4.1.2 多边形（知识清单+经典例题+夯实基础+提优训练+中考链接）

浙江版八年级数学下册第4章平行四边形
4.1 多 边 形
第2课时 多 边 形(2)
【知识清单】
1、n边形的内角和为(n2)×180°(n≥3).
2、任何多边形的外角和为360°.
【经典例题】
例题1、如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和的度数( )
A.增加180° B.不变 C.增加360° D.减少180°
【考点】多边形的内角和.?
【分析】利用n边形的内角和公式即可解决问题．
【解答】解：根据n边形的内角和可以表示成(n2)×180°，
可以得到增加一条边时，边数变为n+1，
则内角和是(n+12) ×180°，
因而内角和增加：(n+12)×180° (n2)×180°=180°．
故选：A
【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式是解决本题的关键．
例题2、一个多边形的内角和与一个外角的和为1660°，求这个多边形的边数和这个外角的度数.
【考点】多边形内角和与外角和定理．
【分析】根据这个多边形的内角和与一个外角的和是1660°，再根据多边形的一个外角在0°至180°之间这个事实，列出方程判断求解即可．
【解答】解法一：设多边形的边数为n，某一个外角为α，
则(n2)×180+α =1660，
从而，
因为边数n为正整数，所以α=40°，n=11.
答：这个多边形的边数为11，和这个外角的度数为40°.
解法二：设多边形的边数为n，则内角和为(n2)×180°，
∵多边形的每个外角都在0°至180°之间，
∴1660180<(n2)×180<1660，
解得：，
∵边数n为正整数，
∴n=11，1660°(112)×180°=40°.
答：这个多边形的边数为11，和这个外角的度数为40°.
【点评】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．
【夯实基础】
1、一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形是(　　)
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
2、过某个多边形一顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是(　　)
A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形
3、一个多边形截去一个角，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原多边形的边数为( ).
A. 10 B. 10或11 C. 11或12 D. 10或11或12
4、一个六边形如图.已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，则∠A＋∠C＋∠E的度数为( )
A.360° B.180° C.108° D.96°
5、若两个多边形的边数之比是1∶2，内角和度数之比为1∶4，则这两个多边形的边数分别是 ．

6、如图，一块试验田的形状是五边形，管理员从CD边上的一点P出发，沿PD→DE→EA→AB
→BC→CP的方向走了一圈回到D处，则管理员从出发到回到原处在途中身体转过 度.
7、如图所示，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，垂足为点B，∠A=130°，∠C=2∠D，∠E∠D=50°，求∠D的度数．
8、一位同学想画一个五边形ABCDE，使∠A的度数为奇数度，并且使∠B，∠C，∠D，∠E的度数顺次增加相同的整数度，你认为这位同学的想法能实现吗？如果能，请求出∠A的度数；如果不能，请说明理由．
【提优特训】
9、在一个多边形的所有内角中，锐角的个数最多是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
10、如图，小亮从A点出发，沿直线前进16米后向左转24°，再沿直线前进16米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了( )米．
A. 300 B.320 C. 240 D.360
11、一个多边形除去一个内角后，其余所有内角和为2060°，则多边形的边数及这一内角的度数是( ).
A. 14和100° B. 13和110° C. 12和120° D. 10和130°
12、五边形ABCDE各个内角的度数相等．若l1∥l2，则∠1∠2＝____．
13、在多边形中，小于108的内角最多有 个.
14、一个多边形有36条对角线，则这个多边形的内角和为 .
15、甲、乙分别利用图①、②的不同方法求出了七边形的内角和都是900°．请你考虑在图③中再用另外一种方法求七边形的内角和．并写出求解过程．
16、(1)如图1正五角星的五个角之和是多少度？
(2)如果将正五角星改为不规则的五角星(如图2)，结果又会怎样？
(3)如果将不规则的五角星改为退化的五角星(如图3)，结果又会如何？
17．如图，四边形ABCD各个顶点都在格点上．求四边形ABCD的面积．
18．如图，一个六边形的6个内角都是120°，其相邻四边的长依次是AF=2，AB=3，BC=CD=4，求(1)DE和EF的长；
(2)六边形ABCDEF的面积.
【中考链接】
19、(2018?山西) 12. 图1是我国古代建筑中的一种窗格.其中冰纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始清溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则 (1( (2 ( (3 ( (4 ( (5 ( ( 度 .

20、(2018?陕西) 12、如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则AFE的度数为 .
参考答案
1、C 2、D 3、D 4、B 5、3，6 6、360° 9、B 10、C 11、A
12、72° 13、4 14、1080° 19、360° 20、72°
7、解：∵AB⊥BC，
∴∠B=90，
∵∠A＝130°，
∠C+∠D+∠E=360°90°130°.
∵∠C＝2∠D，∠E∠D＝50°，
∴解得∠D＝67.5°.
8、解：不能．理由如下：
设∠A＝α (α为奇数)，顺次增加的整数度数为β，则∠B＝α＋β，∠C＝α＋2β，∠D＝α＋3β，
∠E＝α＋4β，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝5α＋10β.
∵α为奇数度，∴5α为奇数度．
又∵10β为偶数度，∴5α＋10β为奇数度，
不可能等于五边形的内角和540°.
因此这位同学的想法不能实现．
15、解：连接GC、FD将七边形分成两个四边形和一个三角形，
因为四边形的内角和是360度，三角形的内角和是180度，
所以七边形ABCDEFG的内角和为360°+360°+180°=900°(方法不唯一).
16、解：(1)如图1正五角星的每个角都是36°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5×36°=180°.
(2)如图2，连接CD，
则有∠1+∠2=∠B+∠E，
∴不规则的五角星的五个角之和为△ACD的内角和180°.
(3)如图3，连接BC，
则有∠1+∠2=∠D+∠E，退化的五角星五个角之和为△ABC的内角和180°.
17．如图，四边形ABCD各个顶点都在格点上．求四边形ABCD的面积．
解：在平面直角坐标系中，
找到F(2，8)，G(2，1)，M(9，1)，N(9，8)，　
∴S五边形ABCDE=S长方形EGMNS△EFA
S△AGBS△BCMS△MCDS△DNE
＝7×7×3×4×3×2×5×2
×6×1×4×1＝30.
18．解:　(1)如图，延长并反向延长AB，CD，EF，分别交于M，N，
∵六边形ABCDEF的每个内角都是120°，
∴其每个外角均为60°，
∴△AGF，△BMC，△DNE都是等边三角形，
∴∠G=∠M=∠N=60°，
∴△GMN是等边三角形，∴MG=MN=NG．
GA+AB+BM=MC+CD+DN=NE+EF+FG=2+3+4=9
DE=DN=1，EF=921=6.
S六边形ABCDEF= S△GMNS△GAFS△BMCS△DNE
=
=15.