△BEM是等腰直角三角形，利用三角函数可求BE长度；
（2）根据∠EBF+∠ABC＝180°可以构造出∠ABC的补角，即延长AB至H点，使得BH＝AB，连接FH．利用中位线定理得到FH＝2BG，通过证明△HBF≌△CBE，得到CE＝FH，从而CE＝2BG．
【解答】解：（1）如图1，过E点作EM⊥AB于M点
在Rt△AME中，∠A＝30°，所以ME＝AE＝×6＝3．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD．
∴∠ADB＝＝75°．
∵BE＝BD，
∴∠BED＝∠ADB＝75°．
∴∠ABE＝75°﹣30°＝45°，
∴△MEB是等腰直角三角形．
∴BE＝ME＝．
（2）延长AB至H点，使得BH＝AB，连接FH．
∵G点为AF中点，B点为AH中点
∴FH＝2BG．
∵∠HBC+∠ABC＝180°，∠EBF+∠ABC＝180°，
∴∠HBC＝∠EBF．
∴∠HBC+∠CBF＝∠EBF+∠CBF，
即∠HBF＝∠CBE．
在△HBF和△CBE中

∴△HBF≌△CBE（SAS）．
∴CE＝HF．
∴CE＝2BG．

【点评】本题主要考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、30°直角三角形的性质、中位线的性质，综合性较强，正确作出辅助线是解题的关键．
9．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点P在边AD上以每秒2个单位的速度从A出发，沿AD向D运动，同时动点Q在边BD上以每秒5个单位的速度从D出发，沿DB向B运动，当其中有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t秒．
（1）填空：当某一时刻t，使得t＝1时，P、Q两点间的距离PQ＝　　；
（2）是否存在以P、D、Q中一点为圆心的圆恰好过另外两个点？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）根据矩形的性质得到∠BAD＝90°，根据勾股定理得到BD＝10，过Q作QE⊥AD于E，根据三角形的中位线的性质得到EQ＝AB＝3，PE＝2，根据勾股定理即可得到结论；
（2）由题意得到AP＝2t，DQ＝5t，PD＝8﹣2t，根据平行线分线段成比例定理得到QE＝3t，根据勾股定理得到PQ＝，当D是圆心时，PD＝DQ，当P是圆心时，PD＝PQ，当Q是圆心时，PQ＝DQ，列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵t＝1，
∴AP＝2，DQ＝5，
∴PD＝6，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AB＝6，BC＝8，
∴BD＝10，
∴Q为BD的中点，
过Q作QE⊥AD于E，
∴QE∥AB，
∴AE＝DE＝4，
∴EQ＝AB＝3，PE＝2，
∴PQ＝＝；
故答案为：；
（2）存在，
理由：∵AP＝2t，DQ＝5t，
∴PD＝8﹣2t，
由（1）知，QE∥AB，
∴＝，
∴＝，
∴QE＝3t，
∴DE＝4t，
∴PE＝8﹣6t，
∴PQ＝，
当D是圆心时，PD＝DQ，
∴8﹣2t＝5t，
解得：t＝；
当P是圆心时，PD＝PQ，
∴8﹣2t＝，
解得：t＝，或t＝0（舍去）；
当Q是圆心时，PQ＝DQ，
∴5t＝，
解得：t＝或t＝4（舍去），
综上所述：t的值为s或s或s．

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，解方程，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．
（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AE＝10，BF＝24，CE＝7，求四边形ABCD的面积．

【分析】（1）先证明四边形ABEF是平行四边形，再证明邻边相等即可证明．
（2）作FG⊥BC于G，根据S菱形ABEF＝?AE?BF＝BE?FG，先求出FG即可解决问题．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB，
∵∠BAD的平分线交BC于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴AB＝BE，同理可得AB＝AF，
∴AF＝BE，
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB＝AF．
∴四边形ABEF是菱形．
（2）解：作FG⊥BC于G，
∵四边形ABEF是菱形，AE＝10，BF＝24，
∴AE⊥BF，OE＝AE＝5，OB＝BF＝12，
∴BE＝，
∵S菱形ABEF＝?AE?BF＝BE?FG，
∴GF＝，
∴S平行四边形ABCD＝BC?FG＝

【点评】本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用面积法求出高FG，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．
11．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
（1）求证：OE＝CD；
（2）若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．

【分析】（1）先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD＝90°，证明OCED是矩形，可得OE＝CD；
（2）根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
【解答】解：（1）在菱形ABCD中，OC＝AC，AC⊥BD．
又∵DE＝AC，
∴DE＝OC．
∵DE∥AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD＝90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE＝CD．
（2）在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝8，AO＝4．
∴在矩形OCED中，CE＝OD＝＝4．
又∵矩形DOCE中，∠OCE＝90°，
∴在Rt△ACE中，AE＝＝＝4．

【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
12．如图，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝4cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A，C同时出发，都以1cm/s的速度运动，其中点P由A运动到B停止，点Q由点C运动到点D停止．
（1）求四边形PBCQ的面积；
（2）P、Q两点从出发开始到几秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形？

【分析】（1）设运动时间为t，则AP＝t，CQ＝t，根据矩形的面积公式即可得到结论；
（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形，求得CQ＝t，DQ＝4﹣t，①当PQ＝DQ＝4﹣t时，②当PQ＝PD时，③当DQ＝PD时，根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）设运动时间为t，
则AP＝t，CQ＝t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝4cm，BC＝AD＝2cm，∠B＝∠C＝90°，
∴BP＝4﹣t，
∴四边形PBCQ的面积＝（PB+CQ）?BC＝4×2＝4（cm）2；
（2）设P、Q两点从出发开始到t秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形，
∵CQ＝t，∴DQ＝4﹣t，
①当PQ＝DQ＝4﹣t时，
如图1，过P作PH⊥DQ于H，
则PH＝AD＝2，DH＝AP＝t，
∵CQ＝t，
∴HQ＝4﹣2t，
∵PH2+HQ2＝PQ2，
∴22+（4﹣2t）2＝（4﹣t）2，
解得：t＝2，t＝，
②当PQ＝PD时，
如图2，过P作PH⊥DQ于H，
则PH＝AD＝2，DH＝AP＝HQ＝t，
∵CQ＝t，
∴HQ＝4﹣2t，
∴4﹣2t＝t，
∴t＝，
③当DQ＝PD时，
∴DQ＝4﹣t，
∴PD＝DQ＝4﹣t，
∵AP2+AD2＝PD2，
∴t2+22＝（4﹣t）2，
∴t＝，
综上所述，当t＝2秒或t＝秒或t＝秒或t＝秒时，点P、Q、D组成的三角形是等腰三角形．


【点评】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，分类思想的运用是解题的关键．
13．已知：如图，菱形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，且BE＝BF＝DH＝DG．
（1）求证：四边形EFGH是矩形；
（2）已知∠B＝60°，AB＝6．
请从A，B两题中任选一题作答，我选择　A或B　题．
A题：当点E是AB的中点时，矩形EFGH的面积是　9　．
B题：当BE＝　2或4　时，矩形EFGH的面积是8．

【分析】（1）根据三个角是直角的四边形是矩形即可解决问题；
（2）A题：求出EF，EH即可解决问题；
B题：设BE＝x，则AE＝6﹣x，EF＝x，EH＝（6﹣x），构建方程即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC＝CD＝AD，
∴∠A+∠B＝180°，
∵BE＝BF＝DH＝DG，
∴AE＝AH＝CF＝CG，
∴∠AEH＝∠AHE＝（180°﹣∠A），∠BEF＝∠BFE＝（180°﹣∠B），
∴∠AEH+∠BEF＝（180°﹣∠A）+（180°﹣∠B）＝90°，
同法可证：∠EFG＝∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH是矩形．

（2）解：A题：连接AC，BD交于点O．
∵AE＝BE，
∴AH＝DH，BF＝CF，CG＝GD，
∴EF＝AC，EH＝BD，
∵AB＝BC＝6，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝6，
∵OB⊥AC，
∴OB＝3，BD＝2OB＝6，
∴EF＝3，EH＝3，
∴S矩形EFGH＝EF?EH＝9．
故答案为9．

B题：设BE＝x，则AE＝6﹣x，EF＝x，EH＝（6﹣x），
由题意：x?（6﹣x）＝8，
解得x＝4或2，
∴BE＝2或4．
故答案为A或B，9，2或4．

【点评】本题考查菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14．如图，已知E是正方形ABCD的边CD的中点，点F在BC上，且∠DAE＝∠FAE，求证：AF＝AD+CF．

【分析】过E点作EG⊥AF，垂足为G，根据题干条件首先证明Rt△AEG≌Rt△AED，即可得AG＝AD，同理证明出CF＝GF，于是结论可以证明AF＝AD+CF．
【解答】解：过E点作EG⊥AF，垂足为G，
∵∠DAE＝∠EAF，∠B＝∠AGE＝90°，
即AE为角平分线，ED⊥AD，EG⊥AG，
∴DE＝EG，
在Rt△AEG和Rt△AED中，
，
∴Rt△AEG≌Rt△AED（HL），
∴AG＝AD，
∵E是CD的中点
∴DE＝EC＝EG
同理可知CF＝GF，
∴AF＝AG+FG＝AD+CF．

【点评】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质，此题难度不大．
15．如图，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF＝CE，连接DF，交BE的延长线于点G．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求CF的长．

【分析】（1），利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS，即可证得△BCE≌△DCF；
（2），由BE平分∠DBC，BD是正方形ABCD的对角线，及△BCE≌△DCF可得∠DEG＝∠BEC，∠BGD＝∠BCD＝90°＝∠BGF．从而得到△DBG≌△FBG，根据全等三角形的性质可得BF的长，最后由勾股定理及线段的和差，即可求得CF的长度．
【解答】（1）证明：如图，
∵在△BCE和△DCF中，
，
∴△BCE≌△DCF（SAS）．
（2）如图，∵BE平分∠DBC，BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠EBC＝∠DBC＝22.5°，
由（1）知△BCE≌△DCF，
∴∠EBC＝∠FDC＝22.5°，
∵∠DEG＝∠BEC
∴∠BGD＝∠BCD＝90°＝∠BGF．
在△DBG和△FBG中，
，
∴△DBG≌△FBG（SAS），
∴BD＝BF，DG＝FG，
∵BD＝＝，
∴BF＝，
∴CF＝BF﹣BC＝﹣1．

【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．
16．（1）如图①，分别以△ABC的边AB、AC为一边向形外作正方形ABDE和正方形ACGF．求证S△AEF＝S△ABC．
（2）如图②，分别以△ABC的边AB、AC、BC为边向形外作正方形ABDE、ACGF、BCHI，可得六边形DEFGHI，若S正方形ABDE＝17，S正方形ACGF＝25，S正方形BCHI＝16，求S六边形DEFGHI．

【分析】（1）作辅助线，证明△AMC≌△ANF（AAS），得CM＝FN根据三角形面积公式可得结论；
（2）同理得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，设BO＝x，则CO＝4﹣x，根据勾股定理列方程得：17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，解得：x＝1，根据面积和可得S六边形DEFGHI．
【解答】证明：（1）如图①，过点C作CM⊥AB，过F作FN⊥EA与EA的延长线交于点N，
∴∠CMA＝∠ANF＝90°，
∵四边形ABDE和四边形ACGF是正方形，
∴AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠CAM+∠CAN＝∠FAN+∠CAN＝90°，
∴∠CAM＝∠FAN，
在△AMC和△ANF中，
∵，
∴△AMC≌△ANF（AAS），
∴CM＝FN，
∴AE?FN＝，
∴S△AEF＝S△ABC．
（2）由上题结论得：S△AEF＝S△ABC＝S△BDI＝S△CHG，
由题意得：AB＝，AC＝5，BC＝4，
过点O作AO⊥BC，设BO＝x，则CO＝4﹣x，
在Rt△ABO和Rt△ACO中，
AO2＝AB2﹣BO2＝AC2﹣CO2，
即17﹣x2＝25﹣（4﹣x）2，
解得：x＝1，
∴AO＝4，
S六边形DEFGHI＝S正方形ABDE+S正方形BCHI+S正方形ACGF+S△AEF+S△BDI+S△CHG+S△ABC，
＝17+25+16+4××4×4，
＝90．


【点评】本题考查正方形的性质，三角形和多边形的面积等知识，解题的关键是理解题意，恰当作辅助线，学会利用面积和求六边形面积，属于中考常考题型．
17．如图，将一张边长为8cm，一角为72°的菱形纸片，剪三剪，用四种不同的剪法（剪得的四个等腰三角形一致，视为同一剪法）使之成四个等腰三角形纸片，并写出每个等腰三角形的顶角度数．

【分析】根据菱形的性质以及等腰三角形的性质即可得出分割方法．
【解答】解：如图所示：

【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等腰三角形的性质，根据角的特殊性得出分割方法，注意保证每一个三角形都符合要求是解决问题的关键．
18．如图，AD∥BC，AC平分∠BAD，BD平分∠ABC，DE⊥BD交BC的延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）请直接写出与△CED面积相等的三角形．

【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，据两直线平行，内错角相等可得∠ADB＝∠CBD，然后求出∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，再根据等角对等边可得AB＝AD，再根据等腰三角形三线合一可得BO＝DO，然后利用“角边角”证明△AOD和△COB全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝BC，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ABCD是平行四边形，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠CBD，
∴AB＝AD，
设AC、BD相交于点O，
又∵AC平分∠BAD，
∴BO＝DO，AC⊥BD，
在△AOD和△COB中，，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∵DE⊥BD，AC⊥BD，
∴AC∥DE，
∵AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∴BC＝AD＝CE，
∴图中所有与△CDE 面积相等的三角形有△BCD，△ABD，△ACD，△ABC．

【点评】本题考查了菱形的判定，主要利用了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行四边形和菱形的判定．
19．如图，AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，连接EF．∠AEF、∠CF的平分线交于点G，∠BEF、∠DFE的平分线交于点H．求证：四边形EGFH是矩形．

【分析】利用角平分线的定义结合平行线的性质得出∠FEH+∠EFH＝90°，进而得出∠EHF＝90°，同法可得∠EGF＝90°，再证明∠GEH＝90°，进而求出四边形EGFH是矩形；
【解答】证明：∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH＝∠BEF，
∵FH平分∠DFE，
∴∠EFH＝∠DFE，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠DFE＝180°，
∴∠FEH+∠EFH＝（∠BEF+∠DFE）＝×180°＝90°，
∵∠FEH+∠EFH+∠EHF＝180°，
∴∠EHF＝180°﹣（∠FEH+∠EFH）＝180°﹣90°＝90°，
同理可得：∠EGF＝90°，
∵EG平分∠AEF，
∴∠EFG＝∠AEF，
∵EH平分∠BEF，
∴∠FEH＝∠BEF，
∵点A、E、B在同一条直线上，
∴∠AEB＝180°，
即∠AEF+∠BEF＝180°，
∴∠FEG+∠FEH＝（∠AEF+∠BEF）＝×180°＝90°，
即∠GEH＝90°
∴四边形EGFH是矩形；
【点评】此题主要考查了矩形的判定，平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．在正方形ABCD中，∠C＝∠D＝90°，点E、F分别是边CD、BC上的中点，点P是一动点．记∠DEP＝∠1，∠BFP＝∠2，∠EPF＝∠α．

（1）如图1，若点P运动到线段AD中点时，∠α＝　45°　，∠1+∠2＝　135°　．
（2）如图2，若点P在线段AD上运动时，∠1、∠2和∠α之间有何关系？
（3）当点P在直线AD上（在线段AD之外且PE与PF不重合）运动时，∠1、∠2和∠α之间又有何关系？说明理由．
【分析】（1）只要证明△PDE是等腰直角三角形，四边形CDPF是矩形即可解决问题；
（2）连接PC．利用三角形的外角的性质即可解决问题；
（3）分三种情形分别求解即可；
【解答】解：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，AD＝BC＝DC，AD∥BC，
∵PA＝PD，DE＝EC，BF＝FC，
∴PD＝DE，
∴∠1＝45°，
∵PD＝FC，PD∥FC，
∴四边形CDPF是平行四边形，
∵∠D＝90°，
∴四边形CDPF是矩形，
∴PF∥CD，∠PFC＝90°，
∴∠α＝∠1＝45°，∠2＝90°，
∴∠1+∠2＝135°，
故答案为45°，135°．

（2）如图2中，连接PC．

∵∠1＝∠EPC+∠ECP，∠2＝∠FPC+∠FCP，
∴∠1+∠2＝∠EPC+∠FPC+∠ECP+∠FCP＝∠α+90°．

（3）如图：

①当点P在线段DA的延长线上时，由（2）可知：∠1+∠2＝∠α+90°．
②当点P在线段AD的延长线上且在直线EF的上方时，
∵∠2＝∠α+∠PKF，∠PKF＝90°+∠KEC＝90°+∠1，
∴∠2＝∠α+∠1+90°．
③当点P在直线EF的下方时，设PF交CD于K．
∵∠2＝90°+∠FKC＝90°+∠PKE＝90°+（∠1﹣∠α），
∴∠2＝90°+∠1﹣∠α．
【点评】本题考查正方形的性质、平行线的判定和性质、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
21．如图，矩形ABCD的对角线交于点O，点E是矩形外一点，AE∥BD，BE∥AC．
（1）如图1，求证：四边形AEBO是菱形；
（2）如图2，当∠ADB＝30°，连接CE交BD于点F，连接AF，若BE＝2，求AF的长度．

【分析】（1）根据平行四边形、菱形的判定证明即可；
（2）根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质以及等边三角形的判定和性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵AE∥BD，BE∥AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∴OA＝OB，
∴四边形AEBO是菱形；
（2）∵四边形AEBO是菱形，
∴BE＝AO＝CO＝2，
∵BE∥AC，
∴∠BEF＝∠OCF，
∵∠BFE＝∠OFC，
∴△BEF≌△OCF（SAS），
∴BF＝OF＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠ADB＝30°，
∴∠ABO＝60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴AF⊥BO，
∴AF＝．
【点评】此题考查矩形的性质，关键的根据矩形的性质、菱形的判定和性质解答．
22．如图①，正方形ABCD中，M是AB的中点，E是延长线上一点．MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．
（1）若点F是AD的中点，求证：MD＝MN；
（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其它条件不变．如图②所示，则结论“MD＝MN”是否成立．若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）要证MD＝MN，就要构建△DFM≌△MBN，只需取AD的中点F，连接FM，依据正方形的性质可证△DFM≌△MBN，进而得出DM＝MN．
（2）只需在AD上截取AF'＝AM，其证法与（1）相同．
【解答】解：（1）如图，取AD的中点F，连接FM．
∵∠FDM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠FDM＝∠BMN，
∵AF＝AD＝AB＝AM＝MB＝DF，
∵BN平分∠CBE，即∠NBE＝∠CBE＝45°，
又∵AM＝AF，
∴∠AFM＝45°，
∴∠DFM＝∠MBN＝135°．
∵DF＝MB，
在△DFM和△MBN中
，
∴△DFM≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．
（2）结论“DM＝MN”仍成立．
证明如下：如图，在AD上截取AF'＝AM，连接F'M．
∵DF'＝AD﹣AF'，MB＝AB﹣AM，AD＝AB，AF'＝AM，
∴DF'＝MB．
∵∠F'DM+∠DMA＝∠BMN+∠DMA＝90°，
∴∠F'DM＝∠BMN．
又∠DF'M＝∠MBN＝135°，
在△DF'M和△MBN中
，
∴△DF'M≌△MBN（ASA）．
∴DM＝MN．


【点评】本题综合考查了利用正方形的性质和全等三角形的判定的知识．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
23．如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A，C两点的坐标分别为（3，0），（0，5），点B在第一象限内．
（1）写出点B的坐标；
（2）若过点C的直线CD交AB边于点D，且把长方形OABC的周长分为3：1两部分，求点D的坐标；
（3）若过点C的直线CE交AB边于点E，且把长方形OABC的面积分为2：1两部分，求点E的坐标．

【分析】（1）点B的横坐标等于点A的横坐标，点B的纵坐标等于点C的纵坐标，从而求得点B的坐标；
（2）分两种情况讨论，并把不合题意的舍去即可；
（3）设AE＝a，则BE＝5﹣a．由矩形的面积公式列出关于a的方程，解答即可．
【解答】（1）点B（3，5）（2分）
（2）如图，过C作直线CD交AB于D，

由图可知：OC＝AB＝5，OA＝CB＝3．
①当（CO+OA+AD）：（DB+CB）＝1：3时，即：（5+3+AD）：（5﹣AD+3）＝1：3，
8﹣AD＝3（8+AD），
AD＝﹣4（不合题意，舍去）；
②当（DB+CB）：（CO+OA+AD）＝1：3时，即：（5﹣AD+3）：（5+3+AD）＝1：3
8+AD＝3（8﹣AD），
AD＝4，
∴点D的坐标为（3，4）；
（3）长方形OABC的面积是15．
设AE＝a，则BE＝5﹣a．
由题意得：BE?BC＝5，
（5﹣a）?3＝5，
a＝，
∴E（3，）．
【点评】考查了点的坐标的确定，四边形面积的求法，还考查了一个很重要的数学思想，分类讨论思想．
24．如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，连接BF．
（1）判断并证明四边形AFBD；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形，证明你的结论．

【分析】（1）由于E是AD中点，则AE＝DE，而AF∥BC，那么∠FAE＝∠CDE，又∠AEF＝∠DEC，利用ASA可证△AFE≌△DCE，于是有AF＝CD，又AD是中线，则BD＝CD，等量代换有AF＝BD；
（2）结论：AB＝AC．由（1）知四边形AFBD是平行四边形，而AB＝AC，AD是中线，利用等腰三角形三线合一定理，可证AD⊥BC，即∠ADB＝90°，那么可证四边形AFBD是矩形；
【解答】解：（1）结论：四边形AFBD是平行四边形．
理由：∵点E是AD的中点，
∴AE＝DE，
又∵AF∥BD，
∴∠FAE＝∠CDE，
又∵∠FEA＝∠CED，
∴△AFE≌△DCE（ASA），
∴AF＝CD，
又∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形AFBD是平行四边形．

（2）结论：AB＝AC．理由如下：
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵四边形AFBD为平行四边形，
∴四边形AFBD为矩形．
【点评】本题利用了中点定义、平行线的性质、等量代换、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三线合一定理、平行四边形的判定、矩形的判定．
25．如图，四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且BC＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠GCE＝90°．
（1）求证：△BCG≌△DCE；
（2）求证：BG⊥DE．

【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）利用全等三角形的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BCD＝∠GCE＝90°，
∴∠BCG＝∠DCE，
在△BCG与△DCE中
，
∴△BCG≌△DCE（SAS）；
（2）∵△BCG≌△DCE，
∴∠HBC＝∠ODH，
∵∠BHC＝∠DHO，
∵∠HBC+∠BHC＝90°，
∴∠ODH+∠DHO＝90°，
∴∠DOH＝90°，
∴BG⊥DE．
【点评】本题考查三角形全等的判定和性质和正方形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
26．如图，过矩形ABCD的四个顶点作对角线AC，BD的平行线，分别相交于E，F，G，H四点，若AB＝6，BC＝8．
（1）求证：四边形EFGH是菱形；
（2）求图中阴影部分的面积．

【分析】（1）由题意易得四边形EFGH是平行四边形，又因为矩形的对角线相等，可得EH＝HG，所以平行四边形EFGH是菱形．
（2）根据图可知阴影部分的面积等于矩形的面积解答即可．
【解答】证明：（1）由题意知，HG∥EF∥AC，EH∥FG∥BD，HG＝EF＝AC，EH＝FG＝BD，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵矩形的对角线相等，
∴AC＝BD，
∴EH＝HG，
∴平行四边形EFGH是菱形．
（2）由图可知，阴影部分的面积等于矩形的面积＝6×8＝48．
【点评】本题考查了矩形的性质及菱形的判定．注意掌握菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
27．已知：在正方形ABCD和正方形DEFG中，顶点B、D、F在同一直线上，H是BF的中点．
（1）如图①，若AB＝1，DG＝2，求BH的长；
（2）如图②，连接AH、GH，求证：AH＝GH且AH⊥GH．

【分析】（1）先根据勾股定理得出AB，DG，进而求出BF，即可得出结论；
（2）证法一、先判断△ABH≌△MFH，进而判断出△ADG≌△MFG．即可判断出△AGM为等腰直角三角形，即可得出结论；
证法二、先判断出MN＝BF．进而判断出△AMH≌△HNG，即可判断出∠AHM+∠GHN＝90°．即可得出结论．
【解答】（1）解：∵正方形中ABCD和正方形DEFG，
∴△ABD，△GDF为等腰直角三角形．
∵AB＝1，DG＝2，
∴由勾股定理得BD＝，DF＝2．
∵B、D、F共线，
∴BF＝3．
∵H是BF的中点，
∴BH＝BF＝

（2）证法一：
如图1，延长AH交EF于点M，连接AG，GM，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AB∥EF．
∴∠ABH＝∠MFH．
又∵BH＝FH，∠AHB＝∠MHF，
∴△ABH≌△MFH．
∴AH＝MH，AB＝MF．
∵AB＝AD，
∴AD＝MF．
∵DG＝FG，∠ADG＝∠MFG＝90°，
∴△ADG≌△MFG．
∴∠AGD＝∠MGF，AG＝MG．
又∵∠DGM+∠MGF＝90°，
∴∠AGD+∠DGM＝90°．
∴△AGM为等腰直角三角形．
∵AH＝MH，
∴AH＝GH，AH⊥GH．

证法二：
如图2，连接AC，GE分别交BF于点M，N，
∵正方形中ABCD和正方形DEFG且B、D、F共线，
∴AC⊥BF，GE⊥BF，DM＝BD，DN＝DF．
∴∠AMD＝∠GNH＝90°，MN＝BF．
∵H是BF的中点，
∴BH＝BF．
∴BH＝MN．
∴BH﹣MH＝MN﹣MH．
∴BM＝HN．
∵AM＝BM＝DM，
∴AM＝HN＝DM．
∴MD+DH＝NH+DH．
∴MH＝DN．
∵DN＝GN，
∴MH＝GN．
∴△AMH≌△HNG．
∴AH＝GH，∠AHM＝∠HGN．
∵∠HGN+∠GHN＝90°，
∴∠AHM+∠GHN＝90°．
∴∠AHG＝90°．
∴AH⊥GH．
∴AH＝GH，AH⊥GH．


【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解（1）的关键是求出BF，解（2）的关键是判断出△ABH≌△MFH和△AMH≌△HNG；是一道中等难度的中考常考题．
28．如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边AB在y轴正半轴上，顶点A的坐标为（0，2），设顶点C的坐标为（a，b）．
（1）顶点B的坐标为　（0，b）　，顶点D的坐标为　（a，2）　（用a或b表示）；
（2）如果将一个点的横坐标作为x的值，纵坐标作为y的值，代入方程2x+3y＝12成立，就说这个点的坐标是方程2x+3y＝12的解．已知顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG，
①这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移　3　个单位长度，再向下平移　2　个单位长度的两次平移；
②若点P（m，n）是对角线BD上的一点，且点P的坐标是方程2x+3y＝12的解，试说明平移后点P的对应点P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解．

【分析】（1）根据A、C两点坐标，以及矩形的性质可得结论；
（2）利用待定系数法即可解决问题；
（3）①根据平移的性质即可解决问题；
②利用整体代入的思想解决问题即可；
【解答】解：（1）由题意：B（0，b），D（a，2），
故答案为（0，b），（a，2）；

（2）∵顶点B和D的坐标都是方程2x+3y＝12的解，
∴，
解得．

（3）在（2）的条件下，平移长方形ABCD，使点B移动到点D，得到新的长方形EDFG，
①这次平移可以看成是先将长方形ABCD向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度的两次平移；
故答案为3，2；

②点P（m，n）平移后的坐标为（m+3，n﹣2），
∵点P的坐标是方程2x+3y＝12的解，
∴2m+3n＝12，
将P′的坐标代入方程2x+3y＝12，左边＝2（m+3）+3（n﹣2）＝3m+2n＝12＝右边，
∴P′的坐标也是方程2x+3y＝12的解．
【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形的性质、二元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
29．如图，点P是正方形ABCD的对角线AC上的一点，PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为点M，N，求证：DP＝MN．

【分析】连结PB，由正方形的性质得到BC＝DC，∠BCP＝∠DCP，接下来证明△CBP≌△CDP，于是得到DP＝BP，然后证明四边形BNPM是矩形，由矩形的对角线相等可得到BP＝MN，从而等量代换可证得问题的答案．
【解答】证明：如图，连结PB．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°．
∵在△CBP和△CDP中，
，
∴△CBP≌△CDP（SAS）．
∴DP＝BP．
∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠MBN＝90°
∴四边形BNPM是矩形．
∴BP＝MN．
∴DP＝MN．

【点评】本题主要考查的是正方形的性质、全等三角形的性质和判定、矩形的性质和判定，证得四边形BFPE为矩形是解题的关键．
30．如图，在长方形ABCD中，AB：BC＝3：4，AC＝5，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿△ABC边A→B→C→A的方向运动，运动时间为t秒．
（1）求AB与BC的长；
（2）在点P的运动过程中，是否存在这样的点P，使△CDP为等腰三角形？若存在，求出t值；若不存在，说明理由．

【分析】（1）利用因式分解法解出方程即可；
（2）分PC＝CD、PD＝PC、PD＝CD三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可．
【解答】解：（1）设AB＝3x，BC＝4x
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，
∴AC＝5x，5x＝5，x＝1
∴AB＝3，BC＝4，
（2）存在点P，使△CDP是等腰三角形，理由如下：

当P1D＝P1C即P为对角线AC中点时，△CDP是等腰三角形，
∵AB＝3，BC＝4，
∴，
∴，
∴（秒）
当CD＝P2C时，△CDP是等腰三角形，
∴（秒），
AB的中点也是，此时t＝1.5；
CP＝CD，P在BC线段上，此时，t＝4；
DP＝DC，P在线段AC上，此时t＝10.6；
综上可知当t＝9.5秒或10秒或1.5秒或4秒或10.6秒时△CDP是等腰三角形．
【点评】本题考查了四边形综合题．需要掌握矩形的性质、等腰三角形的判定和性质，正确解出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的运用．
31．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为边BC上一点，E为边AB的中点，过点A作AF∥BC，交DE的延长线于点F，连结BF．
（1）求证：四边形ADBF是平行四边形；
（2）当D为边BC的中点，且BC＝2AC时，求证：四边形ACDF为正方形．

【分析】（1）根据平行线的性质得到∠AFE＝∠BDE，根据全等三角形的性质得到AF＝BD，于是得到结论；
（2）首先证明四边形ACDF是矩形，再证明CA＝CD即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠BDE，
在△AEF与△BED中，
，
∴△AEF≌△BED，
∴AF＝BD，
∵AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形；

（2）解：∵CD＝DB，AE＝BE，
∴DE∥AC，
∴∠FDB＝∠C＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠AFD＝∠FDB＝90°，
∴∠C＝∠CDF＝∠AFD＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
∵BC＝2AC，CD＝BD，
∴CA＝CD，
∴四边形ACDF是正方形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的判定和性质，正方形的判定，三角形中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
32．已知：如图，已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M交AC于E，∠DAC的平分线交ME于O，交CD于N．求证：四边形AMNE是菱形．

【分析】根据全等三角形的判定和菱形的判定证明即可．
【解答】证明：∵BE平分∠ABC交AD于M，交AC于E，
∵∠ABE＝∠DBM，
∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，
∴∠BAC＝∠ADB＝90°，
∴∠AEM＝∠BMD，
∵∠AME＝∠BMD，
∴∠AEM＝∠AME，
∴AE＝AM，
∵∠DAC的平分线交CD于N，
∴∠MAN＝∠NAE，AN⊥ME，且AN平分ME，
在△BAO和△BNO中，
，
∴△ABO≌△NBO（ASA），
∴AO＝NO，
∴AN和ME互相垂直平分，
∴四边形AMNE是菱形．
【点评】此题考查菱形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质解答．
33．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P（点A除外），过点P作EF∥AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ∥AC，交AB于点Q，连接QE与AD相交于点G．
（1）求证：四边形AQPE是菱形．
（2）四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由．
（3）直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半．

【分析】（1）先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分∠BAC和PE∥AQ可证∠EAP＝∠EPA，得出AE＝EP，即可得出结论；
（2）只要证明EQ∥BC，EF∥AB即可；
（3）S菱形AEPQ＝EP?h，S平行四边形EFBQ＝EF?h，若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则EP＝EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ．
【解答】（1）证明：∵EF∥AB，PQ∥AC，
∴四边形AEPQ为平行四边形，
∴∠BAD＝∠EPA，
∵AB＝AC，AD平分∠CAB，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠CAD＝∠EPA，
∴EA＝EP，
∴四边形AEPQ为菱形．

（2）解：结论：四边形EQBF是平行四边形．
∵四边形AQPE是菱形，
∴AD⊥EQ，即∠AGQ＝90°，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC即∠ADB＝90°，
∴EQ∥BC，
∵EF∥QB，
∴四边形EQBF是平行四边形．

（3）解：P为EF中点，即AP＝AD时，S菱形AEPQ＝S四边形EFBQ
∵四边形AEPQ为菱形，
∴AD⊥EQ，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，
∴EQ∥BC，
又∵EF∥AB，
∴四边形EFBQ为平行四边形．
作EN⊥AB于N，如图所示：
则S菱形AEPQ＝EP?EN＝EF?EN＝S四边形EFBQ．

【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
34．如图，在正方形ABCD中，点F是BC延长线上一点，BE⊥DF，垂足为E，BE交CD于点G．
（1）求证：BG＝DF；
（2）求证：EF+EG＝CE．

【分析】（1）根据正方形的性质可得∠BCG＝∠DCB＝∠DCF＝90°，BC＝DC，再根据同角的余角相等求出∠CBG＝∠CDF，然后利用“角边角”证明△CBG和△CDF全等即可得到BG＝DF；
（2）过点过点C作CM⊥CE交BE于点M，根据全等三角形对应边相等可得CG＝CF，全等三角形对应角相等可得∠F＝∠CGB，再利用同角的余角相等求出∠MCG＝∠ECF，然后利用“角边角”证明△MCG和△ECF全等，根据全等三角形对应边相等可得MG＝EF，CM＝CE，从而判断出△CME是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．
【解答】解：（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCG＝∠DCB＝∠DCF＝90°，BC＝DC，
∵BE⊥DF，
∴∠CBG+∠F＝∠CDF+∠F，
∴∠CBG＝∠CDF，
在△CBG和△CDF中，
，
∴△CBG≌△CDF（ASA），
∴BG＝DF；
（2）如图，过点C作CM⊥CE交BE于点M，
∵△CBG≌△CDF，
∴CG＝CF，∠F＝∠CGB，
∵∠MCG+∠DCE＝∠ECF+∠DCE＝90°，
∴∠MCG＝∠ECF，
在△MCG和△ECF中，
，
∴△MCG≌△ECF（ASA），
∴MG＝EF，CM＝CE，
∴△CME是等腰直角三角形，
∴ME＝CE，
又∵ME＝MG+EG＝EF+EG，
∴EF+EG＝CE．

【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于（2）根据CE考虑作出以CE为直角边的等腰直角三角形．
35．长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA＝5，OC＝3，点B在第三象限．
（1）求点B的坐标；
（2）如图，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标．

【分析】（1）根据第三象限点的坐标性质得出答案；
（2）利用长方形OABC的面积分为1：4两部分，得出等式求出AP的长，即可得出P点坐标，再求出PC的长，即可得出OP的长，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵四边形OABC为长方形，OA＝5，OB＝3，且点B在第三象限，
∴B（﹣5，﹣3）．
（2）若过点B的直线BP与边OA交于点P，依题意可知：×AB×AP＝×OA×OC，
即×3×AP＝×5×3，
∴AP＝2
∵OA＝5，
∴OP＝3，
∴P（﹣3，0），
若过点B的直线BP与边OC交于点P，依题意可知：×BC×PC＝×OA×OC，
即×5×PC＝×5×3，
∴PC＝
∵OC＝3，
∴OP＝，
∴P（0，﹣）．
综上所述，点P的坐标为（﹣3，0）或（0，﹣）．

【点评】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了平行线的性质和三角形面积公式．
36．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长．

【分析】（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．只要证明△EMD≌△ENF即可解决问题；
（2）只要证明△ADG≌△CDE，可得AG＝EC即可解决问题；
（3）如图，作EH⊥DF于H．想办法求出EH，HM即可解决问题；
【解答】解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．

∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF，
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形．

（2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE，
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4．

（3）如图，作EH⊥DF于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝4，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB2
∴DF＝＝2，
∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，
∴DH＝HF，
∴EH＝DF＝，
∵AF∥CD，
∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，
∴FM＝，
∴HM＝HF﹣FM＝，
在Rt△EHM中，EM＝＝．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、矩形的性质和判定、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
37．在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE、EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF．
（2）如图2，当点E不是线段AC的中点，其它条件不变时，请你判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．

【分析】（1）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠BCA＝60°，由等边三角形的性质和已知条件得出CE＝CF，由等腰三角形的性质和三角形的外角性质得出∠CBE＝∠F，即可得出结论；
（2）过点E作EG∥BC交AB延长线于点G，先证明△ABC是等边三角形，得出AB＝AC，∠ACB＝60°，再证明△AGE是等边三角形，得出AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，然后证明△BGE≌△ECF，即可得出结论；
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BCA＝60°，
∵E是线段AC的中点，
∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE，
∵CF＝AE，
∴CE＝CF，
∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°，
∴∠CBE＝∠F＝30°，
∴BE＝EF；
（2）解：结论成立；理由如下：
过点E作EG∥BC交AB于点G，如图2所示：
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB＝BC，∠BCD＝120°，AB∥CD，
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝∠ABC＝60°，
∴∠ECF＝120°，
又∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACB＝60°，
又∵EG∥BC，
∴∠AGE＝∠ABC＝60°，
又∵∠BAC＝60°，
∴△AGE是等边三角形，
∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°，
∴BG＝CE，∠BGE＝120°＝∠ECF，
又∵CF＝AE，
∴GE＝CF，
在△BGE和△CEF中，
，
∴△BGE≌△ECF（SAS），
∴BE＝EF．

【点评】本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等和等边三角形是解决问题的关键．
38．在一次课题学习活动中，老师提出了如下问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角平分线CF于点F．请你探究AE与EF存在怎样的数量关系，并证明你的结论正确．
经过探究，小明得出的结论是AE＝EF．而要证明结论AE＝EF，就需要证明AE和EF所在的两个三角形全等，但△ABE和△ECF显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点E是边BC的中点，小明想到的方法是如图2，取AB的中点M，连接EM，证明△AEM≌△EFC．从而得到AE＝EF．
请你参考小明的方法解决下列问题：
（1）如图3，若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”，其余条件不变，证明结论AE＝EF仍然成立．
（2）如图4，若把条件“点E是边BC的中点”改为：“点E是边BC延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论AE＝EF是否还成立？若成立，请完成证明过程，若不成立，请说明理由．

【分析】（1）在AB上取点P，连接EP，证明△PAE≌△CEF即可；
（2）延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，证明△HAE≌△CEF即可．
【解答】（1）证明：如图2，在AB上取点P，连接EP，使AP＝EC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠B＝∠BCD＝90°，
∵AP＝EC，
∴BP＝BE，
∴∠BPE＝45°，∠APE＝135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF＝135°，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
在△PAE和△CEF中，
，
∴△PAE≌△CEF，
∴AE＝EF；

（2）证明：延长BA至H，使AH＝CE，连接HE，
∵BA＝BC，AH＝CE，
∴BH＝BE，
∴∠H＝45°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF＝45°，
∴∠H＝∠ECF，
∵∠AEF＝90°，∠B＝90°，∠HAE＝∠B+∠BEA，∠CEF＝∠AEF+∠BEA，
∴∠HAE＝∠CEF，
在△HAE和△CEF中，
，
∴△HAE≌△CEF，
∴AE＝EF．
【点评】本题为一次函数的综合应用，涉及正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形的性质和判定及方程思想等知识．在（1）中中构造三角形全等是关键，在（2）中根据角平分线的性质得到关于F点坐标的方程是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，但难度不大．
39．（1）如图1的正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连接EF，AG．求证：EF＝FG；
（2）如图2，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，求MN的长．

【分析】（1）证△ADG≌△ABE，△FAE≌△FAG，根据全等三角形的性质求出即可；
（2）过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．通过证明△ABM≌△ACE（SAS）推知全等三角形的对应边AM＝AE、对应角∠BAM＝∠CAE；然后由等腰直角三角形的性质和∠MAN＝45°得到∠MAN＝∠EAN＝45°，所以△MAN≌△EAN（SAS），故全等三角形的对应边MN＝EN；最后由勾股定理得到EN2＝EC2+NC2即MN2＝BM2+NC2．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，
∠ABE＝∠ADG，AD＝AB，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG，
∴∠EAG＝90°，
在△FAE和△GAF中，
，
∴△FAE≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG；

（2）解：如图，过点C作CE⊥BC，垂足为点C，截取CE，使CE＝BM．连接AE、EN．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°．
∵CE⊥BC，∴∠ACE＝∠B＝45°．
在△ABM和△ACE中，
，
∴△ABM≌△ACE（SAS）．
∴AM＝AE，∠BAM＝∠CAE．
∵∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，∴∠BAM+∠CAN＝45°．
于是，由∠BAM＝∠CAE，得∠MAN＝∠EAN＝45°．
在△MAN和△EAN中，
，
∴△MAN≌△EAN（SAS）．
∴MN＝EN．
在Rt△ENC中，由勾股定理，得EN2＝EC2+NC2．
∴MN2＝BM2+NC2．
∵BM＝1，CN＝3，
∴MN2＝12+32，
∴MN＝．
【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的综合应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题；
40．如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线AC上的一个动点（不与A，C重合），连接DE并延长交射线AB于点F，连接BE．

（1）求证：△DCE≌△BCE；
（2）求证：∠AFD＝∠EBC；
（3）若∠DAB＝90°，当△BEF为等腰三角形时，求∠EFB的度数．
【分析】（1）直接利用全等三角形的判定方法得出△DCE≌△BCE（SAS）；
（2）利用全等三角形平行线的性质即可解决问题；
（3）利用正方形的性质结合等腰三角形的性质得出：①当F在AB延长线上时；②当F在线段AB上时；分别求出即可．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD＝AB，∠ACD＝∠ACB，
在△DCE和△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE（SAS），

（2）∵△DCE≌△BCE，
∴∠CDE＝∠CBE，
∵CD∥AB，
∴∠CDE＝∠AFD，
∴∠EBC＝∠AFD，即∠F＝∠EBC；

（3）解：分两种情况：
①如图1，当F在AB延长线上时，

∵∠EBF为钝角，
∴只能是BE＝BF，
设∠BEF＝∠BFE＝x°，
可通过三角形内角形为180°得：90+x+x+x＝180，
解得：x＝30，
∴∠EFB＝30°；
②如图2，当F在线段AB上时，

∵∠EFB为钝角，
∴只能是FE＝FB，设∠BEF＝∠EBF＝x°，则有∠AFD＝2x°，
可证得：∠AFD＝∠FDC＝∠CBE，
得x+2x＝90，
解得：x＝30，
∴∠EFB＝120°．
综上：∠F＝30°或120°．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及正方形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
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