浙教版八下数学第4章《平行四边形性质与判定》测试题
考试时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分）
下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的.
1.如图，在□ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，若△AOD的面积是5，则□ABCD的面积是(????? )
A.?10?????????????????????????????????????????B.?15?????????????????????????????????????????C.?20?????????????????????????????????????????D.?25
第1题 第2题 第4题 第5题
2.小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，她带了两块碎玻璃，其编号应该是( ????)
A.?①②?????????????????????????????????????B.?①④?????????????????????????????????????C.?③④?????????????????????????????????????D.?②③
3.在平行四边形ABCD中，E，F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是( ????)
A.BE＝DF B.AE＝CF C.AF∥CE D.∠BAE＝∠DCF
4.如图，在平行四边形ABCD中，已知AC＝4 cm，若△ACD的周长为13 cm，则平行四边形ABCD的周长为(??? )
A.?26 cm?????????????????????????????????B.?24 cm?????????????????????????????????C.?20 cm?????????????????????????????????D.?18 cm
5.如图，剪两张对边平行的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ???）
A.?∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD??????B.?AB=BC?????C.?AB=CD，AD=BC?????D.?∠DAB+∠BCD=180°
6.如图所示，在平面直角坐标系内，原点O恰好是?ABCD对角线的交点．若A点坐标为(2，3)，则C点坐标为(?? )
A.?(－3，－2)??????????????????????????B.?(－2，3)??????????????????????????C.?(－2，－3)??????????????????????????D.?(2，－3)
第6题 第7题 第8题 第10题
7.如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB 边上一动点，以PA，PC为边作□PAQC，则对角线PQ长度的最小值为(?? ??)
A.?6???????????????????????????????????????B.?8???????????????????????????????????????C.?2 ???????????????????????????????????????D.?4
8.如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（?? ）
A.?AC＝DE?????????????????????????????B.?AB＝AC?????????????????????????????C.?AD＝EC?????????????????????????????D.?OA＝OE
9.平行四边形的一条边长是10cm，那么它的两条对角线的长可能是（?? ）
A.?6cm和8cm???????????????????B.?10cm和20cm???????????????????C.?8cm和12cm???????????????????D.?12cm和32cm
10.如图，在?ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=20，CE=15，CF=7，AF=24，则BE的长为（?? ）A.?10????????????????????????????????????????B.?????????????????????????????????????????C.?15????????????????????????????????????????D.?
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分）
要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案.
11.如图，平行四边形 ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点．若AC＋BD＝24 cm，△OAB的周长是18 cm，则EF＝________cm.
第11题 第12题 第13题
12.如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点A′处，BC与A′D交于点G。若∠1＝∠2＝50°，则∠A′＝________.
13.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，AB+AD=20，则□ABCD的面积为________.
14.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=5，则这个梯形中位线的长等于________．
第14题 第15题 第16题
15.如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论： ①CF=AE；②OE=OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是________．
16.如图，△APB中，AB=2，∠APB=90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是_??? _ ．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.
17（6分）.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证：∠EBF＝∠EDF.
18.（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且AB=AE．
（1）求证：△ABC≌△EAD；
（2）若AE平分∠DAB，∠EAC=25°，求∠AED的度数．
19.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，分别以边BC，CD作等腰△BCF，△CDE，使BC＝BF，CD＝DE，∠CBF＝∠CDE，连接AF，AE.
（1）求证：△ABF≌△EDA；
（2）延长AB与CF相交于点G，若AF⊥AE，求证BF⊥BC.
20.（10分）如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F．
（1）求证：CD=BE；
（2）若AB=4，点F为DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，且DG=1，求AE的长．
21.（10分）如图，以BC为底边的等腰△ABC，点D，E，G分别在BC，AB，AC上，且EG∥BC，DE∥AC，延长GE至点F，使得BE=BF．
（1）求证：四边形BDEF为平行四边形；
（2）当∠C=45°，BD=2时，求D，F两点间的距离．
22.（10分）已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（点D不与B，C重合）△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．
（1）如图1，求证：△AFB≌△ADC；
（2）请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；
（3）若D点在BC 边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问（2）中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．
23.（12分）已知△ABC为边长为6的等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD=CE=x，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，CF．
（1）求证：△AEF为等边三角形；
（2）求证：四边形ABDF是平行四边形；
（3）记△CEF的面积为S，
①求S与x的函数关系式；
②当S有最大值时，判断CF与BC的位置关系，并说明理由．
浙教版八下数学第4章《平行四边形性质与判定》测试题
参考答案
一、单选题
1. C 2. D 3. B 4. D 5. D 6.C 7.D 8.B 9.B 10.C
二、填空题
11.【答案】 3
12.【答案】 105°
13.【答案】 48
14.【答案】
15.【答案】①②④
16.【答案】1
三、解答题
17.【答案】 证明：连结BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF
18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B．
∴∠B=∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE=∠BAE；
又∵∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB=∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE=60°．
∵∠EAC=25°，
∴∠BAC=85°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED=∠BAC=85°．
19.【答案】 （1）∵四边形ABCD为平行四边形，BC=BF，CD=DE ∴AB=CD=DE，AD=BC=BF，∠ABC=∠ADC 又∵∠CBF=∠CDE ∴∠ABF=∠ADE ∴△ABF≌△EDA （2）由（1）可得∠EAD=∠AFB ∴∠GBF=∠AFB+∠FAB=∠EAD+∠FAB， 又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AF⊥AE ∴∠DAB=∠CBG ∴∠FBC=∠CBG+∠GBF=∠DAB+∠EAD+∠FAB=∠EAF=90° ∴BF⊥BC
20.【答案】（1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB．
∴∠DAE=∠E．
∴∠BAE=∠E．
∴AB=BE．
∴CD=BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF=∠DFA．
∴∠DAF=∠DFA．
∴DA=DF．
∵F为DC的中点，AB=4，
∴DF=CF=DA=2．
∵DG⊥AE，DG=1，
∴AG=GF．
∴AG= ．
∴AF=2AG=2 ．
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF，
∴AE=2AF=4 ．
21.【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG=∠C，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，
∴∠F=∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C=45°，
∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BE= BD= ，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM=BM= BF=1，
∴DM=3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= = ，
即D，F两点间的距离为 ．
22.【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）
（2）解：四边形BCEF是平行四边形，理由如下：
由①得△AFB≌△ADC，
∴∠ABF=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴FB∥AC，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形
（3）解：成立，理由如下：
∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB=∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，
∴∠ADC=∠EAF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形
23.【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CED=60°，
∠AEF=60°，又AE=EF，
∴△AEF为等边三角形
（2）证明：∵∠FAC=60°，
∴∠FAC=∠ACB=60°，
∴AF∥BC，
∵∠CED=∠CAB=60°，
∴AB∥BF，（）
∴四边形ABDF为平行四边形
（3）证明：①作AH⊥BC于H，
∵△ABC为边长为6的等边三角形，
∴AH=3 ，
∴S△CDF= ×CD×AH= x，
∵△CDE为等边三角形，CD=x，
∴S△CDE= x2 ，
∴△CEF的面积S= x﹣ x2；
②CF⊥BC．
x=﹣ =3时，S最大，（用配方法）
∴CD=CE=3，
∵△CDE为等边三角形，
∴DE=CD=CE=3，
∵E为AC的中点，
∴AE=CE=3
∴AE=EF=3
∴CE=DE=EF=3，
∴∠CDE=∠ECD，
∠ECF=∠EFC，
∵∠CDE+∠ECD+∠CCF+∠EFC=180°，
∴2∠ECD+2∠ECF=180°，
∴∠ECD+∠ECF=90°，即∠DCF=90°，
∴CF⊥BC．
浙教版八下数学第4章《平行四边形性质与判定》测试题
答案解析
一、单选题
1.【答案】 C
【考点】平行四边形的性质，平行四边形的面积
【解析】【解答】在□ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，
∴OA=OC，OB=OD，
?
故答案为：C. 【分析】根据平行四边形的性质：对角线互相平分得到OA=OC，OB=OD，从而可得， 即而可得S□ABCD=4S△AOD。
2.【答案】 D
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：②③两块玻璃的角两边互相平行且中间部分相连，将两个角分别作延长线即可得到平行四边形的交点。 故答案为：D。 【分析】确定一个平行四边形，确定平行四边形的四个顶点即可。
3.【答案】 B
【考点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：如图，连接AC与BD相交于O，在平行四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD 要使四边形AECF为平行四边形，只需证明得到OE=OF即可。 A、若BE＝DF，则OB-BE＝OD-DF，即OE=OF，故选项不符合题意 B、若AE＝CF，则无法判断OE=OF，故选项符合题意； C、AF∥CE能够利用“角角边”证明△AOF和△COE全等，从而得到OE=OF，故选项不符合题意； D、∠BAE＝∠DCF能够利用“角角边”证明△ABE和△CDF全等，从而得到DF=BE，然后根据A选项可得OE=OF，故选项不符合题意。 故答案为：B。 【分析】根据平行线的判定方法根据已知条件进行解答即可。
4.【答案】 D
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵三角形ACD的周长为13，AC=4 ∴AD+DC=9 ∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AB+BC=AD+DC=9 ∴四边形ABCD的周长=9+9=18. 故答案为：D。 【分析】根据三角形的周长以及AC的长度可以求得AD+DC的长度，根据平行四边形的性质，即可求得四边形的周长。
5.【答案】 D
【考点】平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点D分别作BC，CD边上的高为AE，AF．则
AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形ABCD中，S△ABC=S△ACD ， 即BC×AE=CD×AF，
∴BC=CD，即AB=BC．故B不符合题意；
∴平行四边形ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱形）．
∴∠ABC=∠ADC，∠BAD=∠BCD（菱形的对角相等），故A不符合题意；
AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故C不符合题意；
如果四边形ABCD是矩形时，该等式成立．故D不一定正确．
故答案为：D．
【分析】根据两组对边平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形，根据题意的两纸条的宽度相等和三角形的面积公式可得BC=CD，根据邻边相等的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD为菱形，所以D错误.
6.【答案】C
【考点】平行四边形的性质，关于原点对称的坐标特征
【解析】【解答】已知原点O恰好是?ABCD对角线的交点，可得点C与点A关于原点对称，又因关于原点对称的两个点的坐标，横纵坐标互为相反数，A点坐标为（2，3），即可得C点坐标为（-2，-3）．故答案为：C
【分析】根据题意可知原点O恰好是平行四边形ABCD的对角线的交点，就可得出点A、C关于原点对称，因此点A和点C的横纵坐标都互为相反数，即可解答。
7.【答案】 D
【考点】垂线段最短，平行四边形的性质，等腰直角三角形
【解析】【解答】∵四边形APCQ是平行四边形，
∴AO=CO，OP=OQ，
∵PQ最短也就是PO最短，
∴过O作OP′⊥AB与P′，
?
∴△AP′O是等腰直角三角形，
?
?
∴PQ的最小值 ?
故答案为：D. 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分得出AO=CO，OP=OQ，故PQ最短也就是PO最短，过O作OP′⊥AB与P′，根据垂线段最短得出此时P'O就是最短的，进而判断出△AP′O是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形三边的关系得出OP'的长，进而得出答案。 ?.
8.【答案】B
【考点】全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：A.连接AE，CD，则四边形ADCE是平行四边形，因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CD⊥AB，所以四边形ADCE是矩形，所以AC=DE，则A成立；B.因为∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，所以CA=CB，不能得到AB=AC，则B不一定成立；C.因为四边形ADCE是矩形，所以AD=CE，OA=OE，则C，D成立， 故答案为：B
【分析】由已知易证四边形BDEC是平行四边形，则BD=CE，∠B=∠E，由∠ABC=∠BAC，D是AB的中点，可证△AOD≌△EOC，还可证明BC=AC，OA=OD，OE=OC，AC=DE，AD=EC，OA=OE。由此可得出答案。
9.【答案】B
【考点】三角形三边关系，平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据平行四边形的对角线互相平分，所选择作为对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，必须满足三角形的两边之和大于第三边，由此逐一排除；
A、取对角线的一半与已知边长，得3，4，10，不能构成三角形，舍去；
B、取对角线的一半与已知边长，得5，10，10，能构成三角形；
C、取对角线的一半与已知边长，得4，6，10，不能构成三角形，舍去；
D、取对角线的一半与已知边长，得6，16，10，不能构成三角形，舍去．
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可知，对角线长度的一半与已知边长需要构成三角形的边长，根据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边可求解。
10.【答案】C
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ?
∴ ?
设 ?则 ?
在Rt 中， ?
即 ?
解得 （舍去），
?
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形的面积法判断出BC:CD=24:20=6:5，设 BC=6x ， ?则 AB=CD=5x ， BE=6x?15，然后在Rt△AEB中? ，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值根据实际情况检验得出满足条件的未知数的值，从而得出答案。
二、填空题
11.【答案】 3
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形 ∴AO=OC，BO=BD ∴三角形OAB的周长=AB+OB+AO 即AB=6 又∵点E和点F分别为OA和OB的中点 ∴EF=AB=3。 故答案为：3。 【分析】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，可以求得OA和OB的线段和，根据三角形OAB的周长即可得出AB的长度，根据三角形的中位线定理，求出EF。
12.【答案】 105°
【考点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可得，∠ADB=∠BDG=∠DBG，根据三角形的外角性质可得∠BDG=∠DBG=∠1=25°， ∴∠ADB=25° 根据三角形的外角和为180°即可求出∠A′=105° 故答案为：105°。 【分析】根据平行四边形的性质以及折叠的性质得出三组角相等，根据外角的性质求出∠BDG的度数，根据三角形的内角和定理求出正确答案即可。
13.【答案】 48
【考点】平行四边形的性质，平行四边形的面积
【解析】【解答】设BC=x,∵AB+AD=20, 所以BC+CD=20,∴CD=20-x,
∵□ABCD的面积=BC?AE=CD?AF,∴4x=6（20-x）,解得x=12,
∴□ABCD的面积=BC?AE=12×4=48,故答案为:48
【分析】根据平行四边形的性质得出AB=CD,BC=AD，故BC+CD=20， 设BC=x,则CD=20-x,根据平行四边形的面积□ABCD的面积=BC?AE=CD?AF,列出方程，求解即可得出x的值，进而根据平行四边形的面积等于底乘以高即可算出答案。 ?
14.【答案】
【考点】平行四边形的判定与性质，梯形中位线定理
【解析】【解答】如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E，则四边形ACED为平行四边形， ∴AD=CE。 ∵AC⊥BD∴∠BDE=90°。 ∴梯形的中位线长= （AD+BC）= （CE+BC）= BE。 ∵AC=12，BD=5，∴ 。 ∴梯形的中位线长= ×13= 。 【分析】如图，作DE∥AC，交BC的延长线于E，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出：则四边形ACED为平行四边形，根据平行四边形的对边相等得出AD=CE，根据二直线平行，同位角相等得出∠BDE=90°，根据勾股定理算出BE的长，然后根据梯形的中位线等于两底和的一半，即BE的一半即可得出答案。
15.【答案】①②④
【考点】平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE=BF，∴DF=BE．在Rt△DCF和Rt△BAE中，∵CD=AB，DF=BE，∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），∴FC=EA，故①正确； ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC．∵FC=EA，∴四边形CFAE是平行四边形，∴EO=FO，故②正确； ∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF=∠ABE，∴CD∥AB．∵CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确； 由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．故③错误． 故答案为：①②④． 【分析】根据等式的性质由DE=BF得出DF=BE，由HL判断出Rt△DCF≌Rt△BAE，根据全等三角形对应边相等得出FC=EA，根据垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AE∥FC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形CFAE是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出EO=FO；根据全等三角形对应角相等得出∠CDF=∠ABE，根据内错角相等，两直线平行得出CD∥AB，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质进而判定出△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．根据结论，意义判断即可。
16.【答案】1
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】延长EP交BC于点F， ∵∠APB=90°，∠APE=∠BPC=60°，∴∠EPC=150°，∴∠CPF=180°﹣150°=30°，∴PF平分∠BPC，又∵PB=PC，∴PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则 CF= CP= b， ，∵△APE和△ABD都是等边三角形，∴AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，∴∠EAD=∠PAB，∴△EAD≌△PAB（SAS），∴ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），∴EP=AP=CP，∴四边形CDEP是平行四边形，∴四边形CDEP的面积=EP×CF=a× b= ab，又∵ ≥0，∴2ab≤ ，∴ ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1．故答案为：1． 【分析】延长EP交BC于点F，首先根据周角的定义，等边三角形的性质，平角的定义得出∠CPF=180°﹣150°=30°，然后根据等腰三角形的三线合一得出PF⊥BC，设Rt△ABP中，AP=a，BP=b，则CF=CP=b， a2+b2=4,根据等边三角形的性质得出AE=AP，AD=AB，∠EAP=∠DAB=60°，根据等式的性质得出∠EAD=∠PAB，从而利用SAS判断出△EAD≌△PAB，根据全等三角形对应边相等及等量代换得出ED=PB=CP，同理可得：△APB≌△DCB（SAS），EP=AP=CP，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形得出四边形CDEP是平行四边形，根据平行四边形的面积公式得出四边形CDEP的面积=EP×CF=a×?b=ab，由( a ? b ) 2=a2+b2?2ab≥0，∴2ab≤ a2+b2=4 ，∴?ab≤1，即四边形PCDE面积的最大值为1．
三、解答题
17.【答案】 证明：连结BD，交AC于点O.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC.
∵AE=CF，
∴OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠EBF=∠EDF
【考点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】 连结BD，交AC于点O. 根据平行四边形的对角线互相平分得出 OB=OD，OA=OC. 然后根据等式的性质得出 OE=OF， 由对角线互相平分的四边形是平行四边形得出 四边形BFDE是平行四边形， 根据平行四边形的对角相等得出 ∠EBF=∠EDF
18.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∴∠DAE=∠AEB．
∵AB=AE，
∴∠AEB=∠B．
∴∠B=∠DAE．
∵在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△EAD
（2）解：∵AE平分∠DAB（已知），
∴∠DAE=∠BAE；
又∵∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB=∠B．
∴△ABE为等边三角形．
∴∠BAE=60°．
∵∠EAC=25°，
∴∠BAC=85°．
∵△ABC≌△EAD，
∴∠AED=∠BAC=85°．
【考点】全等三角形的性质，三角形全等的判定，平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD为平行四边形，可得AD=BC、∠DAE=∠BEA，又因为AB=AE，可证∠B=∠DAE，随即根据SAS证明△ABC≌△EAD。 （2）根据角平分线可得∠DAE=∠BAE，由（1）证明可知，△ABE为等边三角形，即∠BAE=60°，所以∠BAC=85°，再根据△ABC≌△EAD，即∠AED=∠BAC=85°。
19.【答案】 （1）∵四边形ABCD为平行四边形，BC=BF，CD=DE ∴AB=CD=DE，AD=BC=BF，∠ABC=∠ADC 又∵∠CBF=∠CDE ∴∠ABF=∠ADE ∴△ABF≌△EDA （2）由（1）可得∠EAD=∠AFB ∴∠GBF=∠AFB+∠FAB=∠EAD+∠FAB， 又∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AF⊥AE ∴∠DAB=∠CBG ∴∠FBC=∠CBG+∠GBF=∠DAB+∠EAD+∠FAB=∠EAF=90° ∴BF⊥BC
【考点】平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=DE，FB=AD，∠ABF=∠ADE，根据SAS即可证明△ABF≌△EDA； （2）根据三角形外角的性质以及平行四边形的性质，依据平行线的性质，结合（1）的结论，进行求证即可。
20.【答案】（1）证明：∵AE为∠ADB的平分线，
∴∠DAE=∠BAE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD=AB．
∴∠DAE=∠E．
∴∠BAE=∠E．
∴AB=BE．
∴CD=BE．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF=∠DFA．
∴∠DAF=∠DFA．
∴DA=DF．
∵F为DC的中点，AB=4，
∴DF=CF=DA=2．
∵DG⊥AE，DG=1，
∴AG=GF．
∴AG= ．
∴AF=2AG=2 ．
在△ADF和△ECF中， ，
∴△ADF≌△ECF（AAS）．
∴AF=EF，
∴AE=2AF=4 ．
【考点】全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，对边平行且相等，再由角平分线的定义，得到∠BAE=∠E，根据等角对等边得到AB=CD=BE；（2）由角平分线的定义和根据平行四边形的性质对边平行且相等，得到DA=DF，由已知F为DC的中点和AB的值，得到DF=CF=DA的值，根据三线合一和勾股定理，求出AG、AF的值，再由AAS得到△ADF≌△ECF，得到AE=EF=2AF的值.
21.【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
∴∠ABC=∠C，
∵EG∥BC，DE∥AC，
∴∠AEG=∠ABC=∠C，四边形CDEG是平行四边形，
∴∠DEG=∠C，
∵BE=BF，
∴∠BFE=∠BEF=∠AEG=∠ABC，
∴∠F=∠DEG，
∴BF∥DE，
∴四边形BDEF为平行四边形；
（2）解：∵∠C=45°，
∴∠ABC=∠BFE=∠BEF=45°，
∴△BDE、△BEF是等腰直角三角形，
∴BF=BE= BD= ，
作FM⊥BD于M，连接DF，如图所示：
则△BFM是等腰直角三角形，
∴FM=BM= BF=1，
∴DM=3，
在Rt△DFM中，由勾股定理得：DF= = ，
即D，F两点间的距离为 ．
【考点】等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）要证四边形BDEF为平行四边形由已知EG∥BC，须证BF∥DE，可利用等腰三角形的性质先证四边形CDEG是平行四边形，得出∠DEG=∠C，再通过转化证出BF∥DE；（2）要求DF距离须把DF放在直角三角形中，因此需过F作BD的垂线构造直角三角形，可证出△BDE、△BEF是等腰直角三角形，由BD求出DE，进而求出BF、MF，由勾股定理求出DF.
22.【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）
（2）解：四边形BCEF是平行四边形，理由如下：
由①得△AFB≌△ADC，
∴∠ABF=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABF=∠BAC，
∴FB∥AC，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形
（3）解：成立，理由如下：
∵△ABC和△ADF都是等边三角形，
∴AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，
又∵∠FAB=∠FAD﹣∠BAD，∠DAC=∠BAC﹣∠BAD，
∴∠FAB=∠DAC，
在△AFB和△ADC中，
，
∴△AFB≌△ADC（SAS）；
∴∠AFB=∠ADC．
又∵∠ADC+∠DAC=60°，∠EAF+∠DAC=60°，
∴∠ADC=∠EAF，
∴∠AFB=∠EAF，
∴BF∥AE，
又∵BC∥EF，
∴四边形BCEF是平行四边形
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；
（2）四边形BCEF是平行四边形，因为△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，进而证明∠ABF=∠BAC，则可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四边形BCEF是平行四边形；
（3）易证AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，即可证明△AFB≌△ADC；根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC，进而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形．
23.【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠CED=60°，
∠AEF=60°，又AE=EF，
∴△AEF为等边三角形
（2）证明：∵∠FAC=60°，
∴∠FAC=∠ACB=60°，
∴AF∥BC，
∵∠CED=∠CAB=60°，
∴AB∥BF，（）
∴四边形ABDF为平行四边形
（3）证明：①作AH⊥BC于H，
∵△ABC为边长为6的等边三角形，
∴AH=3 ，
∴S△CDF= ×CD×AH= x，
∵△CDE为等边三角形，CD=x，
∴S△CDE= x2 ，
∴△CEF的面积S= x﹣ x2；
②CF⊥BC．
x=﹣ =3时，S最大，
∴CD=CE=3，
∵△CDE为等边三角形，
∴DE=CD=CE=3，
∵E为AC的中点，
∴AE=CE=3
∴AE=EF=3
∴CE=DE=EF=3，
∴∠CDE=∠ECD，
∠ECF=∠EFC，
∵∠CDE+∠ECD+∠CCF+∠EFC=180°，
∴2∠ECD+2∠ECF=180°，
∴∠ECD+∠ECF=90°，即∠DCF=90°，
∴CF⊥BC．
【考点】二次函数的最值，等边三角形的判定与性质，平行四边形的判定
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得出∠ACB=60°，由CD=CE及EF=AE，根据对顶角相等和等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，已征得结论； （3）观察图形S=S△CDF-S△CDE，根据等边三角形的性质可以分别求出△CDF，△CDE的面积，就可以计算出求S与x的函数关系式；根据二次函数的性质求出S的最大值时x的值，根据垂直的定义判断即可。
